12-13随机过程试题B卷答案

1、华中师范大学2012N013学年第1学期期末考试试卷卷答案）课程名称应用随机过程课程编号83610101任课教师李波:号学：名姓生学：级年：业专系土题型一二三四五总分分值1026302410100得分得分评阅人、判断题：（共5题，每题2分）1 .设Bt是标准布朗运动，丫=-Bt+a也是标准布朗运动。（T）2 .两个的泊松过程之和与之差一定是泊松过程。（F）3 .马氏链状态i与j即使互达，i,j也可能有不同的周期。（F）4 .离散鞅是Markov过程。（F）5 .随机过程X（t,切）可以看成一个二元函数。（T）得分评阅人二、证明题：（共3题，6题10分7、8题8分,）6.设X（t）和Y（t）为相

2、互独立的宽平稳过程。证明Z（t）=X（t）Y（t）是平稳过程。解：由于X（t）和Y（t）是相互独立是平稳过程，故EZ(t)=E(X(t)Y(t)=EX(t)EY(t)=mXmY=数。RZ(t,t)=EX(t)Y(t)X(t)Y(t)=EX(t)X(t)EY(t)Y(t)=Rx(t)Ry，与t无关。E|Z(t)|2=Rz(0)=Rx(0)Ry(0)<8因此Z(t)是平稳过程。7设N(t)为Poisson过程，对s<t,证明在t时刻到达k次的条件下s时刻达到次数的概率，即PN(s)=k|N(t)=n服从二项分布。证明：PN(s)=k|N(t)=n=P(N"N")P(

3、N(t)=n)_P(N(s)=k)P(N(t)-N(s)=n-k)_e(s)k/k!e-'(t”)(t-s)n"/(n-k)!一P(N(t)=n)-e-'(t)n/n!n!sk(t-s)nAk!(n-k)!tn8 .试证连续时间马氏链的向后微分方程，P(t)=QP(t)。证明：由C-K方程有pj(t+h)=£Pik(h)Pkj(t)kPij(t'h)-Pj(t)-Pk(h)Pkj(t)-1-pH(h)Pij(t)k：ih>0.Pj(t.h)-Pj.、.Pik(h)hgh=也匕下pkj(t)-qiipj(t)Pj(t)-qikPkj(t)-q.P

4、j(t)k得到P'(t)=QP(t)称为向后微分方程。第1页(共3页)得分评阅人三、计算题：(共3题，每题10分)9 .设顾客以速率九的Poisso世程N(t)到达火车站，设火车站时刻t离站，问在(0,t区间内乘客的总等待时间的期望。解：由题意设乘客的到达时间为期,则等待时间为t-&N(t)总等待时间为W(t)=、，(t-，k)k1N(t)N(t)E(W(t)二Er(t-也)二EE(t-k)|N(t)k<k工N(t)nE(t.k)|N(t)=n=ntEk|N(t)=nk±k土由定理在N(t)=n条件下n个的联合分布等价与0,t上n个相互独立服从均匀分布的随机变量

5、nnt的联合分布。所以可计算E'？：k|N(t)=n=E,Uk=n0xdx=kz!k±t2.二ntt.二t2，E(W(t)=2(nt)PN(t)=n=xnPN(t)=n=n壬22n±210 .某权威机构对主流日用品的三种品牌ABC进行顾客消费习惯的调查，并建立Markov链模型，三种品牌间的消费转移概率矩阵为：1/21/20P=1/31/31/3'1/61/21/31a)证明该链是遍历马氏链。b)试预估各产品的市场占有率。c)讨论使用产品C的平均间隔(即该状态的平均返回时间)，试解释实际意义。解：a)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以遍历b)所以马

6、尔可夫链平稳分布存在，由定理可得方程组工=1/2/+1/3%+1/6%n2=1/29+1/3n2+1/2%二3二0二11/3二21/3二33I23二1.二2.二3二1解上述方程组得平稳分布为-：1=5二2=6二141414_c）状态3的平均返回时间u3=4.667,即,333=一14认为使用一件产品认为是“一代”平均使用第4.667代时，重新选用Co111、11分支过程中一个体厂生后代的分布为P0=，P1=，P2=,初始为一个母体，试求第n代个424数的均值方差及全体消亡概率。Xn二解：Xn=、乙E(Xn)=E(Xn9=JDXn-DZJn1JIHJn,=nDZ11124(s)=s=+s+s,解

7、得消匚概率为s=1424得分评阅人四、综合题：（共2题，每题12分）12.叙述马氏链态的划分（5分!）。应用相关理论讨论下例的各个状态。设Xn，n20是马氏链，其状态空间E=0,1,2,111,转移概率为111.匚P0,0=2.1=2,Pi,0=2,iE试用转移图的方法考察状态的0的常返性和遍历性，进而讨论整个状态空间E的常返性和遍历性。定义：常返正常返零常返瞬过略图略对状态0来说，我们有fo（0）=1,fof=-1=1,f0（3）=-1-=-,所以一般的我们有22242228foO"=工，故而foo=2fo0）=工n=1,%=£nfoO"=工n2”<0&#

8、176;.所以状态0是正常返的，2n1n12n1n1又po1o=Po,o=1>o,从而o是非周期的，因此o是遍历的。因为整个状态空间E是连通的，所以，对任意的状态i,它都是遍历的。13.用数学语言描述布朗运动的主要性质，并对一维布朗运动Bt计算E（BtBs）,E（B：）,解：布朗运动有很多好性质比如布朗运动是时齐的独立增量过程，也是时齐的马氏过程。布朗运动具有平稳增量，且Bt#-Bs_h的分布就是n维的正态分布N（o,（t-s）I）.布朗运动是鞅（需写出鞅性的表达式）布朗运动的数字特征有cov（Bs,Bj=s八t等。布朗运动平移变换尺度变换后仍然是布朗运动等布朗运动的几乎每条样本轨道是连续的但对几乎每条样本轨道上的任意一点t0,其导数几乎处处不存在。等等_2BtN（0,。t）P(x)=1e*/2t022二t二E(B：)=1-x2/21.2_4e-dx=2：t。'二