大学物理 (华科)牛顿运动定律_4_角动量定理

1、第第2章章 牛顿运动定律牛顿运动定律 角动量定理角动量定理吴庆文吴庆文动量定理动量定理对对单个质点单个质点或对或对质点系质点系：ddF tP d00ttF tPP 密歇尔斯基方程密歇尔斯基方程变质量系统的动力学方程：变质量系统的动力学方程：上节课的主要内容上节课的主要内容ddddvmF mvtt 动量守恒定律成立条件：动量守恒定律成立条件：*系统根本不受外力或合外力为零。系统根本不受外力或合外力为零。*系统所受内力很大，外力可以忽略不计。系统所受内力很大，外力可以忽略不计。*系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向动量守恒（总动量不一定守恒）动量守恒

2、（总动量不一定守恒） 。2作业：交到作业：交到2-T111. 质点的角动量质点的角动量OrP L定义：定义：PrL角动量也叫角动量也叫12 smkg单位：单位：注意注意: :同一质点对不同定点的角动量是不同的。同一质点对不同定点的角动量是不同的。 动量矩。动量矩。(线线)动量动量Pmv 第第7节节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 Angular Momentum Theorem & Principle of Conservation of Angular MomentumrmvL例如例如, 质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：

3、2mr 32. 质点的角动量定理质点的角动量定理ddM tL ddtotLoLM tL toLL注意注意: :适用于惯性系，对非惯性系，需引入适用于惯性系，对非惯性系，需引入“惯性力惯性力”。dddd()LrPtt 对对 求时间的导数：求时间的导数：LddddrPPrtt 0冲量矩冲量矩LrP (微分形式微分形式)(积分形式积分形式)FrtLdd力矩：力矩：M r F rF0M 43. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若0M则则0tLL LrP 或或恒恒矢矢量量角动量守恒定律角动量守恒定律（2）0 FrM0 FFr/（1）是普遍规律）是普遍规律,宏观、微观均适用。宏观、微观均适用。（

4、3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。力心力心FF/r 质点对力心的角动量守恒。质点对力心的角动量守恒。r（4）质点对某点的角动量守恒）质点对某点的角动量守恒, 对另一点不一定守恒对另一点不一定守恒.（5）角动量守恒）角动量守恒, 不见得动量守恒不见得动量守恒. 如如:匀速圆周运动匀速圆周运动.rF00ttMdtLL 注意注意: :5角动量守恒定律的分量式：角动量守恒定律的分量式：角角动量守恒定律在直角动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：坐标系中的分量式可表示为：守恒时iiLM,0)(z ,y,xi 当总角当总角动量不守恒时，动量

5、不守恒时，角角动量在某些动量在某些方向上的分量可以方向上的分量可以是守恒的。是守恒的。若若0M则则0tLL LrP 恒恒矢矢量量角动量守恒定律：角动量守恒定律：d00ttM tLL d00txxtxM tLL d00tyytyM tLL d00tzztzM tLL 6有心力，有心力，守恒平行和外iiLrF,7脉冲星脉冲星 周期性信号周期性信号盘状星系盘状星系宇宙中的孤立系统，宇宙中的孤立系统，守恒，外外iiiLMF, 008“行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积”例例1. 用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：用角动量守恒定律推

6、导行星运动开普勒第二定律：解：解：设在时间设在时间 t 内，行星的矢径扫过扇形面积内，行星的矢径扫过扇形面积 s vmrL恒矢量恒矢量 sin21rrSrr 21面积速度：面积速度：tSdtdst 0limtrrt 21lim0vrdtrdr 2121 vrdtdS21恒量恒量命题得证。命题得证。r r 太太阳阳行星行星S 9例例2. 在光滑的水平桌面上有一小孔在光滑的水平桌面上有一小孔O,一细绳穿过一细绳穿过 小孔小孔, 其一端系一小球放在桌面上其一端系一小球放在桌面上,另一端用另一端用 手拉绳，开始时小球绕孔运动手拉绳，开始时小球绕孔运动, 速率为速率为v1, 半半 径为径为r1, 当半径

7、变为当半径变为r2时时, 求小球的速率求小球的速率v2.解：解：小球受力小球受力 2121LLLL 1122r mvr mv 1212rvvr 显然显然:12vv 2rf拉拉 有心力有心力f 拉拉O10L0o o例例3. 将一个质点沿一个半径为将一个质点沿一个半径为r的的光滑光滑半球形碗的内面半球形碗的内面水平水平地投地投射射, ,碗保持静止。设碗保持静止。设v0是质点是质点恰好恰好能达到碗口所需要的初速度。能达到碗口所需要的初速度。试求出试求出v0作为作为 0的函数的表达式的函数的表达式. .mgNyx受力分析受力分析: :所以沿所以沿y y轴方向的力矩轴方向的力矩 My=0,解：解：故角动

8、量在故角动量在y方向上的分量方向上的分量Ly守恒守恒: : L0y = Ly0 0mv r = mvr取球心取球心o为参考点为参考点, ,并设开始时并设开始时质点在板面内质点在板面内, ,且速度垂直向外。且速度垂直向外。rF F垂直黑板向内垂直黑板向内, ,故垂直于故垂直于y轴轴. .rL0= rmv0 sin90= rmv0L0y=L0sin 0 = rmv0 sin 0= mv0r0 ( (Ly = L) )0rr0ddLMt 则则:0GrNrGrFrMLy= rmvLyv11又，机械能守恒又，机械能守恒: :220011cos22mvmvmgr 00sinrr 002cosgrv 三式联

9、立解得：三式联立解得：0 0mv r = mvrL0o or0rr012例例4. 地球可看作是半径地球可看作是半径 R= 6400 km 的球体，一颗人造的球体，一颗人造 地球卫星在地面上空地球卫星在地面上空 h=800km 的圆形轨道上，以的圆形轨道上，以 v1=7.5 km/s 的速度绕地球运动。的速度绕地球运动。突然点燃一火箭，其冲力使卫星附加一个向外的径突然点燃一火箭，其冲力使卫星附加一个向外的径向分速度向分速度 v2=0.2 km/s 使卫星的轨道变成椭圆形。使卫星的轨道变成椭圆形。求：此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？求：此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？解

10、：解：分析分析故：卫星在火箭点燃前故：卫星在火箭点燃前 或后对地心的角动量或后对地心的角动量 始终不变，是守恒的。始终不变，是守恒的。h1v2vvrR？卫星所受万有引力卫星所受万有引力、 火箭反冲力均通过力心，火箭反冲力均通过力心，113r v 1v2vvrR根据角动量守恒定律：根据角动量守恒定律：vmrvvmr)(212/vr) 1 ( 1rvmrmv 卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有万有引力（保守内力）作用，机械能守恒：系统只有万有引力（保守内力）作用，机械能守恒：)2(21)(2122221rMmGvmrMmGvvm)3(212rvmrMmG 对卫星原

11、来的圆运动有：对卫星原来的圆运动有：远地点高度远地点高度kmRrh99711近地点高度近地点高度kmRrh61322联立解得：联立解得：1vrvrr2 （r1 ）14例例5.两人质量相等两人质量相等,忽略滑轮质量及轮绳之间摩擦忽略滑轮质量及轮绳之间摩擦。一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是:(1) 两人同时到达；两人同时到达；(2) 用力上爬者先到；用力上爬者先到；(3)握绳不动者先到；握绳不动者先到；(4)以上结果都不对。以上结果都不对。同高从静态开始往上爬同高从静态开始往上爬mm 12系统受合外力矩为零，系统受合外力矩为零， 角动量守恒角动量守恒

12、。系统的初态系统的初态角动量角动量系统的末态系统的末态角动量角动量=终点线终点线mv R mv R 2 21 10vv 21两人等速上升。两人等速上升。154. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量定理和角动量守恒定律 质点系的角动量质点系的角动量: : 质点系中的各个质点对质点系中的各个质点对给定参考点给定参考点的角动量的的角动量的矢量和，称为质点系对该矢量和，称为质点系对该给定参考点给定参考点的角动量。的角动量。 tLdd=0 iiiFr合合内内外外合合iiifFF ）内内外外iiiiifrFrtL (dd i iiipr iL LtLMiidd iiiiitprptrdddd

13、16质点系中的各个质点相对于质点系中的各个质点相对于给定参考点给定参考点的外力力矩的外力力矩的矢量和的矢量和, 称为质点系对该称为质点系对该给定参考点给定参考点的合外力矩。的合外力矩。 ij）内内外外iiiiifrFrtL (ddoirjrjifijfijjjiifrfr jijifrr )(0 外外iiiFrtL ddM：质点系的合外力矩：质点系的合外力矩MtL dd质点系的角动量定理质点系的角动量定理17质点系对质点系对惯性系惯性系中某中某给定参考点给定参考点的角动量的角动量的时间变化率的时间变化率, 等于作用在该质点系上所有外力对等于作用在该质点系上所有外力对同一参考点同一参考点的总力矩

14、。的总力矩。质点系的角动量定理质点系的角动量定理iiiiiprLL iiiFrM ddLMt ddLM t 因此因此, 当质点系相对于某一当质点系相对于某一给定参考点给定参考点的合外力矩的合外力矩为零时为零时, 该质点系相对于该质点系相对于该给定参考点该给定参考点的角动量不的角动量不随时间变化。随时间变化。质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律0 xMconstLx 不一定守恒不一定守恒L18动量动量角动量角动量 力力力矩力矩vmp FprL FrM tpFdd tLMdd 质点：质点：质点系：质点系：tpFdd iiFF外外 iivmptLMdd iiiiiprLL iiiFrM 19

15、1）功）功rFA 变力的功：变力的功：恒力的功恒力的功:rd rr ar F） abbFo 变力变力 将质点由将质点由 a点点 移动到移动到 b点点FrFAdd 在线元在线元 上力上力 对质点所作的元功为对质点所作的元功为:rdF所作的总功所作的总功: baabrFAdbaFdr cos？ 一般力对质点所作的功，不仅与始、末位置有关，一般力对质点所作的功，不仅与始、末位置有关，而且与路径有关。而且与路径有关。 cos| rF cos|bardFdsFba cos第第8节节 功功 功率功率 202）功率）功率力在单位时间内所作的功，称为功率。力在单位时间内所作的功，称为功率。平均功率平均功率 瞬

16、时功率瞬时功率 tAPtAtAPtddlim0trFPddFFcosvv 21例例6 6、如图所示如图所示, ,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力一匹马以平行于圆弧形路面的拉力 拉着质量为拉着质量为m的车沿半径为的车沿半径为R的圆弧形路面极的圆弧形路面极 缓慢地匀速缓慢地匀速移动移动, ,车与路面的滑动摩擦系数为车与路面的滑动摩擦系数为 ， 求求: :车由底端车由底端A被拉上顶端被拉上顶端B时时, ,各力对车所做的功。各力对车所做的功。解解: :车车受受4个力的作用个力的作用拉力拉力F、摩擦力摩擦力f，沿沿切向切向路面支持力路面支持力N 指向圆心指向圆心O重力重力mg 竖直向下竖直向下在切向与法向

17、有在切向与法向有:sin0Ffmg Nf 而而 cossinFmg cos0Nmg 拉力的功拉力的功:dBFAAF S3122mgR d600( cossin )mgR RORAB o60mgfNF22重重力的功力的功d600singAmgR d()600cosmgR /2mgR 摩擦摩擦力的功力的功d0SfAf Sd600cosmgR mgR23 路面支持力路面支持力N的功为零的功为零.RORAB o6023作业：作业： 交到交到 -2T1124例例7.在光滑的水平桌面上在光滑的水平桌面上, 固定着如图所示的半圆固定着如图所示的半圆 形屏障形屏障,质量为质量为m 的滑块以初速的滑块以初速 v1 沿屏障一端沿屏障一端 的切线方向进入屏障内的切线方向进入屏障内, 滑块与屏障间的摩擦滑块与屏障间的摩擦 系数为系数为 。求：当滑块从屏障另一端滑出时，求：当滑块从屏障另一端滑出时， 摩擦力对它所作的功。摩擦力对它所作的功。1vvfN俯视图俯视图解：解：建立自然坐标系建立自然坐标系运动方程运动方程法向法向nmaN maf 分析：分析：受力：受力：Nf , n2