第5章 数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器

1、第五章第五章 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器及一些特殊滤波器5.3 5.3 简单滤波器的设计简单滤波器的设计5.2 5.2 理想数字滤波器理想数字滤波器5.1 5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念特殊滤波器特殊滤波器5.4 5.4 数字谐振器数字谐振器5.8 5.8 梳状滤波器梳状滤波器5.9 5.9 正弦波发生器正弦波发生器5.5 5.5 数字陷波器数字陷波器5.7 5.7 最小相位滤波器最小相位滤波器5.6 5.6 全通滤波器全通滤波器5.1 5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念1.1.数字滤波器与数字滤波数字滤波器与数字滤波滤波：滤波：改

2、变输入信号的频谱结构，频率选择器改变输入信号的频谱结构，频率选择器; ;对信号进行检测对信号进行检测和和参数估计参数估计; ;数字滤波器：数字滤波器： 对输入信号的进行对输入信号的进行数值运算数值运算的方法；的方法；模拟滤波器：模拟滤波器： 电阻、电容、电感及有源器件等构成电阻、电容、电感及有源器件等构成2.2.数字滤波器的实现方法数字滤波器的实现方法 用软件在计算机上实现用软件在计算机上实现 用专用的数字信号处理芯片用专用的数字信号处理芯片 用硬件用硬件3.3.数字滤波器的可实现性数字滤波器的可实现性 要求系统因果稳定要求系统因果稳定 设计的系统极点全部在单位圆内。设计的系统极点全部在单位圆

3、内。 差分方程的系数或系统函数的系数为实数差分方程的系数或系统函数的系数为实数 系统的零极系统的零极点必须共轭成对出现，或者是实数。点必须共轭成对出现，或者是实数。4 4. .数字滤波器的种类数字滤波器的种类经典滤波器经典滤波器: :用线性系统构成的滤波器；用线性系统构成的滤波器；现代滤波器：建立在随机信号处理的理论基础上现代滤波器：建立在随机信号处理的理论基础上 滤波特性滤波特性数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻；数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻； 实现方法实现方法 无限脉冲响应滤波器，简称无限脉冲响应滤波器，简称IIR (Infinite Impulse IIR (Infinit

4、e Impulse Response)Response)，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有反馈回路。其系统函数为：反馈回路。其系统函数为： 有限脉冲响应滤波器，简称有限脉冲响应滤波器，简称FIR (Finite Impulse FIR (Finite Impulse Response)Response)，它的单位脉冲响应为有限长，网络中没，它的单位脉冲响应为有限长，网络中没有反馈回路。其系统函数为：有反馈回路。其系统函数为： 011MrrrNrrrb zH za z 10,NnnH zh n zh n式中是其单位脉冲响应理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信

5、号进行滤波能够达到理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到理想的效果，但是只能近似实现。设计的时候可以把理想滤波理想的效果，但是只能近似实现。设计的时候可以把理想滤波器作为逼近标准用。器作为逼近标准用。本节主要讲述：本节主要讲述：5.2 5.2 理想数字滤波器理想数字滤波器5.2.1 5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类理想数字滤波器的特点及分类5.2.2 5.2.2 理想滤波器的可实现性理想滤波器的可实现性理想滤波器的特点：理想滤波器的特点：在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零；在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零；具有线性相位；具有线性相位；

6、单位脉冲响应是非因果无限长序列。单位脉冲响应是非因果无限长序列。理想滤波器的传输函数：理想滤波器的传输函数：0120,0,j njCeH eCn其它式中，和是常数。5.2.1 5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类理想数字滤波器的特点及分类幅度放大了幅度放大了C C倍倍 时间延迟时间延迟 jHeC 0n 0gdnd 012()()()(),jnjjjjY eX eH eCX ee 0y nCx nn0n x n输入信号输入信号 输出信号输出信号群时延为常数，则信号中的所群时延为常数，则信号中的所有频率分量的时间延迟相同。有频率分量的时间延迟相同。假设理想低通滤波器的频率响应为假设理想低通滤波器

7、的频率响应为: :式中，式中， 是一个正整数，是一个正整数， 称为通带截止频率。称为通带截止频率。其幅度特性和相位特性图形如下：其幅度特性和相位特性图形如下：0,0,j ncjceH e0nc理想低通滤波器的单位脉冲响应的特点理想低通滤波器的单位脉冲响应的特点c c O )(j H1O c c 滤波器的单位脉冲响应为：滤波器的单位脉冲响应为：举例：假设举例：假设 由此图看出由此图看出,h(n),h(n)是无限长非因果序列，因此物理不可实现是无限长非因果序列，因此物理不可实现000sin(11( )()22)ccj njjcnj nh nH eedennh nnned05,4cn-50050-0

8、.200.20.4nx(n)理想滤波器可以分为理想滤波器可以分为低通、高通、带通低通、高通、带通及及带阻带阻滤波器。滤波器。它们的幅度特性如下：它们的幅度特性如下：低通低通高通高通带通带通带阻带阻5.2.2 5.2.2 理想滤波器的理想滤波器的近似实现近似实现非因果序列非因果序列 不能物理实现不能物理实现近似实现办法：近似实现办法：1 1） 的波形向右移动，忽略的波形向右移动，忽略 的部分成为因果序列的部分成为因果序列2 2）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位理想低通滤波器的理想低通滤波器的单位脉冲响应单位脉冲响应 理想低通的近似实现

9、理想低通的近似实现 h n0n -1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)处理以后滤波器的传输函数处理以后滤波器的传输函数 与理想低通的传输与理想低通的传输函数函数 不同是：不同是： 1 1）通带中的幅度产生了波动，不再是常数；）通带中的幅度产生了波动，不再是常数； 2 2）阻带的幅度不再是零；）阻带的幅度不再是零； 3 3）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。jNHejH e()( )( )1()()*()2NNjjjNN

10、hNh n RnHeH eRe5.3 5.3 简单滤波器的设计简单滤波器的设计用用Z Z平面平面零极点放置法零极点放置法设计简单滤波器设计简单滤波器。基本原理：基本原理：极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越靠近极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越靠近单位圆，频率响应的峰值越高；单位圆，频率响应的峰值越高；零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。5.3.1 5.3.1 一阶数字滤波器一阶数字滤波器5.3.2 5.3.2 一阶低通滤波器

11、带宽的计算一阶低通滤波器带宽的计算5.3.3 5.3.3 二阶数字滤波器二阶数字滤波器5.3.4 5.3.4 低通到高通的简单变换低通到高通的简单变换5.3.1 5.3.1 一阶数字滤波器一阶数字滤波器00.511.5200.511.5/(a) 0.9501200.511.5/(b) 0.95,-1-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.51Real PartImaginary Part 11,0.95aHzaza 121112 1azHzaz0|()| 1jH e-1-0.500.51-1

12、-0.500.51Real PartImaginary Part-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5/(d) -0.95,100.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5/(c) -0.95 11,0.95aH zaza 121112 1azHzaz以上是低通滤波，以下是高通滤波：以上是低通滤波，以下是高通滤波：零极点的作用结合起来考虑：零极点的作用结合起来考虑：假设系统函数为：假设系统函数为：式中式中 ，以保证系统因果稳定；，以保证系统因果稳定；

13、幅度特性用下图讨论：幅度特性用下图讨论： 1311,0.8,1,0,0.71zbbzHzabzaaz 01a-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part00.510246810/结论结论: :设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离极点。设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离极点。 一阶低通滤波器的系统函数：一阶低通滤波器的系统函数： 设设 ，幅度降到，幅度降到-3dB,-3dB,则则因为滤波器系数是实数，因此因为滤波器系数是实数，因此 1211121azHzazp 223 10320 lg10 lg10

14、1 2pppjjjHeHeHe2()()()()()0.5pppppjjjjjH eH eHeH eH e将其系统函数带入上式，可推出：将其系统函数带入上式，可推出：一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为式中，式中， 称为称为 带宽。带宽。22arccos1paa1pa 3dBa精 确 带 宽近似带宽0.60.70.80.90.850.950.490.350.220.160.100.050.400.300.200.150.100.05一阶低通滤波器的带宽一阶低通滤波器的带宽例例5.3.15.3.1 假设模拟信号假设模拟信号 ，设，设计一个低通数字滤波器

15、将信号中的高频分量滤除。计一个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除。解解: : 确定采样间隔确定采样间隔T T：显然要选择：显然要选择 T T /200=0.0157/200=0.0157，确定，确定T=0.015T=0.015。 数字频率数字频率：低频分量：低频分量 高频分量高频分量 选择带宽选择带宽 利用利用 计算出计算出a=0.8a=0.8 数字低通滤波器的系统函数为数字低通滤波器的系统函数为：( )sin 7sin 200axttt7 0.015 0.105rad200 0.0153rad0.2rad1 0.811( )20.8108zzH zzz1pa T (a) (a) 输入波形输

16、入波形( )ax t( )ay t(b) (b) 实际输出波形实际输出波形及理论波形及理论波形sin7sin7t t（虚线）（虚线）5.3.2 5.3.2 二阶数字滤波器二阶数字滤波器特点：特点：2 2个极点；个极点；零点可以有零点可以有1 1个或个或2 2个，也可以没有个，也可以没有；滤波器的零点和极点是共轭成对出现的滤波器的零点和极点是共轭成对出现的, ,以保证滤波器以保证滤波器的系数是实数的系数是实数适当地放置零极点可得到各种滤波器：适当地放置零极点可得到各种滤波器： 1212zbzbH zGzpzp二阶数字滤波器的系统函数一般表示为：二阶数字滤波器的系统函数一般表示为：式中：式中：G

17、G是常数，一般取是常数，一般取G G使幅度特性的最大值为使幅度特性的最大值为1 1； 为共轭极点；为共轭极点； 为共轭零点。为共轭零点。12,p p12,b b图（图（a a）（）（b b）是二阶低通滤波器）是二阶低通滤波器图（图（c）（）（d）是二阶高通滤波器，图（）是二阶高通滤波器，图（e）是带通滤波器。）是带通滤波器。例例5.3.25.3.2 假设二阶数字滤波器的系统函数为假设二阶数字滤波器的系统函数为：试确试确定定G G和和p p使幅度特性满足：使幅度特性满足：解：在解：在 处，幅度为处，幅度为1 1，得到，得到： 在在 处，幅度为处，幅度为 ，得到，得到 211GHzpz02021,

18、11jGH eGpp即24222411cos4sin41122jjpGGH epjppepj p41202411 2jjH eH e上式解出上式解出p=0.32p=0.32，则滤波器的系统函数为，则滤波器的系统函数为例例5.3.35.3.3 设计一个二阶带通滤波器，设计一个二阶带通滤波器， 是通带中是通带中心，在心，在 两点，频率响应为零，在两点，频率响应为零，在 处，幅处，幅度为度为解：极点设计在通带中心解：极点设计在通带中心 ， 极点极点 零点在零点在 处，即处，即 和和 得系统函数得系统函数： 210.4610.32H zz20,49122 0,11z21z 222111zzzH zGG

19、zjrzjrzr21,2jprejr 幅度最大处幅度为幅度最大处幅度为1 1，因此，因此上式中上式中r r的值由在的值由在 的幅度值确定，因此的幅度值确定，因此 2222112jrHeGGr即4922249422224122 cos 891412cos 8921.94 111.88,0.7jrHerrrrrr即解 得最后得到带通滤波器的系统函数为最后得到带通滤波器的系统函数为它的幅度特性和相位特性如下图：它的幅度特性和相位特性如下图： 2210.1510.7zH zz二阶带通滤波器的幅度特性和相位特性二阶带通滤波器的幅度特性和相位特性先设计一个低通滤波器先设计一个低通滤波器 转换成高通滤波器转

20、换成高通滤波器 是高通滤波器的传输函数是高通滤波器的传输函数 是低通滤波器的传输函数是低通滤波器的传输函数 对上式进行傅里叶反变换，得到对上式进行傅里叶反变换，得到： 也可写成也可写成：5.3.3 5.3.3 低通到高通的简单变换低通到高通的简单变换()()()jjhplpHeHe ()jhpHe()jlpHe1jnlnhplppehnhnhn1nlphphnhn 低通滤波器的差分方程为低通滤波器的差分方程为: : 得到低通滤波器的传输函数为得到低通滤波器的传输函数为: : 将将 用用 代替，得到高通滤波器的传输函数代替，得到高通滤波器的传输函数: : 10NMkkkky na y nkb x

21、 nk 011MjkkjklpNjkkkb eHea e00111111MMkjkj kkkjkkhpNNkjkj kkkkkb eb eHea ea e 由所得传输函数得到高通滤波器的差分方程为由所得传输函数得到高通滤波器的差分方程为: :例例5.3.45.3.4 已知低通滤波器的差分方程为已知低通滤波器的差分方程为: :将低通滤波器将低通滤波器转转换成相应的高通滤波器，写出高通滤波器换成相应的高通滤波器，写出高通滤波器的差分方程。的差分方程。解：高通滤波器的差分方程为解：高通滤波器的差分方程为: :相应的传输函数为相应的传输函数为: : 1011NMkkkkkky na y nkb x n

22、k 0.910.1y ny nx n 0.910.1y ny nx n 0.110.9jhpjHee当当k k取奇数取奇数时，系数时，系数加负号。加负号。5.4 5.4 数字谐振器数字谐振器特点：是一个二阶滤波器，也是一个特殊特点：是一个二阶滤波器，也是一个特殊双极点带通滤双极点带通滤波器波器；它有一对共轭极点；它有一对共轭极点 ，r r接近于接近于1 1，幅度特性在，幅度特性在 附近最大，相当于在该频率发生了谐振。附近最大，相当于在该频率发生了谐振。应用：适合作带通滤波器，以及语音合成器。应用：适合作带通滤波器，以及语音合成器。数字谐振器根据零点放置的位置分为两种：数字谐振器根据零点放置的位

23、置分为两种：1.1.零点在原点，一对共轭极点为零点在原点，一对共轭极点为： 的数字谐振器的数字谐振器, ,其系统函数为其系统函数为：0jre001,2,01jprer 0001111jjbH zrezrez对任意对任意r r，可以推导出，可以推导出 的乘积在的乘积在 处取处取最小值，即幅度取最大值：最小值，即幅度取最大值：为谐振器精确的谐振频率。为谐振器精确的谐振频率。 012200221020()( )( )112 cos 2( )12 cos(), ( )12 cos()jbH eUUbrrrUrrUrr12( )( )UU和201arccoscos2rrrr 如果两个极点非常接近单位圆，

24、则如果两个极点非常接近单位圆，则 可以证明它的可以证明它的3dB3dB带宽为带宽为 。举例举例： ，r=0.8r=0.8和和0.950.95，零极点分布及幅度特性如下，零极点分布及幅度特性如下0,r2 1r03 (a) (a) 零极点分布零极点分布 (b) (b) 幅度特性幅度特性2.2.两个零点分别放置在两个零点分别放置在z=1z=1和和z=-1z=-1处，一对共轭极点为处，一对共轭极点为： 的数字谐振器的数字谐振器系统函数为：系统函数为： 传输函数为：传输函数为：它的幅度特性为：它的幅度特性为：式中式中：上式中上式中， 是两个零点是两个零点z=1z=1和和z=-1z=-1到点到点w w的矢

25、量长度之积。的矢量长度之积。01,2,01jprer 002012010112111111o12 c sjjbzzH zre zbrerzzzzr0020()()111jjjjbeHerere 12jNH eUU( )2 1 cos2N( )N举例举例： ，r=0.8, 0.95r=0.8, 0.95，画出零极点分布和幅度特，画出零极点分布和幅度特性如下图：性如下图：03(a) (a) 零极点分布零极点分布 (b) (b) 幅度特性幅度特性 与零点在原点比较：与零点在原点比较：谐振频率有微小的变化；谐振频率有微小的变化；带宽略小一点；带宽略小一点； 处的幅度为处的幅度为0 0,0,例例5.4.

26、15.4.1 模拟信号模拟信号 ，设计一个数字谐振，设计一个数字谐振器，以滤除模拟信号中的低频分量器，以滤除模拟信号中的低频分量sin7sin7t t。解解: :谐振器的谐振频率谐振器的谐振频率: 200: 200 采样间隔采样间隔 模拟频率模拟频率200200对应的数字频率是对应的数字频率是: : 模拟频率模拟频率7 7对应的数字频率是对应的数字频率是: : 选择带宽选择带宽0.020.02，则，则2(1-r)=2(1-r)=0.020.02，r=0.99r=0.99。 得到系统函数为：得到系统函数为：( )sin7sin200 x ttt0.002Ts200 0.002 0.47 0.00

27、2=0.0142000.40.42(1)(1)(1)( )(0.99)(0.99)1.82370.9801jjb zzb zH zzezezz为选择系数为选择系数 ，使峰值幅度等于，使峰值幅度等于1 1，将，将 代入上式，得到代入上式，得到 。该滤波器的输出波形如图：。该滤波器的输出波形如图：0b0.4jze01 100.49b 5.5 5.5 数字陷波器数字陷波器特性特性：一个二阶滤波器，它的幅度特性在一个二阶滤波器，它的幅度特性在 处为零，在其处为零，在其它它频率上接近于常数，是一个频率上接近于常数，是一个滤除单频干扰滤除单频干扰的滤波器。的滤波器。用途：一般仪器或设备都用用途：一般仪器或

28、设备都用50Hz50Hz的交流电源供电，因而信号中时常的交流电源供电，因而信号中时常带有带有50Hz50Hz的干扰，希望将它滤除，又不影响该信号。的干扰，希望将它滤除，又不影响该信号。系统函数：系统函数：设零点为：设零点为： ，使幅度特性在，使幅度特性在 处为零，为处为零，为使幅度离开使幅度离开 后迅速上升到常数，将两个极点放在很靠近后迅速上升到常数，将两个极点放在很靠近零点的地方，极点为：零点的地方，极点为：0 0000()()( ),01()()jjjjzezeH zazaezae0jze0 0 0jzaea=0a=0，滤波器变成，滤波器变成FIRFIR滤波器，缺少极点的作用。滤波器，缺少

29、极点的作用。 a a比较小，缺口将比较大，对比较小，缺口将比较大，对 近邻频率分量影响显著近邻频率分量影响显著缺口的宽度和缺口的宽度和a a之间的关系之间的关系 ： 0对上图分析得出结论：对上图分析得出结论： 陷波器的陷波器的3dB3dB带宽为带宽为： 说明：说明：a a 越大，极点越靠近零点（越靠近单位圆），陷波器的越大，极点越靠近零点（越靠近单位圆），陷波器的3dB3dB带宽越窄。带宽越窄。例例5.5.15.5.1 假设信号假设信号 ， 是低是低于于50Hz50Hz的低频信号，试设计一个陷波器将的低频信号，试设计一个陷波器将50Hz50Hz干扰滤除。干扰滤除。解解: 50Hz: 50Hz的

30、周期是的周期是0.02s0.02s，采样周期，采样周期T T应小于应小于0.01s0.01s，选择，选择T=0.002sT=0.002s。50Hz50Hz对应的数字频率是对应的数字频率是: :选择选择a=0.95a=0.95，陷波器的系统函数为，陷波器的系统函数为：22 1a( )sin(502)( )sx ttxt250 0.0020.628rad0.6280.6280.6280.628()()( )(0.95)(0.95)jjjjzezeH zzeze( )sx t为测试陷波器的特性，令为测试陷波器的特性，令 ，由，由 可得数字陷波器的输入信号波形如下图。可得数字陷波器的输入信号波形如下图

31、。0.6280.6280.6280.628222212212()()( )(0.95)(0.95)2 cos0.6281 20.95cos0.6280.951.618111.618 1.5370.902511.5370.9025jjjjzezeH zzezezzzzzzzzzzz( )2 (200)sxnn( )( )sin(100 )( )tnTsx nx tnTxn( )2 (200)sxnn( )( )sin(100 )( )tnTsx nx tnTxn为测试陷波器的特性，令为测试陷波器的特性，令 ，由，由 可得数字陷波器的输入信号波形如下图。可得数字陷波器的输入信号波形如下图。( )2

32、 (200)sxnn( )( )sin(100 )( )tnTsx nx tnTxn(a) (a) 输入信号波形输入信号波形 (b) (b) 陷波器输出波形陷波器输出波形过渡时间：过渡时间：8888* *0.002=0.167s0.002=0.167s5.6 5.6 全通滤波器全通滤波器定义：滤波器的幅度特性在整个频带定义：滤波器的幅度特性在整个频带002 2 上均等于常上均等于常数，或者等于数，或者等于1 1，即，即 则该滤波器称为全通滤波器。则该滤波器称为全通滤波器。特点：信号通过全通滤波器后，其输出的幅度特性保持不特点：信号通过全通滤波器后，其输出的幅度特性保持不 变，仅相位发生变化。变

33、，仅相位发生变化。全通滤波器的系统函数的一般形式为：全通滤波器的系统函数的一般形式为：1,02jH e21012211210( )1NN kkLkiiNkiiikka zza zaH za za za z二阶滤波器形式二阶滤波器形式 全通滤波器的系统函数的幅度特性为全通滤波器的系统函数的幅度特性为1 1 因为上式中系数是实数，因此因为上式中系数是实数，因此 全通滤波器的零级点分布特性倒易关系全通滤波器的零级点分布特性倒易关系 因为因为 和和 的系数是实数，零点和极点均以共轭对的系数是实数，零点和极点均以共轭对形式出现。形式出现。10000NNNkkkkNNkkNNkkkkkka za zDzH

34、zzzDza za z11jjjzejjjDzDeDeDeHeDe1D z D z全通滤波器的零极点分布全通滤波器的零极点分布 是零点，是零点， 也是零点，也是零点， 是极点，是极点， 也是极点，形成四个极零点一组的形式。也是极点，形成四个极零点一组的形式。kzkz1kkpz1kkpz如果将零点如果将零点 和极点和极点 组成一对，零点组成一对，零点 和极点和极点 组成一对，则全通滤波器的系统函组成一对，则全通滤波器的系统函数可以表示成数可以表示成: :式中的式中的N N称为阶数。称为阶数。 举例：当举例：当N=1N=1时，零极点均为实数，系统函数为时，零极点均为实数，系统函数为: :应用：一般

35、作为相位校正。应用：一般作为相位校正。 kz1kkpzkz1kkpz111( )1NkkkzzH zz z11( )1zaH zaz5.7 5.7 最小相位滤波器最小相位滤波器 定义：对于全部零点位于单位圆内的因果稳定滤波器，称定义：对于全部零点位于单位圆内的因果稳定滤波器，称 为最小相位滤波器为最小相位滤波器最小相位滤波器的性质：最小相位滤波器的性质：1 1）任何一个因果稳定的滤波器）任何一个因果稳定的滤波器 均可以用一个最小相位均可以用一个最小相位滤波器和一个全通滤波器滤波器和一个全通滤波器 级联构成，即级联构成，即2 2）对同一系统函数幅频特性相同的所有因果稳定系统中，）对同一系统函数幅

36、频特性相同的所有因果稳定系统中，最小相位系统的相位延迟最小。最小相位系统的相位延迟最小。3 3）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。 minHz Hz apHz minapHzHz Hz例例5.7.15.7.1 确定下面确定下面FIRFIR系统的零点，并指出系统是最小，系统的零点，并指出系统是最小，最大相位系统还是混合相位系统。最大相位系统还是混合相位系统。解：将各系统函数因数分解，可得到它们的零点并进而解：将各系统函数因数分解，可得到它们的零点并进而判定系统的性质。判定系统的性质。 1212121212346,6653521,12233HzzzHzzzH

37、zzzHzzz 11,221,231,221,2:1 2,1 3,:2,3,:1 2,3,:2,1 3,HzzHzzHzzHzz 为最小相位系统。为最大相位系统。为混合相位系统。为混合相位系统。5.8 5.8 梳状滤波器梳状滤波器梳状滤波器的原理：梳状滤波器的原理： 例例5.8.15.8.1 已知已知 ，利用该系数函，利用该系数函数形成数形成N=8N=8的梳状滤波器。的梳状滤波器。解：解： 的零点是的零点是1 1，极点是，极点是a a，是一个高通滤波器，画出，是一个高通滤波器，画出它的零极点分布和幅度特性曲线如下：它的零极点分布和幅度特性曲线如下：111, 011zHzaaz H z系统函数系

38、统函数 传输函数传输函数 H zjH eNzz系统函数系统函数 传输函数传输函数NH zj NH e 周期周期2 周期2N上例中梳状滤波器零极点分布和幅度特性曲线上例中梳状滤波器零极点分布和幅度特性曲线将将 的变量的变量z z用用 代替，得到代替，得到式中，式中，N=8N=8，零点，零点极点为极点为画出它的零极点分布和幅度特性曲线如上页图：画出它的零极点分布和幅度特性曲线如上页图： 注意：注意：此时的幅度特性的过渡带比较窄，或者此时的幅度特性的过渡带比较窄，或者说比较陡峭，有利于消除点频信号而又不损说比较陡峭，有利于消除点频信号而又不损伤其它信号。伤其它信号。 H zNz 1111zH zaz

39、28,0,1, 2,7;jkkzek288,0,1, 2,7jkkpaek。例例5.8.25.8.2 设计一个梳状滤波器，用于滤除心电信号中的设计一个梳状滤波器，用于滤除心电信号中的50Hz50Hz及其谐波及其谐波100Hz100Hz干扰，设采样频率为干扰，设采样频率为200Hz200Hz。解：系统函数为解：系统函数为N N的大小决定于要滤除的点频的位置，的大小决定于要滤除的点频的位置，a a要尽量靠近要尽量靠近1 1。由采样频率算出由采样频率算出50Hz50Hz及其谐波及其谐波100Hz100Hz所对应的数字频所对应的数字频率分别为：率分别为： 零点频率为零点频率为: : 由由 ，求出，求出

40、N=4N=4。250 1 2002和 ，2,0 1 2 3k N k ， ， 。22N 11NNzHzaza=0.9a=0.9时的幅频特性时的幅频特性-3-2-10123-101Real PartImaginary Part00.511.52012/幅度5.9 5.9 正弦波发生器正弦波发生器定义：滤波器系统函数的极点在单位圆上，则可以形定义：滤波器系统函数的极点在单位圆上，则可以形 成一个正弦滤波器。成一个正弦滤波器。基本原理基本原理: :假设有两个系统函数，即假设有两个系统函数，即: : 令令 ，得到，得到: : ,x nAnX zA 11011201202120sin1 2 cos1co

41、s1 2 cosY zzHzX zzzYzzHzX zzz经变换得时域信号分别为：经变换得时域信号分别为：说明系统函数说明系统函数 和和 在在 的激励下的激励下可以分别产生正弦波和余弦波。可以分别产生正弦波和余弦波。实现结构实现结构: : 1.1.数字正弦波发生器（如下图数字正弦波发生器（如下图1 1）2.2.数字正弦波、余弦波发生器（如下图数字正弦波、余弦波发生器（如下图2 2）3.3.软件查表软件查表 2Hz 1H z x nAn 101120102120sin1 2 cos1cos1 2 cosAzY zzzAzYzzz 1020sincosynAn u nynAn u n+ + +1z

42、1z x n+ +0sin02cos v n+ +- -+ + 1yn图（）图（）图（）图（）+ + +1z1z+ + + +- - x n v n2 20cos0sin 1yn 2y n-1-1本章本章小结小结1 1 理想滤波器理想滤波器0120,0,j njCeH eCn式中， 和 是常数其它理想低通滤波器的理想低通滤波器的频率响应频率响应0,0,j ncjceH e理想低通滤波器的理想低通滤波器的单位脉冲响应单位脉冲响应 00sincnnh nnn无限长非因果序列无限长非因果序列物理不可实现物理不可实现一阶低通滤波器一阶低通滤波器 1111,012 1azH zaaz一阶高通滤波器一阶高通滤波器 1111,012 1azH zaaz二阶数字滤波器二阶数字滤波器 1212zbzbH zGzpzp低通到高通低通到高通的简单变换的简单变换 ()()()1jjhplpnlphpHeHehnhn 低通低通高通高通 101011NMkkkkNMkkkkkky na y nkb x nky na y nkb x nk 数字谐振器数字谐振器 0000011110111