第6节结构动力计算

1、12008年广西人才小高地申报年广西人才小高地申报第第6 6节节 结构动力特性和动力反应结构动力特性和动力反应 1. 1.概述概述2. 2. 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动3.3. 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动4. 4. 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响 研究单自由度体系的研究单自由度体系的自振频率及在简谐荷自振频率及在简谐荷载作用下的动力响应载作用下的动力响应21. 1. 概述概述 研究结构在动荷载作用下的研究结构在动荷载作用下的变形和内力变形和内力，即研究结构的，即研究结构的动力反应。动力反应。 结构的动力反应涉及结构的动力反应涉及结构本身的动力特性、动力荷载

2、的结构本身的动力特性、动力荷载的性质。性质。 结构本身的动力特性是结构本身的动力特性是结构本身固有结构本身固有的，如的，如自由振动频自由振动频率率。 动力荷载是指动力荷载是指大小、方向、作用点随时间而变化的荷载大小、方向、作用点随时间而变化的荷载。 动力荷载动力荷载不能忽略惯性力不能忽略惯性力，这是区别静力荷载的关键。，这是区别静力荷载的关键。3 一、动力荷载的种类动力荷载的种类（1）简谐性周期荷载）简谐性周期荷载 （要掌握）（要掌握） 运动的规律性通常表现为正弦或余弦函数形式：运动的规律性通常表现为正弦或余弦函数形式：tPtpsin)(（2）冲击荷载）冲击荷载 n荷载强度很大，但作用时间很短

3、，如打桩。荷载强度很大，但作用时间很短，如打桩。 （3）随机荷载）随机荷载 n变化规律带有一定偶然性变化规律带有一定偶然性的非确定性荷载，如地震荷的非确定性荷载，如地震荷载和风荷载。载和风荷载。4二、体系动力计算的自由度二、体系动力计算的自由度 质点的位移就是动力计算的基本未知数。把体系在弹性变质点的位移就是动力计算的基本未知数。把体系在弹性变形过程中确定所有质点的位置所需的独立参数的数目，称形过程中确定所有质点的位置所需的独立参数的数目，称为该体系的自由度。为该体系的自由度。 基本假定：忽略其轴向位移基本假定：忽略其轴向位移，认为轴向是不可伸长（压认为轴向是不可伸长（压缩）的。缩）的。一、一

4、、 附加链杆法附加链杆法。使质点不发生线位移所施加的附加链。使质点不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系动力计算的自由度。杆数即为体系动力计算的自由度。二、铰接链杆法二、铰接链杆法。将所有质点和刚结点变为铰结点，铰。将所有质点和刚结点变为铰结点，铰接体系的自由度数也就是接体系的自由度数也就是动力计算的自由度。动力计算的自由度。 确定体系振动自由度的方法确定体系振动自由度的方法5体系自由度的确定体系自由度的确定 要确定具有若干个集中质点体系的自由度数时，则需对质点要确定具有若干个集中质点体系的自由度数时，则需对质点施加链杆约束，限制所有质点的位移。使整个体系完全不能施加链杆约束，限制所有质点的位

5、移。使整个体系完全不能动，所施加的链杆数就是体系的自由度数。动，所施加的链杆数就是体系的自由度数。 2个自由度个自由度1个自由度个自由度2个自由度个自由度4个自由度个自由度2个自由度个自由度6体系自由度的确定体系自由度的确定 注意注意：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关数无关。 m1.EI=(a)(b)m2.m3.(t)三个集中质量，一个自由度三个集中质量，一个自由度一个集中质量，两个自由度一个集中质量，两个自由度7n当体

6、系有斜杆时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法当体系有斜杆时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。(a)(b)(c)4个自由度个自由度体系自由度的确定体系自由度的确定8三、阻尼三、阻尼 阻尼对结构的作用阻尼对结构的作用 ：一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。另一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。另一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。 阻尼是振动的一个重要因素，而且很复

7、杂，需化简阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼理论。即尼理论。即 ：v R阻尼力；负号表示阻尼力的方向与运动速度的方向相反。阻尼力；负号表示阻尼力的方向与运动速度的方向相反。 c阻尼系数；阻尼系数； v质点运动的速度；质点运动的速度；ycdtdyccvR92. 2. 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动一、自由振动微分方程的建立一、自由振动微分方程的建立1. 刚度法：从

8、力系平衡的角度考虑刚度法：从力系平衡的角度考虑ykmmkyym ym受力：受力：弹性力弹性力：- -ky，与位移方向相反；与位移方向相反；惯性力惯性力： ，与加速度方向相反；，与加速度方向相反；根据达朗伯原理：根据达朗伯原理：ym 0kyym 2. 柔度法：从变形协调角度考虑柔度法：从变形协调角度考虑体系受体系受惯性力惯性力：m的位移：的位移： ymfI ymfyI 其中其中：k 刚度系数；使刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力；产生单位位移需要施加的力； 柔度系数；单位力作用下柔度系数；单位力作用下m产生的位移：产生的位移： k1yk102. 2. 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由

9、振动二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方程的解自由振动的组成：自由振动的组成： 一部分由初始位移一部分由初始位移y0引起的；引起的； 另一部分由初始速度另一部分由初始速度v0引起的。引起的。方程的解也可以写成：方程的解也可以写成： 00122020vytgvya02yy 微分方程微分方程： 令：令： 方程方程可改写为：可改写为： 0 kyym mk2方程通解方程通解：tCtCtycossin)(21010102vCvCyC21, CC根据初始条件根据初始条件：t=0时，时，y=y0, v=v0可确定可确定sincos)(21CtCtytvtytycossin)(00方程的解方程的解：)s

10、in()(taty根据初始条件可解得根据初始条件可解得：112. 2. 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动三、结构的自振周期三、结构的自振周期圆频率或频率圆频率或频率 ：2 时间内的振动次数时间内的振动次数,单位单位:“弧度弧度/s” ； mmk122T21Tf自振频率自振频率f：单位时间的振动次数；单位时间的振动次数；单位单位:“Hz（赫兹）（赫兹）”从微分方程的解从微分方程的解： 知位移是周期函数；知位移是周期函数；自振周期自振周期T：振动一周需要的时间；振动一周需要的时间；单位单位:“s（秒）（秒）”)sin()(taty自振周期的性质自振周期的性质：1.自振周期仅与结构的质量

11、和刚度有关；与外界的干扰力无关。自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。2.质量越大，周期越大；质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。刚度越大，周期越小。3.自振周期是结构动力性能的一个重要指标。自振周期是结构动力性能的一个重要指标。fT22mkm22例例1 1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为截面面积为A A，惯性矩为惯性矩为I I，弹性模量弹性模量为为E E。杆顶重物的质量为杆顶重物的质量为mm。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期。期。mIlIl1/1kEImlT3223EIlllEI33

12、2211322T解：解题的依据解：解题的依据刚度系数：刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。使质点产生单位位移需要施加的力。柔度系数柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。：质点在单位力作用下产生的位移。lM图331mlEImmk例例2 2：求图示结构的重量集中为柱顶，：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KNW=20KN，试计算结构试计算结构的自振周期。的自振周期。EIEI1 1=3.528=3.528 10107 7NmNm2 2. . 结构的刚度系数即使柱顶发生单结构的刚度系数即使柱顶发生单位位移时，在柱顶需施加的力。位位移时，在柱顶需施加的力。I=EIl=6m11EI1EI11EI

13、112EI24EIl113l3l312EI1k=AB3124lEIk 312224WlTEI gn结构的自振频率和周期：结构的自振频率和周期：sT1434. 08 . 910528. 324610202733n考虑梁考虑梁AB的平衡可得：的平衡可得：13242EI gkmWl143. 3. 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动mykyym P(t)ykP(t)1.1.单自由度体系的强迫振动的微分方程：单自由度体系的强迫振动的微分方程：)(tPkyym mtPyy)(2 mtFyysin2 )sin(sin)sin(sin11222ttyttmFyst2mFyst可写成：可写成：2.2.

14、当荷载为简谐荷载时：当荷载为简谐荷载时：tFtPsin)( 3.3.微分方程的解为：微分方程的解为：为静荷载为静荷载F F作用下的振幅。作用下的振幅。时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。2211为动力系数。为动力系数。m受力图受力图15强迫振动时的动力放大系数强迫振动时的动力放大系数 1) 简谐动荷载作用在简谐动荷载作用在质点质点上，内力动力系数与位移上，内力动力系数与位移动力系数相同。动力系数相同。动力系数动力系数: 22stmax11yy计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法算计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法算出相应的位移、内力

15、出相应的位移、内力，再乘以动力系数再乘以动力系数 即可即可。 计算结构的位移和内力时，应计算结构的位移和内力时，应先算出质体上的惯性力，再将先算出质体上的惯性力，再将惯性力及荷载幅值作用于结构惯性力及荷载幅值作用于结构上（上（如左图所示）如左图所示），然后按静，然后按静力方法计算。力方法计算。2) 简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一的动力系数。的动力系数。(b)(a)mFsin tFFI例例3 3：图示梁：图示梁l=4m4m，惯性矩惯性矩I=7480 I=7480 cmcm4 4 ，弹模，弹模E E=2.1=2.1 10104 4KN/cmKN

16、/cm2 2 。在跨中有电动机，重量在跨中有电动机，重量Q=35KNQ=35KN，转速转速n=500r/minn=500r/min。电机转动的离心电机转动的离心力力P=10KNP=10KN，离心力的竖向分力为离心力的竖向分力为Psin t。不计梁的质量，试求梁振动的不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。1.1.体系自由振动的频率：体系自由振动的频率：3max854105.935.0348 2.1 107.48 10dyPmm3.3.动力系数：动力系数： 为动力位移和动力应为动力位移和动力应力的放大倍数。力的放大倍数。9

17、3. 543.5736.5211112222EI0.5l0.5lPsintEIllllEIk4824324221113mmk123481QlEIgms/43.57410358 . 91048. 7101 . 24833511sn/36.526050026022.2.荷载频率：荷载频率： 4.4.最大动位移（振幅）：最大动位移（振幅）： EI10.25lM1M例例3 3：图示梁：图示梁l=4m4m，惯性矩惯性矩I=7480 I=7480 cmcm4 4 ，弹模，弹模E E=2.1=2.1 10104 4KN/cmKN/cm2 2 。在跨中有电动机，重量在跨中有电动机，重量Q=35KNQ=35KN

18、，转速转速n=500r/minn=500r/min。电机转动的离心电机转动的离心力力P=10KNP=10KN，离心力的竖向分力为离心力的竖向分力为Psin t。不计梁的质量，试求梁振动的不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。体系自由振动的频率：体系自由振动的频率：max5.03dyPmm动力系数：动力系数： 5.93EIllllEIk48243242211134.4.最大动位移（振幅）：最大动位移（振幅）： 最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。 3max85435 10 5.938.048 2.1 107.48