华南理工大学高等数学第5节

1、第一章第一章 函数与极限函数与极限 第第五五节节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大（一）无穷小（一）无穷小（二）无穷大（二）无穷大（三）无穷小的比较（三）无穷小的比较（四）利用等价无穷小求极限（四）利用等价无穷小求极限（1/23）第五节第五节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大（一）无穷小（一）无穷小（二）无穷大（二）无穷大（三）无穷小的比较（三）无穷小的比较（四）利用等价无穷小求极限（四）利用等价无穷小求极限（2/23）（一）无穷小（一）无穷小1.定义定义: 极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.注意：注意： 1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与绝对值很小的数混淆不能与绝对值很小的数混淆;

2、2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.（3/23）例如例如,n1lim0,n 1nn 数数列列是是当当时时的的无无穷穷小小量量1lim0 xx ，1xx 函函数数是是当当时时的的无无穷穷小小量量22lim01xxx 221xxx 函函数数是是当当时时的的无无穷穷小小量量 0lim10 xxe 0 xex函函数数- -1 1是是当当时时的的无无穷穷小小量量（4/23）二、无穷小的性质二、无穷小的性质性质性质1 有限个无穷小之和仍是无穷小有限个无穷小之和仍是无穷小.性质性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质性质2 有限个无穷小之积仍是无穷

3、小有限个无穷小之积仍是无穷小. 220001 lim0,lim0,lim0 xxxxxxx例例如如：）0002 lim0,limsin0,limsin0 xxxxxxx）00113 lim0, sin1,liminxxxxxx）（5/23）推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 无穷小与无穷小的乘积是无穷小无穷小与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 无穷小除以极限存在且不为零的变量无穷小除以极限存在且不为零的变量仍仍 是无穷小是无穷小.011lim0,lim0.cos1xxxxxx 例例如如：注：注：两个无穷小相除，结果不一定是无穷小两个无穷小相除，结果不一

4、定是无穷小 可能出现各种可能性可能出现各种可能性. .（6/23）第五节第五节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大（一）无穷小（一）无穷小（二）无穷大（二）无穷大（三）无穷小的比较（三）无穷小的比较（四）利用等价无穷小求极限（四）利用等价无穷小求极限（7/23）绝对值无限增大的绝对值无限增大的变量变量称为称为无穷大无穷大.（二）无穷大（二）无穷大特殊情形特殊情形：正无穷大，负无穷大：正无穷大，负无穷大注意注意 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;00()()lim( )(lim( )xxxxxxf xf x 或或0011lim, limxxxx 例例如如：（8/23）在同

5、一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数无穷大的倒数为无穷小为无穷小恒不为零的恒不为零的无穷小的倒数无穷小的倒数为无穷大为无穷大. .无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系( ),0( )10( )f xxxf xxf x 例例如如：对对当当时时，为为无无穷穷小小；当当时时，为为无无穷穷大大；（9/23）第五节第五节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大（一）无穷小（一）无穷小（二）无穷大（二）无穷大（三）无穷小的比较（三）无穷小的比较（四）利用等价无穷小求极限（四）利用等价无穷小求极限（10/23）（三）无穷小的比较（三）无穷小的比较xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxx

6、x极限不同极限不同, 反映了反映了趋向于零的趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限无穷小的和、差、积仍为无穷小无穷小的和、差、积仍为无穷小. .无穷小的商是什么？无穷小的商是什么？例如例如: :.1sin,sin,022都都是是无无穷穷小小时时当当xxxxxx 结论结论: :（11/23）定义定义 (3)lim1,xxxxxx 如如果果则则称称与与是是等等价价无无穷穷小小记记作作( )(2)lim(0),( )( )( )xA Axxx 如如果

7、果就就说说与与是是同同阶阶无无穷穷小小( )(1)lim0,( )( )( )( )( ( );xxxxxox 如如果果就就说说是是比比高高阶阶的的无无穷穷小小记记作作( ),( )xx设设是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无穷穷小小（12/23）例例1 1解解.)(,速度的快慢速度的快慢趋于零趋于零与与试比较无穷小试比较无穷小时时当当 xxx,lim)(lim xxxxxx)()()( xxox:)(,趋趋于于零零的的速速度度快快得得多多要要比比趋趋于于零零的的速速度度从从下下表表可可以以看看出出事事实实上上 xx（13/23）例例2 2 比较下列各组无穷小比较下列各组无穷小211(1)

8、1()();12(2)0()2()sin;xxxxxxxxxxx 当当时时，与与当当时时，与与 解：解： 2000002()2(2)limlim= lim2= limlim 20.()sinsinsin02=o sin.xxxxxxxxxxxxxxxxxx 当当时时， 111()111+(1)limlim= lim=1()111111.1xxxxxxxxxxxxxx 当当时时，（14/23）第五节第五节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大（一）无穷小（一）无穷小（二）无穷大（二）无穷大（三）无穷小的比较（三）无穷小的比较（四）利用等价无穷小求极限（四）利用等价无穷小求极限（15/23）（四）利用等价

9、无穷小求极限（四）利用等价无穷小求极限 20 sin tan1 ln 11cos211 xnxxxxxexxxxnx 当当时时：xycos1 221yx .);,(lnxnxaaaxanx 特别特别常用等价无穷小常用等价无穷小（16/23）常用等价无穷小常用等价无穷小 ()2lim0() sin() tan()() 1 ln 1()()1cos() 21()1 ()xnxxxxxexxxxnx 某某过过程程若若，则则：（17/23）无穷小代换原则：无穷小代换原则：积商可部分代换，和差只能总体代换积商可部分代换，和差只能总体代换. .（18/23）例例2 2 求下列极限求下列极限 020tan

10、3(1)lim;sin 5121(2)lim;ln 12xxxxxxx 00(1)0tan 33 ,sin 55tan 333limlim.sin 555xxxxxxxxxxx 当当时时， 解：解： 2222001(2)01+21 22ln 122,121+2112limlimln 1222xxxxxxxxxxxxxxx 当当时时，（19/23）202limxxxeex 求求极极限限： 解：解： 222000112limlimlim0 xxxxxxxeeeexxxxx 22200220012limlimlimlim1xxxxxxxxxxeeeexxexex （20/23）例例.2sinsint

11、anlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 （21/23）例例.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解00200tan 51coslimlimsin 3sin 3152limlim3353xxxxxxxxxxxx 原原式式（22/23） 小结小结1.1.无穷小的比较无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小