卡氏定理学习教案

1、会计学1卡氏定理卡氏定理(dngl)第一页，共25页。相应位移 载荷 F 作用点处沿载荷作用方向的位移 D. 由所有载荷共同(gngtng)引起外力(wil)功 载荷 F 在其相应位移 D 上所作之功广义载荷 力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或力偶等广义位移 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等应变能 构件因变形而储存的能量（变形能）第1页/共24页第二页，共25页。基本(jbn)公式 一般(ybn)物体相应(xingyng)位移 d : 0 D ddfW 0 dfW 线性弹性体 f kf 0 d kW2 FW 载荷 f : 0 F22 kk线弹体在载荷作用点、沿其作用方向产生单位位移

2、所需之力，称为刚度系数第2页/共24页第三页，共25页。克拉克拉(kl)比隆比隆定理定理 Fi广义(gungy)载荷，D i相应广义(gungy)位移 niiF,F,F，21 niiiFW12 （与加载次序(cx)无关） 本定理只适用于线性弹性体第3页/共24页第四页，共25页。 lllEIxxMGIxxTEAxxFV 2 p2 2N2)d(2)d(2)d( lzzlyyllEIxxMEIxxMGIxxTEAxxFV 2 2 t2 2N2)d(2)d(2)d(2)d( 非圆截面(jimin)杆或杆系：EIxxMGIxxTEAxxFV2)d(2)d(2)d( d 2p22N 圆截面(jimin)

3、杆或杆系：y , z轴主形心轴第4页/共24页第五页，共25页。 i j引起位移(wiy)的载荷发生(fshng)位移的部位两种加载状态功的互等定理（简单形式）第5页/共24页第六页，共25页。先加先加 F1，后加，后加 F2先加先加 F2，后加，后加 F1121222111122 FFFW 212111222222 FFFW 21WW 212121 FF 线性弹性体的两种加载方式(fngsh)与外力功：总功与加载次序(cx)无关第6页/共24页第七页，共25页。 对于线性弹性体，F1在F2引起的位移(wiy)D12上所作的功，等于F2 在F1引起的位移(wiy) D21上所作的功功的互等定理

4、（一般(ybn)形式） 对于线性弹性体，第一组外力(wil) Fi 在第二组外力(wil)引起的位移 DiP 上所作的功，等于第二组外力(wil) Pj在第一组外力(wil)引起的位移 DjF上所作的功 mjjjniiiPF1F1P 212121 FF 第7页/共24页第八页，共25页。位移(wiy)互等定理212121 FF 当F1= F2时2112 当F1与F2的数值(shz)相等时， F2在点1沿F1方位引起的位移D12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移D21第8页/共24页第九页，共25页。第9页/共24页第十页，共25页。余功与余能余功与余能Complementary Work a

5、nd Complementary Energy FfW0 cd 0 dfW FWW c弹性体的余能Vc数 值上等于(dngy)余功：ccWV 余功的定义(dngy):第10页/共24页第十一页，共25页。 单向单向(dn xin)应应力状态下的余能密度力状态下的余能密度为为故拉压杆与梁的故拉压杆与梁的余能为余能为 *0 cd v VVV *0 cd d 余能计算(j sun)余能是载荷(zi h)的函数12(,)CCnVV F FF 对线弹体CVV 第11页/共24页第十二页，共25页。问题：弹性结构受n个载荷作用， 求指定载荷Fk的相应位移k给载荷增量kF ckkWF 余功增量cckkVVF

6、F 余能增量第12页/共24页第十三页，共25页。kkFW ckkFFVV cccc WV ckkFV 弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数(do sh)，等于该载荷的相应位移 Dk 克罗第恩格塞定理 Crotti-Engessers theorem第13页/共24页第十四页，共25页。cVV c kkFV kkFV 线性弹性体的应变能，对载荷(zi h) Fk 的偏导数，等于该载荷(zi h)的相应位移 D k 卡氏第二定理xFMEIxMxFMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFkzlzzkylyyklklkd)(d)(d)()(d)()( tN N 对于(duy)线性弹性体：A. Cas

7、tigliano (1847-1884)，意大利工程师。1870年入都灵工业学院，1873年提出工程师学位论文。卡氏第一定理 lzzlyyllEIxxMEIxxMGIxxTEAxxFV 2 2 t2 2N2)d(2)d(2)d(2)d( 第14页/共24页第十五页，共25页。10kkVVVFF 1102kkkkFVWWF kkVF 线弹性体受n个载荷0012niiiFVW 外力功考虑(kol)两个加载过程给载荷增量kF 1),ikFF先先后后 2),kiFF先先后后 线弹性体外力(wil)功与加载次序无关第15页/共24页第十六页，共25页。例 3-1 用卡氏定理求By解：FFEAlFFFEA

8、lFBy N22N2N11N1 FF2N1 FF N2222 EAlFBy (-1)(- EAlFEAFlBy1)2(2 （）NN NN( )( )d1klkniiiikFxFxxEAFFlFEAF 第16页/共24页第十七页，共25页。解：1. 分析方法 0ee)()( MBBM,qq 施加(shji)矩为 Me的力偶0eed)()()( MlBxMxMEIxMq 附加(fji)力偶附加(fji)力法转角B所对应的载荷？EI例 3-2 利用卡氏定理计算BEI第17页/共24页第十八页，共25页。lMqlFAye2 22)(2eqxlxMqlxxM lxMM e2. 位移(wiy)计算 lBE

9、IqlxlxqxqlxEIq03224d221)( ()0eed)()()( MlBxMxMEIxMq 第18页/共24页第十九页，共25页。解：1.应力(yngl)分析例 3-3 利用克罗第恩格塞定理计算 wA ， c y ycc ybycAyMhAd2d 3/2/20 255/2cbhM Fx 5/2251cbhFx 5/225bhyFx 第19页/共24页第二十页，共25页。 c 0022cddcv15/23233/23c32250hbcxyFv lhhbclFxyvV0/2052243cc625dd22. 余能与位移(wiy)计算52242c225hbclFFVwA （）第20页/共2

10、4页第二十一页，共25页。AFFBaa例 3-4 图示刚架的变形能为U，问UF 代表什么？合力(hl)的相应位移？A点合位移(wiy)？解：考虑(kol)该刚架的另一载荷状态，其变形能ABaa1F2F12(,)UU F F 则12,AAUUfFF 第21页/共24页第二十二页，共25页。若令12,FFFF 则由复合(fh)求导法则12121212AAFFFFFFUUUUUFFFFFFFf 可见，UF 为两F载荷相应位移的代数和。若两个(lin )F载荷平行、反向，UF 为两载荷对应的相对位移。第22页/共24页第二十三页，共25页。1A 22222AAAUUUfFFF ABA AfAFFBaa2FF A 合力的相应(xingyng)位移 22AAAf A 第23页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结会计学。 上讲回顾。广义载荷 力，力偶，一对大小相等(xingdng)、方向相反的力或力偶等。 本定理只适