现代控制理论PPT学习教案

1、会计学1现代现代(xindi)控制理论控制理论第一页，共96页。第2页/共96页第二页，共96页。uy4k111sTk122sTksTk33u11Tk11T22Tk3x 3x1x 2x 2x1x21T33Tk4ky例例1（见书）（见书）第3页/共96页第三页，共96页。图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择(xunz)积分环节后的变量为状态变量）：积分环节后的变量为状态变量）：则有：则有：2131xTkx 3222221xTkxTx uTkxTxTkkx11311114311xy 写成矩阵形式：写成矩阵形式：uTkxxx

2、TTkkTkTTkX1132111412223300101000X001y第4页/共96页第四页，共96页。前面已经介绍了前面已经介绍了SISOSISO系统从传递函数求系统的状态空间系统从传递函数求系统的状态空间(kngjin)(kngjin)表达式表达式, ,下面将介绍其逆问题下面将介绍其逆问题, ,即怎样从状态空间即怎样从状态空间(kngjin)(kngjin)表达式求系统的传递函数阵。表达式求系统的传递函数阵。已知已知MIMOMIMO线性定常系统的状态空间线性定常系统的状态空间(kngjin)(kngjin)表达式为表达式为其中(qzhng)x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输

3、出向量。ABCD xxuyxu1.4 从状态空间从状态空间(kngjin)表达式求系统传递函数表达式求系统传递函数（阵）（阵）第5页/共96页第五页，共96页。对上式取拉氏变换(binhun),有)()()()()()0()(sDUsCXsYsBUsAXssXx其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换;x(0)为x(t)的在初始(ch sh)时刻t=0的值。由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系,不考虑系统初始(ch sh)条件的影响。因此令x(0)=0,于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)ABCD xxuyxu第6页/

4、共96页第六页，共96页。 将上述X(s)代入输出方程(fngchng),有 Y(s)=C(sI-A)-1B+DU(s) 线性定常连续系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-A)-1B+D 若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统,则有 G(s)=C(sI-A)-1B第7页/共96页第七页，共96页。对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换分别为U(s)和Y(s),则系统的输入输出间的动态关系可表示(biosh)为Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。G(s)的形式为)(.)()(.)(.)()()(.)()()(212222

5、111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGmrmmrr其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态(dngti)传递关系。第8页/共96页第八页，共96页。DBAsICsG1)()(DuCxyBuAxx SISO系统，用传递函数系统，用传递函数G(s)描述，描述，G(s)是一个元素；是一个元素；MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵G(s) ，G(s)是一个矩是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；同一系统，不同同一系统，不同(b tn)的状态空间表达式对应的传递函数阵应是

6、相同的。即的状态空间表达式对应的传递函数阵应是相同的。即描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。第9页/共96页第九页，共96页。 1120112012016116100010CBA，由传递函数矩阵由传递函数矩阵(j zhn)公式得：公式得：20120161161001112011)()(W11sssDBAsICs根据根据(gnj)矩阵求逆公式：矩阵求逆公式：)det()()(1AsIAsIadjAsI 第10页/共96页第十页，共96页。求得：求得： 222316116)6(6161166116161

7、161001sssssssssssssss求得传递函数阵为：求得传递函数阵为：14173525644329461161)(W222223ssssssssssss第11页/共96页第十一页，共96页。1.5 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述(mio sh)和传递函数矩阵和传递函数矩阵已知两独立已知两独立(dl)子系统的状态空间描述和传递函数如下子系统的状态空间描述和传递函数如下)(),();(),(222222111111sGDCBAsGDCBA研究研究(ynji)系统三种连接下的数学模型系统三种连接下的数学模型1）串联串联2）并联）并联3）反馈）反馈第12页/共96页第十二页，共9

8、6页。并联连接组合并联连接组合(zh)系统结构图系统结构图第13页/共96页第十三页，共96页。设两个(lin )子系统的传递函数阵为111111)()(DBAsICsG221222)()(DBAsICsG其对应的状态(zhungti)空间表达式分别为1111111111uxyuxxDCBA2222222222uxyuxxDCBA第14页/共96页第十四页，共96页。从图可知u1=u2=u y1+y2=y故可导出并联(bnglin)联结组合系统的状态空间模型为uxxxx2121212100BBAAuxxuxuxy)(21212122221111DDCCDCDC第15页/共96页第十五页，共96

9、页。 )()()()()(00)(00)(2122122111112121121121212112121sGsGDBAsICDBAsICDDBBAsIAsICCDDBBAAsICCsG第16页/共96页第十六页，共96页。串联联接组合系统串联联接组合系统(xtng)方块结构图方块结构图设图所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联(bnglin)连结的结构相同,其对应的状态空间表达式也分别相同。第17页/共96页第十七页，共96页。从图可知 u1=u u2=y1 y2=y因此可导出串联组合系统的状态(zhungti)空间方程为uxuxx11111111BABAuxxuxxyxu

10、xx12221121111222122222222)(DBACBDCBABABA第18页/共96页第十八页，共96页。uxxuxxuxyy1222112111122222222)(DDCCDDCDCDC相应的输出(shch)方程为uDBBxxACBAxx121212121210uDDxxCCDy)(1221212第19页/共96页第十九页，共96页。1112122121221111212211112122112111211122211112221211222210( )0()(ABG sD CCsID DB CAB DsIABD CCD DB DsIAB CsIAsIAD CsIABCsIAB

11、 CsIABCsIAB DD DC sIABDC s111121)( )( )IABDG s G s第20页/共96页第二十页，共96页。串联联结组合(zh)系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积。应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致。第21页/共96页第二十一页，共96页。反馈反馈(fnku)连接组合系统结构图连接组合系统结构图第22页/共96页第二十二页，共96页。其对应的状态(zhungti)空间模型分别为11110)()(BAsICsG2122)()(BAsICsF1111111

12、1ABCxxuyx22222222ABCxxuyx第23页/共96页第二十三页，共96页。11111111211122122222222122211111()ABABABCBABABAB CCxxuxuyxxuxxuxyxxyyx第24页/共96页第二十四页，共96页。即有1112112212211200ABCBB CACxxuxxxyx反馈反馈(fnku)联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。量的维数之和。Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)U(s)-Y2(s)=G0(s)U(s)-F(s)Y(s) I+G0(s)F(s)

13、Y(s)=G0(s)U(s) Y(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)U(s)反馈联结组合(zh)系统的传递函数为G(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s) 或 G(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1由反馈联结组合(zh)系统的联结图可知第25页/共96页第二十五页，共96页。状态空间模型不具有唯一性.原因: 状态变量的不同选择两个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低(jingd)系统的分析问题和设计问题的难度。1.6 状态状态(zhungti)向量的线性变换和状态向量的

14、线性变换和状态(zhungti)空间表达式的特征标准型空间表达式的特征标准型第26页/共96页第二十六页，共96页。 x x y y A(xa,ya) (xa,ya) 状态状态(zhungti)空间的线性变换空间的线性变换第27页/共96页第二十七页，共96页。上述状态变量向量(xingling)x与 间的变换,称为状态的线性变换。由线性代数知识可知,它们之间必有如下(rxi)变换关系1212.nnxxxxxxxx x x 其中P为nn维的非奇异变换矩阵。xxxx1PP值得指出的是:变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和 间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。第28页/共96页第二十八页，共96

15、页。q两种表达式之间存在两种表达式之间存在(cnzi)(cnzi)什么关系什么关系? ?x x 设在状态变量x和 下,系统状态空间(kngjin)模型分别为( , ,):( , ,):ABA B C DCDABA B C DCDxxuyxuxxuyxuPPAPBxxxu将变换关系x=P 代入(A,B,C,D)的状态方程中有第29页/共96页第二十九页，共96页。11P APP BCPDxxuyxu由于变换矩阵P非奇异(qy),因此有则有系统(xtng)的初始条件也必须作相应的变换,即将上式与状态空间模型(mxng) 比较,则线性系统(A, B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系

16、( , ,)A B C D11AP APBP BCCPDD其中t0为系统运动的初始时刻。)(010tPtxx）第30页/共96页第三十页，共96页。系统特征值的不变性与系统的不变量系统特征值的不变性与系统的不变量由前面的讨论可知由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量当选择不同的状态变量,则获得不则获得不同的状态空间模型描述。同的状态空间模型描述。实际上实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而它随状态变量选择的不同而不同不同,并不具有唯一性和不变性。并不具有唯一性和不变性。那么那么,到底

17、系统在状态空间中有哪些描述到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是哪些性质是不变的不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的是不随状态变量的选取不同而变化的?线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影响影响,决定决定(judng)了系统的基本特性。了系统的基本特性。第31页/共96页第三十一页，共96页。1. 系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量状态状态(zhungti)空间的线性变换空间的线性变换,只是改变了只是改变了描述系统的角度描述系统

18、的角度(或说坐标系或说坐标系),系统的本质系统的本质特征应保持不变。特征应保持不变。对于线性定常系统来说对于线性定常系统来说,系统的特征值系统的特征值(极点极点)决决定了系统的基本特性。定了系统的基本特性。特征值应是系统不变的本质特征之一。特征值应是系统不变的本质特征之一。系统经状态系统经状态(zhungti)线性变换后线性变换后,其本质特其本质特征之一的特征值应保持不变征之一的特征值应保持不变,亦即状态亦即状态(zhungti)线性变换不改变系统的基本特线性变换不改变系统的基本特性。性。下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。第32页/共96页第三十二页，

19、共96页。定义定义1 设设v是是n维非零向量维非零向量(xingling),A是是nn矩阵。矩阵。若方程组若方程组Av=v成立成立,则称则称为矩阵为矩阵A的特征值的特征值,非零向量非零向量(xingling)v为为所对应的矩阵所对应的矩阵A的特征向量的特征向量(xingling)。将上述特征值的定义式写为将上述特征值的定义式写为(I-A)v=0 其中其中I为为nn的单位矩阵。的单位矩阵。因此因此,由代数方程论可知由代数方程论可知,上式有非零特征向量上式有非零特征向量(xingling)v的解的充要条件为的解的充要条件为|I-A|=0 并称上式为矩阵并称上式为矩阵A的特征方程的特征方程,而而|I

20、-A|为为A的特征多项式的特征多项式。 第33页/共96页第三十三页，共96页。将|I-A|展开，可得|I-A|=n+a1n-1+an-1+an=0其中ai(i=1,2,n)称为特征多项式的系数。因此,nn维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。若矩阵A为实矩阵,则对应(duyng)的特征方程为一实系数代数方程,共有n个根。这n个根或为实数,或为成对出现的共轭复数。求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。n阶的特征方程的n个根1,2,n即为矩阵A的n个特征值。在得到特征值i后,由定义可求得矩阵对应(duyng)于i的特征向量vi。第34页/共96页第三十四页，共96页。矩阵特征值的概念(gi

21、nin)可推广至线性定常系统(A,B,C,D)。定义2 对于线性定常系统(A,B,C,D),系统的特征值即为系统矩阵A的特征值。关于系统特征值,几点注记:A. 一个n维线性定常系统必然有n个特征值与之对应。B. 对于物理上可实现的系统,其系统矩阵必为实矩阵。因此,线性定常系统的特征多项式必为实系数多项式,即系统的特征值或为实数,或为成对出现的共轭复数。第35页/共96页第三十五页，共96页。2. 系统特征值的不变性系统特征值的不变性系统的特征值表征了系统本质的特征。系统的特征值表征了系统本质的特征。而线性变换只是相当于对系统从另外而线性变换只是相当于对系统从另外(ln wi)一个角度来描述而已

22、一个角度来描述而已,并未改变系统的并未改变系统的本质。本质。刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而改变变换而改变,即有如下结论即有如下结论:线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。第36页/共96页第三十六页，共96页。111| | |()| | | | |IAIP APPIA PPIAPIAA后,系统(xtng)矩阵为xxPAPPA1可见(kjin),系统经线性变换后,其特征值不变。矩阵 的特征多项式为即证明了A的特征多项式等于的 特征多项式。A|I-A|=n+a1n-1+an-1+an=0第37页/共9

23、6页第三十七页，共96页。3. 特征向量的计算特征向量的计算如何求解特征值如何求解特征值i对应对应(duyng)的特征向量的特征向量?求解特征向量求解特征向量,即求如下齐次矩阵代数方程的非即求如下齐次矩阵代数方程的非零解零解(iI-A)vi=0由于由于i为为A的特征值的特征值,故故iI-A不可逆。不可逆。因此因此,由代数方程理论可知由代数方程理论可知,该方程组的解并不唯该方程组的解并不唯一。一。由特征向量的定义可知由特征向量的定义可知,我们需求解的是线性独我们需求解的是线性独立的特征向量。立的特征向量。实际上实际上,具体求特征向量时具体求特征向量时,可假定其特征向量的可假定其特征向量的某个或几

24、个元素的值某个或几个元素的值,然后再求得该特征向量然后再求得该特征向量其他元素的值。其他元素的值。第38页/共96页第三十八页，共96页。第39页/共96页第三十九页，共96页。第40页/共96页第四十页，共96页。第41页/共96页第四十一页，共96页。 当特征方程存在重根时,线性独立的特征向量可能不唯一。 因此,就产生如下(rxi)问题: 问题: 对应于特征值i究竟有几个独立的特征向量? 答案: 矩阵的重特征值i所对应的线性独立的特征向量可能不止一个。 它的独立特征向量的数目等价于系统的维数与线性方程组的线性独立的方程数之差,即为 n-rank(iI-A) 其中rank为矩阵的秩。第42页

25、/共96页第四十二页，共96页。因此,r重的特征值可能存在1至r个线性独立的特征向量。由此,导出如下问题:独立的特征向量数到底有什么意义？它与特征值的重数之间有何关系?下面引入代数重数与几何重数两个(lin )概念。代数重数。由特征方程求得的特征值i的重数称为特征值i的代数重数。几何重数。特征值i线性独立的特征向量数称为特征值i的几何重数。第43页/共96页第四十三页，共96页。0)2)(1(02121103|2AI002121103Aq 解解 1. 1. 由特征方程由特征方程| |I-A|=0I-A|=0求得系统求得系统(xtng)(xtng)的特征值。的特征值。第44页/共96页第四十四页

26、，共96页。0102111102131211vvv第45页/共96页第四十五页，共96页。解之得特征向量v1的通解(tngji)为v1=v11 v11 2v11令v11=1,解之得v1=v11 v12 v13= 1 1 23. 计算计算(j sun)重特征值重特征值2=3=2的特征向量。的特征向量。按定义有按定义有(2I-A)v2=0即即0202101101232221vvv第46页/共96页第四十六页，共96页。第47页/共96页第四十七页，共96页。4. 广义特征向量广义特征向量(xingling)某些重特征值的线性独立特征向量某些重特征值的线性独立特征向量(xingling)数数(几何重

27、数几何重数)小于其代数重数小于其代数重数,从而使得矩阵所有特从而使得矩阵所有特征值所对应的线性独立特征向量征值所对应的线性独立特征向量(xingling)数数之和小于矩阵维数。之和小于矩阵维数。为此为此,为能进行空间的结构分解和分析为能进行空间的结构分解和分析,下面引入一下面引入一组辅助的空间变换基向量组辅助的空间变换基向量(xingling)-广义特广义特征向量征向量(xingling)。定义定义 广义特征向量广义特征向量(xingling)是重特征值是重特征值i所所对应的某个线性独立的特征向量对应的某个线性独立的特征向量(xingling)vj满足如下方程组的向量满足如下方程组的向量(xi

28、ngling)vj,k:,.3 , 2)(1,1 ,kvvAIvvkjkjijj解上述方程组一直到无解(w ji)为止,就可求得特征值i的特征向量vj所对应的所有广义特征向量vj,k。第48页/共96页第四十八页，共96页。重特征值i的特征向量vj的广义特征向量vj,1,vj,2,组成的向量链称为i的特征向量vj对应的特征向量链。广义特征向量并不是矩阵的特征向量,它只是与对应的特征向量组成该矩阵在n维线性空间(kngjin)中的一个不变子空间(kngjin)。矩阵的所有特征向量和广义特征向量线性独立,并且构成n维线性空间(kngjin)的一组基底。第49页/共96页第四十九页，共96页。第50

29、页/共96页第五十页，共96页。 5 维线性空间 3 重特征值 2 重特征值 1 个独立特征向量+1 个广义特征向量 1 个独立特征向量 1 个独立特征向量+1 个广义特征向量 2 维独立、不变的特征子空间 2 维独立、不变的特征子空间 1 维独立、不变的特征子空间 第51页/共96页第五十一页，共96页。 5 维线性空间 3 重特征值 2 重特征值 1 个独立特征向量+2 个广义特征向量 1 个独立特征向量 3 维独立、不变的特征子空间 1 维独立、不变的特征子空间 1 维独立、不变的特征子空间 1 个独立特征向量 第52页/共96页第五十二页，共96页。111201634A第53页/共96

30、页第五十三页，共96页。0211211633131211vvv第54页/共96页第五十四页，共96页。第55页/共96页第五十五页，共96页。)(2/ 1211211633121112112, 1vvvvv因此,根据方程(fngchng)的可解性,存在广义特征向量的特征向量v1中的v11和v12满足v11=-3v123倍关系(gun x)第56页/共96页第五十六页，共96页。第57页/共96页第五十七页，共96页。第58页/共96页第五十八页，共96页。线性系统状态空间表达式的特征规范型线性系统状态空间表达式的特征规范型以特征值表征的标准型以特征值表征的标准型1、对角线规范型、对角线规范型对

31、角线规范形是指系统矩阵对角线规范形是指系统矩阵A为对角线矩阵的一类为对角线矩阵的一类状态空间模型。状态空间模型。对于对于(duy)该类状态空间模型该类状态空间模型,由于在系统分析和由于在系统分析和综合时综合时,清晰直观清晰直观,使问题得以简化使问题得以简化该类系统可简化成该类系统可简化成n个一阶惯性环节的并联个一阶惯性环节的并联故在状态空间分析法中是较重要的一类特殊状态故在状态空间分析法中是较重要的一类特殊状态空间模型。空间模型。任何具有任何具有n个线性独立特征向量的状态空间模型一个线性独立特征向量的状态空间模型一定能经状态变换变换成对角线规范形。定能经状态变换变换成对角线规范形。第59页/共

32、96页第五十九页，共96页。q 结论(jiln) 已知线性定常系统的状态方程为ABxxu其中系统(xtng)矩阵uxxBA 若A的n个特征值1,2,n所对应的特征向量线性独立,则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换 x=P 后为对角线规范(gufn)形,即系统的状态方程为 x为对角线矩阵,并且变换矩阵P可取为P=p1 p2 pn其中pi为矩阵A对应于特征值i的特征向量。112diag ,.,nAP AP 第60页/共96页第六十页，共96页。.diag.00.0.00.0.2121212211nnnnnPpppppp第61页/共96页第六十一页，共96页。112diag ,.,nAP AP Px

33、x即证明(zhngmng)了结论。对原状态方程进行(jnxng)线性变换 后,可得第62页/共96页第六十二页，共96页。例例：关于非奇异：关于非奇异(qy)变换阵和状态方程的非唯一性变换阵和状态方程的非唯一性 30,02,3120 CBA考虑考虑(kol)系统系统 为：为： ),(CBA非奇异非奇异(qy)变换后变换后 ),(CBA1）若选择非奇异变换阵）若选择非奇异变换阵T为：为： 0226T311021T1 06,10,3210 CBA结论结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性非唯一性2）若选择非奇异变换阵）若选择非奇异变换阵T为

34、：为： 1112T2111T1 33,22,2001 CBA第63页/共96页第六十三页，共96页。BuAxx 327,120010112BA当当 时，时， 2)确定确定(qudng)非奇异矩阵非奇异矩阵P 21 0203001200301103121213121312111vvvvvvvv 1, 1, 2112120010112321 AI1)求其特征值求其特征值:第64页/共96页第六十四页，共96页。为为任任意意常常数数113121, 0vvv 0011v取取: 0220302200001133222322212322212vvvvvvvv当当 时，时，12 0,123222 vvv取取

35、: 1102v1013v同理当同理当 时，时， 得得:13 第65页/共96页第六十五页，共96页。110010111T,110010101T1321并求得所以有vvv522327110010111T100010002110010101120010112110010111TT11BBAABA,3）求）求uxx 522100010002对角线标准型为：对角线标准型为：第66页/共96页第六十六页，共96页。2、约旦规范形、约旦规范形若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时于该特征值的重数时,则系统矩阵则系统矩阵A不能变换不能变换成对角线矩

36、阵。成对角线矩阵。在此种情况下在此种情况下,A可变换成约旦矩阵可变换成约旦矩阵,系统表达式系统表达式可变换成约旦规范形。可变换成约旦规范形。下面将分别讨论下面将分别讨论(toln)约旦块和约旦矩阵约旦块和约旦矩阵约旦规范形及其计算约旦规范形及其计算第67页/共96页第六十七页，共96页。1） 约旦块和约旦矩阵约旦块和约旦矩阵(j zhn)矩阵矩阵(j zhn)的约旦块的定义为的约旦块的定义为由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵(j zhn)称为约旦矩阵(j zhn),如J=block-diagJ1 J2 Jl1.0001.000.0.100.01immiiiimJii第68页/共96页第六十八页

37、，共96页。30000100011000011000110001100002上述第一个约旦矩阵(j zhn)有两个约旦块,分别为11维的特征值2的约旦块和33维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵(j zhn)有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。对角线矩阵(j zhn)可视为约旦矩阵(j zhn)的特例,其每个约旦块的维数为11。第69页/共96页第六十九页，共96页。2) 约旦规范形及其计算约旦规范形及其计算定义定义 系统矩阵系统矩阵A为约旦矩阵的状态空间模型称为为约旦矩阵的状态空间模型称为约旦规范形。约旦规范形。与对角线规范形一样与对角线

38、规范形一样,约旦规范形也是线性定常系约旦规范形也是线性定常系统的状态空间分析统的状态空间分析(fnx)中一种重要的状态空中一种重要的状态空间模型。间模型。下面讨论一般状态空间模型与约旦规范形之间的下面讨论一般状态空间模型与约旦规范形之间的线性变换的计算问题。线性变换的计算问题。对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小于其维数的矩阵于其维数的矩阵,虽然不能通过相似变换化成对虽然不能通过相似变换化成对角线矩阵角线矩阵,但但可经相似变换化为约旦矩阵。可经相似变换化为约旦矩阵。第70页/共96页第七十页，共96页。一般(ybn)状态空间表达式对角线规范(gu

39、fn)形约旦规范形n个独立特征向量代数重数=几何重数代数重数几何重数n个独立特征向量与广义特征向量特例线性变换第71页/共96页第七十一页，共96页。若将对角线矩阵视为约旦矩阵的特例的话,则任何矩阵皆可经相似变换化为约旦矩阵。相应地,任何状态空间模型都可经状态变换变换成约旦规范形。对角线矩阵：各状态变量间是完全解耦的。约当型矩阵：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量至多和下一个变量有关联(gunlin)。任何矩阵都可变换成约旦矩阵,但能变换成有几个约旦块的约旦矩阵,则与系统的特征向量有关。对此有如下结论:矩阵所变换成的约旦矩阵的约旦块数等于该矩阵的线性独立特征向量数(即几何重数)。第72页/

40、共96页第七十二页，共96页。)(AIrankn 由线性代数矩阵的对角化由线性代数矩阵的对角化(jio hu)可知，此时，仍能变换成可知，此时，仍能变换成对角线标准型。对角线标准型。1)(AIrank 这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入约当标准型。约当标准型。2)(AIrank 第73页/共96页第七十三页，共96页。结论结论 已知线性定常系统的状态方程为已知线性定常系统的状态方程为x=Ax+Bux=Ax+Bu若若A A的共有的共有p(pn)p(pn)个互异的特征值个互异的特征值,l(p,l(pl ln)n)个线性独立特个线性独立特征向量征向量

41、pipi及相应的广义特征向量及相应的广义特征向量pi,j(i=1,2,l;j=1,2,mi),pi,j(i=1,2,l;j=1,2,mi),则必存在变换矩阵则必存在变换矩阵P,P,使其进行使其进行(jnxng)(jnxng)状态变换状态变换x=P x=P 后后为约旦规范形为约旦规范形, ,即系统的状态方程为即系统的状态方程为AB xxu其中系统矩阵为约旦矩阵,并且(bngqi)变换矩阵P可取为P=P1 P2 Pl变换(binhun)矩阵 P=P1 P2 Pl中的Pi为矩阵A对应于线性独立特征向量pi的特征向量链组成的分块矩阵x 第74页/共96页第七十四页，共96页。2110002000002

42、0031511 1000 xxuyxq例 试将下列状态空间模型(mxng)变换为约旦规范形第75页/共96页第七十五页，共96页。解解 1. 先求先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为的特征值。由特征方程可求得特征值为1=2=3=2 4=-12. 求特征值所对应的特征向量。求特征值所对应的特征向量。求得特征值求得特征值2由如下由如下(rxi)两个线性独立特征向量两个线性独立特征向量P1,1=1 1 -1 1/3 P2,1=1 0 0 -1p2,1的广义特征向量为的广义特征向量为P2,2=1 1 0 -1特征值特征值-1的特征向量为的特征向量为P3,1=0 0 0 1第76页/共96页第七十六

43、页，共96页。3. 取取A的特征向量和广义特征向量组成变换的特征向量和广义特征向量组成变换(binhun)矩阵矩阵P并求逆阵并求逆阵P-1,即有即有14/3010110001101001111/300010101011111 , 32 , 21 , 21 , 1PppppP第77页/共96页第七十七页，共96页。 0111 1000100002000120000211CPCBPBAPPA4. 计算计算(j sun)各矩阵各矩阵xyuxx 0111 10001000020001200002第78页/共96页第七十八页，共96页。n ,21 112112222121111nnnnnnP 第79页/

44、共96页第七十九页，共96页。11.1.00.0.10aaaAnn其特征多项式为|I-A|=n+a1n-1+an-1+an即该类矩阵的最后(zuhu)一行与特征多项式的系数一一对应。该类特殊系统矩阵A称为友矩阵。单位(dnwi)矩阵第80页/共96页第八十页，共96页。1.1 niiipiiniiiniiiniinnipaaaAp12111.1.1.1.00.0.10该结论(jiln)可由下式证明。即pi为友矩阵的特征值i对应(duyng)的特征向量。第81页/共96页第八十一页，共96页。1121121.1.11nnnnnP010000100236 100 xxuyxq 例 试将下列状态空间

45、(kngjin)模型变换为对角线规范形第82页/共96页第八十二页，共96页。1/21/201201/23/214102101111PP第83页/共96页第八十三页，共96页。 111 36320001000011CPCBPBAPPA000301060023 111 xxuyx4. 系统在新的状态变量下的状态空间系统在新的状态变量下的状态空间(kngjin)模型为模型为第84页/共96页第八十四页，共96页。 如果系数矩阵如果系数矩阵(j zhn)A是友矩阵是友矩阵(j zhn) 如果其特征值如果其特征值 是是m重根，重根， 是两两相异的，则将系是两两相异的，则将系统状态方程化为统状态方程化为Jordan约当标准型的非奇异矩阵约当标准型的非奇异矩阵(j zhn)T，其，其形式为：形式为：1 l 32,1121)!1() 1()2)(1(3322222312)2)(1(2111121311211000110) 1(331201001Tnlnmnmmnnnlllnnnnnn第85页/共96页第八十五页，共96页。BuAxx 1579,212100010BA 1122121001det AI1, 1, 2321 第86页/共96页第八十六页，共96页。61213121213131123222132110T,11411211111