2021中考数学热点题型专练：相似

1、、选择题1.如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即RtAACB）中截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）【解析】设AF=x,则AC=3x,四边形CDEF为正方形, EF=CF=2x,EFABC, EFABC,那EFBC,A AEFAFEFAF1 1=BCAC3BCAC3 BC=6x,在RtAABC中，AB=|（配居/*）2=35x,3fx=30,解得x=2f, AC=6,氐BC=1275,相似A.200cm2B. 170cm2C. 150cm2D.100cm2AD/CGADH54

2、GCH.4一丁HR先1丁占叁GCHQ 口（3d-d又AGCHS4GBA:,求然=(G7=R=百备0二幺婕田二:乂尹春故选A剩余部分的面积=2 2X6xi诋-（4泥）2=100（cm2）.2.把边长分别为1和2的两个正方形按图3 3的方式放置.则图中阴影部分的面积为i_ii气（C）5（叱【答案】A【 解 析 】 如3.如图，在4ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2,O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E,则BE:EC=B.1:3【答案】B【解析】如图，过O作OGBC,交AC于G, O是BD的中点，AG是DC的中点.又AD:DC=1:2,AAD=DG=GC, AG:GC=2:1,AO:OE

3、=2:1,ASAAOB:SABOE=2,设SABOE=S,SAAOB=2S,又BO=OD,SAAOD=2S,SAABD=4S, AD:DC=1:2,SZBDC=2SAABD=8S,S四边形CDOE=7S, S从EC=9S,S从BE=3S,C.1:4故选：B.4.如图，在AABC中，点D,E分别在AB和AC上，DEABC,M为BC边上一点（不与点B,C重合），连A AATATANAND DBDBDMtMtA.B.ANANAEAEMNMNCECE【答案】C【解析】ADNABM,AADNAAABM,咀=型,蝴NEAMC,AANEAAAMC,ANEANMCMC领A ADNDNNENE= =, ,即MC

4、MC故选：C.5.正方形ABCD的边AB上有一动点1点B的过程中，矩形ECFG的面积(LC.典上DR3.BMMCMCBMMCMC而E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D.在点E从点A移动到)接AM交DE于点N,则(A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变【答案】D【解析】正方形ABCD和矩形ECFG中，DCB=AFCE=90,AF=AB=90,ADCF=AECB,BCEAAFCD,ACFCD,:ECF?CE=CB?CD,矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等.故选：D.6.如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6,绕底面一棱进行旋

5、转倾斜后，水面恰女?触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）设DE=x,则AD=8-x,解得：x=4,DE=4,E=90,由勾股定理得：CD=JDE+CE卬4Q，?-5,BCE=ADCF=90,DCE=ABCF,【解析】过点C作CFABG于F,如图所示:根据题意得:看(8-x+8)X3X手3X3X6DEC=ABFC=90,CDEAABCF,ACECDCFCFCBCBA A2424CF=5 57.下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为8 .如果两个三角形相似，相似比为C.如果两个三角形相似，相似比为D.如果两个三角形相似，相似比为【答案】B4:9,那么这两个三

6、角形的周长比为4:9,是假命题;4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9,是真命题;即CFCF8C、如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为16:81,是假命题;D、如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为16:81,是假命题;8.如图,ABOAACDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是（4:9,那么这两个三角形的周长比为2:34:9,那么这两个三角形的周长比为4:94:9,那么这两个三角形的面积比为2:34:9,那么这两个三角形的面积比为4:9【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为B、如果两个三角形相似，相似比为共有6个组合分别为:A

7、EGsADC,AEGsCFG,AEGsADCsCFG,ADCsCBA,【解析】BO/DO,DODCDODCBO=6,DO=3,CD=2,【解析】图中三角形有:-AB/EF/DC,AD/BCAEGsADCsCFGsCBAB.3C.4D.一ABAB解得：AB=4.故选：C.9.（2019广西玉林市）如图，AB/EF/DC,AD/BC,EF与ACG,则是相似三角形共有（）A.3对B.5对C.6对【解析】DE=4ACB,AA=AA,AADEAACB,人画AHAHBnBn2 2AEAE=,即-=,ACABACAB4646解得，AE=3,故选：C.CFGsCBA故选：C.10.如图,D、E分别是ABC边A

8、B,AC上的点，ZADE=AACB,若AD=2,AB=6,AC=4,贝UAE的长B. 2C. 3二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3T5,点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE,点M、N在线段BD上.若4PMN是等腰三角形且底角与4DEC相等，则MN=.【答案】6【解析】作PFAMN于F,如图所示：则PFM=APFN=90,四边形ABCD是矩形， AB=CD,BC=AD=3AB=3i/lQ,AA=AC=90,AB=CD=lio,BD=JAB：=10, PDF小DA,PF9PF9即一=一-一，Vioio解得：PF=2,2 CE=2BE, BC=AD=3BE, BE=CD

9、, CE=2CD, PMN是等腰三角形且底角与ADEC相等，PFAMN,MF=NF,APNF=ADEC,点P是AD的中点，PDF=ABDA,二二SBBDPFN=AC=90,PNFAADEC,=2,NF=2PF=3,MN=2NF=6;12.已知三个边长分别为2cm,3cm,5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为m 加【答案】3.75cm2【解析】对角线所分得的三个三角形相似，5x根据相似的性质可知5-,105解得x2.5,即阴影梯形的上底就是32.50.5(cm).再根据相似的性质可知-，2.5所以梯形的下底就是312(cm),故答案为：3.75cm2.交CD于点Q,则CQ的最大值为【解

10、析】AABEP+ABPE=90,AQPC+ABPE=90,BEP=ACPQ.又B=4C=90,BPEACQP.BEBPBEBP口-设CQ=y,BP=x,贝UCP=12-x. T二三,化简得y=-=(x2T2x),IZryIZry整理得y=(x-6)2+4,所以阴影梯形的面积是(20.5)323.75(cm2).13.如图，正方形ABCD中,AB=12,AE=，点P在BC上运动(不与B、C重合)，过点P作PQAEP,所以当x=6时，y有最大值为4.故答案为4.14.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠（点E,H在AD边上，点F,G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称

11、点为A点，D点的对称点为D点，若FPG=90,那EP的面积为4,ADPH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于.【答案】2（5+3宿）【解析】四边形ABC是矩形, AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x,由翻折可知：PA=AB=x,PD=CD=x,那EP的面积为4,PH的面积为1, AE=4DH,设DH=a,则AE=4a,AAEPAADPH,。H HPDPD，x2=4a2,x=2a或-2a(舍弃)，PA=PD=2a,i?a?2a=1,2 2a=1,x=2,AB=CD=2,PE=242=275,PH=!匹於=*底AD=4+2Vs+/5+l=5+3,矩形ABCD的面积=2(5+3不).故答案为2(

12、5+3S)三、解答题：15.如图，RtABC中，ACB90,ACBC,P为ABC内部一点，且APBBPC(1)求证：PABsPBC;(2)求证：PA2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,%,求证h；h,*h3.【解析】（1）-ACB90ABBC,135ABC45PBAPBC又APBPABPBA45PBCPABBPC135PABsPBC(2)PABsPBCPAPBABPBPCBC在RtABC中，ABACABBC.2PB2PC,PA2PBPA2PC(3)如图，过点PDBC,PEAC交BC、AC于点D,E,PFh1PDPECPBAPB135135270APCEAPA

13、CP90又ACBACPPCD90EAPRtAEPsRtCDPhs2h2-PABsPBC,*AB2,h2BCh.2h22_2_h2m2m/2h2h3.即：h2h2*h3.16.已知AABC和点A,如图.(1)以点A为一个顶点作AABC,使巳匕公BC,且那BC的面积等于AABC面积的4倍；(要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)设D、E、F分别是AABC三边AB、BC、AC的中点，D、E、F分别是你所作的那BC三边AB、BC、CA的中点，求证：DEFADEF.PEDPAPPC2,即h32,h2【解析】（1）作线段AC=2AC、AB=2AB、BC=2BC,得那BC即可所求.证明：AAC=2A

14、C、AB=2AB、BC=2BC,（2）证明:D、E、F分别是“BC三边AB、BC、AC的中点,DE=EC,DF=yAC,DF=yAC,即士四,坦乙乙DEFABC由（1）可知：AABCAABC；DEFADEF.17.如图，在ABC中，A90,AB3,AC4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合)，且MQBC,过点M作BC的平行线MN，交AC于点N,连接NQ,设BQ为x.(1)试说明不论x为何值时，总有QBMsABC;(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由;(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值.【解析】(1)AMQBC,MQB90,MQBCAB,又QBMABC,QBMsABC；(2)当BQMN时，