现代控制理论第三章学习教案

1、会计学1现代控制现代控制(kngzh)理论第三章理论第三章第一页，共140页。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性一、一、 状态状态(zhungti)能控性能控性 若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么(n me)就称系统在就称系统在t0，tf时间间隔内是状态完全能控的，时间间隔内是状态完全能控的，简称系统是能控的。简称系统是能控的。线性定常系统线性定常系统 存在一个分段连续输入信号存在一个分段连续输入信号u(t)，能在有限时间，能在有限时间区间区间t0，tf 内内 ，使系统的某一初始状态，使系统的某一初始状态x(t0)转移到

2、转移到指定的任一终端状态指定的任一终端状态x(tf ) ，则称此状态是能控的。，则称此状态是能控的。第2页/共140页第二页，共140页。 说明：说明： 若存在能将系统从若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态转移到任意终态x(tf)的控制的控制(kngzh)作用，则称系统是可达的。作用，则称系统是可达的。 对线性定常系统，可控与可达是可逆的。对线性定常系统，可控与可达是可逆的。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性第3页/共140页第三页，共140页。 (,)A B3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性方法一：方法一： 直接直接(zhji)根据状态

3、方程的根据状态方程的A阵和阵和B阵阵方法二：方法二： 转化为约旦标准形转化为约旦标准形，再根据，再根据B判断判断二、二、 状态能控性判据状态能控性判据 方法三：方法三： 传递函数传递函数第4页/共140页第四页，共140页。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性方法方法(fngf)一：线性定常连续系统一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：，即： rankQc = n Qc = B AB A2B An 1B 第5页/共140页第五页，共140页。ffftttttfdetet00)()

4、()()(0)(BuxxAA证明证明(zhngmng) 已知状态方程的解为已知状态方程的解为3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性 设初始时刻为零，即设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端以及终端(zhn dun)状态为状态空间的原点，状态为状态空间的原点，即即x(tf ) = 0。则有。则有ftde0)() 0 (BuxA利用凯莱利用凯莱-哈密尔顿（哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理）定理第6页/共140页第六页，共140页。110110( )( )( )( )nAnknkkeIAA Aftknkkd010)()()0(uBAxftkkd0)()(u3.2线性

5、连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性因因tf 是固定的，所以每一个积分都代表是固定的，所以每一个积分都代表(dibio)一个确定的量，令一个确定的量，令第7页/共140页第七页，共140页。1101210 )0(nnknkkBABAABBBAx3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性 若系统若系统(xtng)是能控的，那么对于任意给定的初始状态是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出都应从上述方程中解出 0，1，n 1。这就要求系统这就要求系统(xtng)能控性矩阵的秩为能控性矩阵的秩为n，即，即rank B AB A2B An 1 B =

6、 n第8页/共140页第八页，共140页。 解：解：Qc = B AB A2B = )(111112)(310020231)(tttuxxrankQc= 2 n 2 1 1 11 1 3 2 2 22 2 5 4 4 44 4所以系统状态所以系统状态(zhungti)不完全不完全能控。能控。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性第9页/共140页第九页，共140页。 )()()(21tttnuBxxB3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性 方法二：方法二： （1）设线性定常连续）设线性定常连续(linx)系统系统(A，B)具有两两相异的特征值，具有两两相

7、异的特征值， 则其状态完全能控的充要条件是系统经线性变换后则其状态完全能控的充要条件是系统经线性变换后 的对角线矩阵的对角线矩阵中中, 不包含不包含(bohn)元素全为零的行。元素全为零的行。第10页/共140页第十页，共140页。AB3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性证明：系统证明：系统(xtng)经线性非奇异变换后状态能控性不变。经线性非奇异变换后状态能控性不变。 由前章可知，系统由前章可知，系统(xtng)(A，B)和和( ， )之间做线性非之间做线性非奇异变换时有：奇异变换时有：BPBAPPAxPx11cnncQPBABAABBPBAPPAPPPBAPPPBPB

8、ABABABQ112111111112 第11页/共140页第十一页，共140页。ccrankrankQQ 3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性P是非是非(shfi)奇异阵奇异阵 其次证明不包含元素为零的行是系统其次证明不包含元素为零的行是系统(xtng)(A，B)状态完全能控的充要条件。状态完全能控的充要条件。将对角标准形的每一行写成如下展开形式将对角标准形的每一行写成如下展开形式)(2211ririiiiiubububxxix 显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，( i = 1，2，n)能控的充要条件是下列元素能控的

9、充要条件是下列元素 不同时为零。不同时为零。12,iiirbbb第12页/共140页第十二页，共140页。 )(752)(157)(tuttxx (1)3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性例：例： 考察下列系统考察下列系统(xtng)的状态能控性。的状态能控性。第13页/共140页第十三页，共140页。)(902)(157)(tuttxx (2)(570410)(157)(tttuxx(3)3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性第14页/共140页第十四页，共140页。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性 （2）若线性连续系统）若

10、线性连续系统(A，B)有相重的特征值有相重的特征值,则其状态则其状态(zhungti) 完全能控的充要条件是：系统经线性变换后的约旦完全能控的充要条件是：系统经线性变换后的约旦 矩阵矩阵( )( )( )tJttxxBuBu 输入矩阵(j zhn) 中对应于互异的特征值的各行，没有 一 行的元素全为零；u 输入矩阵(j zhn) 中与每个约当块最后一行相对应的各 行，没有一行的元素全为零。B第15页/共140页第十五页，共140页。(1)(340)(200040014)(tuttxx (2)(030024)(200040014)(tttuxx3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的

11、能控性第16页/共140页第十六页，共140页。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性方法方法(fngf)三：三：第17页/共140页第十七页，共140页。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性例：从输入例：从输入(shr)和状态矢量间的传递函数确定其能控性？和状态矢量间的传递函数确定其能控性？第18页/共140页第十八页，共140页。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性例：判断线性连续例：判断线性连续(linx)系统能控性？系统能控性？解：解：第19页/共140页第十九页，共140页。 线性定常系统能控性判据小结：线性定常系统能控

12、性判据小结： rankQc= rank B AB An1B= n 当当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行；当中无全为零行；当A为约当为约当阵时且相同特征值分布在一个阵时且相同特征值分布在一个(y )约当块内时，约当块内时，B中与约当块最后一行中与约当块最后一行对应的行不全为零，且对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。中相异特征值对应的行不全为零。 单输入系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。单输入系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性 (A，B)为能

13、控标准为能控标准(biozhn)形。形。第20页/共140页第二十页，共140页。 定义定义(dngy)： 对于系统对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束，如果存在一个无约束 的控制矢量的控制矢量u(t)，在有限时间间隔，在有限时间间隔t0，tf内，能将任内，能将任 一给定的初始输出一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出转移到任一指定的最终输出y(tf )， 那么就称那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的。是输出完全能控的。3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性第21页/共140页第二十一页，共140页。 3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控

14、性系统的能控性定理：定理： 线性定常系统线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全，其输出完全(wnqun)能控能控 的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即rankQ =rank CB CAB CAn -1B D = m第22页/共140页第二十二页，共140页。+u(t)x1(t)x2(t) y(t)x1(t)x2(t)(11)()(11)(0000)(ttytuttxxx 例：例： 设某一系统，其方块图如下设某一系统，其方块图如下(rxi)图所示，试分析系统图所示，试分析系统 输出能控性和状态能控性。输出能控性和状态能控性。解：描述系统解：描述系统(xtng)

15、的状态空间表达式为的状态空间表达式为3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性第23页/共140页第二十三页，共140页。rankQc = rank B AB =1 10 0 rankQ = rank CB CAB D = 2 0 0 输出是完全能控的。输出是完全能控的。 系统系统(xtng)的状态能控性与输出能控性是不等的状态能控性与输出能控性是不等价的。价的。 状态(zhungti)是不完全能控的。 3.2线性连续线性连续(linx)系统的能控性系统的能控性第24页/共140页第二十四页，共140页。3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性一、状态一、状态(

16、zhungti)能观测性定义能观测性定义 对任意给定的输入信号对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间，在有限时间tf t0，能够根据输出量，能够根据输出量y(t)在在t0，tf内的测量值，内的测量值，唯一地确定系统在时刻唯一地确定系统在时刻t0的初始状态的初始状态(zhungti)x(t0)，则称此系统的状态，则称此系统的状态(zhungti)是能观测的。是能观测的。 若系统的每个状态若系统的每个状态(zhungti)都能观测，则都能观测，则称系统是状态称系统是状态(zhungti)完全能观测。完全能观测。第25页/共140页第二十五页，共140页。( , , ,)A B C D3.3线性系

17、统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性方法方法(fngf)一：一： 直接根据状态空间表达式的直接根据状态空间表达式的A阵和阵和C阵判断阵判断方法二：方法二： 转化为约旦标准形转化为约旦标准形 ，再根据，再根据C判断判断二、二、 状态能观测性判据状态能观测性判据 第26页/共140页第二十六页，共140页。3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性方法方法(fngf)一：一： 线性定常系统线性定常系统(A，C)状态完全能观测的充要条件是能状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵观测性矩阵满秩，即：满秩，即： rankQo = n201nCCAQCACA第27页/共140页第二十七

18、页，共140页。证明证明(zhngmng) 假设假设t0 = 0， 则齐次状态方程的解为则齐次状态方程的解为 x(t) = eAt x(0) y(t) = CeAt x(0)10)(nkkktteAA3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性) 0()()(10 xACynkkktt)0()()()(1110 xCACACIIImmmnnttt第28页/共140页第二十八页，共140页。 因为一般因为一般m n，此时，方程，此时，方程(fngchng)无唯一解。要使方程无唯一解。要使方程(fngchng)有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到

19、y(t1)，y(t2)，y(tf )，此时把方程，此时把方程(fngchng)个数扩展到个数扩展到n个，即个，即3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性)0()()()()()()()()()()()(111021212011111021xCACACIIIIIIIIImmmmmmmmmnfnffnnfttttttttttytyty） 上式表明，根据在（上式表明，根据在（0，tf）时间间隔）时间间隔(jin g)的量测值的量测值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能将初始状态，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵充要条件是能观测性矩阵Qo满秩

20、。满秩。第29页/共140页第二十九页，共140页。 2 1 2 1 1 01 0)(0101)()(11)(3112)(tttttxyuxx rankQo = 2 = n3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性例：判断例：判断(pndun)能观测性？能观测性？解：解： 系统系统(xtng)能观测能观测0CQCA第30页/共140页第三十页，共140页。acdbdbacc11ABBQccao01CACQ)(01)()(11)()(ttytutbdcatxxx 例例： 若系统的状态空间表达式为若系统的状态空间表达式为分别确定当系统状态可控及系统可观测时分别确定当系统状态可控及系统

21、可观测时a，b，c，d应满足条件。应满足条件。可见可见(kjin)，当，当a b c d 0时系统可控；当时系统可控；当c 0时系统可观测。时系统可观测。 解：解：3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性第31页/共140页第三十一页，共140页。 )( )()( )( 21ttttnxCyxx 方法二：方法二： （1）设线性定常连续系统）设线性定常连续系统(A，C)具有互不相同的特征值，具有互不相同的特征值， 则其状态完全能观测的充要条件是：系统经线性非奇则其状态完全能观测的充要条件是：系统经线性非奇 异变换异变换(binhun)后的对角标准形：后的对角标准形：3.3 线性系

22、统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性中，中，不包含不包含(bohn)全为零的列。全为零的列。第32页/共140页第三十二页，共140页。 )( )()( )( 21ttttkxCyxJJJx（2） 设线性定常连续系统设线性定常连续系统(A，C)具有重特征值，则其状态具有重特征值，则其状态 完全能观测完全能观测(gunc)的充要条件是：系统经线性非奇异变换后的的充要条件是：系统经线性非奇异变换后的 约当标准形约当标准形3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性 式中，和每个约当块式中，和每个约当块Ji（i =1，2，k）相对）相对(xingdu)应应的的的第一列元素不全为零。

23、的第一列元素不全为零。第33页/共140页第三十三页，共140页。7(1) ( )5( ) ( )045( )1tty ttxxx（2）)(130023)( )(157)(ttttxyxx3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性例：例： 分析下列分析下列(xili)系统的状态能观测性系统的状态能观测性第34页/共140页第三十四页，共140页。)(0011001111)( )(2012300130013)(ttttxyxx)(0011001111)( )(2012300130013)(ttttxyxx（3）)(11100110)( )(30332012)(ttttxyxx（4）

24、第35页/共140页第三十五页，共140页。线性定常系统能观测线性定常系统能观测(gunc)性判据小结：性判据小结： nrankrankno1CACACQ 当当A为对角形且特征值互异为对角形且特征值互异(h y)时，输出矩阵时，输出矩阵C中无全为零列；中无全为零列； 当当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，C 中与约当块第一列对应的列不全为零，且中与约当块第一列对应的列不全为零，且C中相异特征值中相异特征值 对应的列不全为零。对应的列不全为零。 SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零 极

25、点对消。极点对消。 (A，B)为能观测标准形。为能观测标准形。3.3 线性系统的能观测线性系统的能观测(gunc)性性第36页/共140页第三十六页，共140页。一、线性离散系统的能控性定义一、线性离散系统的能控性定义 设线性定常离散系统的状态方程设线性定常离散系统的状态方程: x(k+1) = G x(k) + H u(k) 定义定义:对于系统对于系统 (G，H)，如果在有限采样间隔内，如果在有限采样间隔内kT t nT，存在阶梯控制信号，存在阶梯控制信号(xnho)序列序列u(k),u(k+1),，u(n1)，使得系统从第使得系统从第k个采样时刻的状态个采样时刻的状态x(k)开始，能在第开

26、始，能在第n个采样时刻个采样时刻到达零状态，即到达零状态，即x(n) = 0，则称该系统在第，则称该系统在第k个采样时刻上是能控个采样时刻上是能控的。的。 若系统在第若系统在第k个采样时刻上的所有状态都是能控的，那么该个采样时刻上的所有状态都是能控的，那么该系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性第37页/共140页第三十七页，共140页。3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性注：线性定常连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统注：线性定常连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控

27、；连续系统能控，离散化后的系统不一定能控，与采样能控，离散化后的系统不一定能控，与采样(ci yn)周期周期T的选择有关的选择有关。第38页/共140页第三十八页，共140页。 线性定常离散系统线性定常离散系统(G，H)，定义能控性矩阵，定义能控性矩阵(j zhn)为为Uc = H GH G2H Gn 1 H ，若系统矩阵，若系统矩阵(j zhn)G非奇异，则状态完全能控的充要条件是：非奇异，则状态完全能控的充要条件是： rankUc = n二、线性离散系统的能控性判据二、线性离散系统的能控性判据(pn j)3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性第39页/共140页第三十九页，共14

28、0页。101)()0()(kiikkikHuGxGx101)()0(0)(niinninHuGxGx证明证明(zhngmng) 已知状态方程的解为已知状态方程的解为根据根据(gnj)假设条件，当假设条件，当k n时，时，x(k) = 0，即，即3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性第40页/共140页第四十页，共140页。)0() 1() 1 ()0( 21xGuuuHGHHGHGnnnnG n 1 H u(0)+ G H u(n 2)+ H u(n 1) = G n x(0) 当当G是非是非(shfi)奇异矩阵时，对于任意给定的非零奇异矩阵时，对于任意给定的非零初态初态x(0)，G

29、nx(0)必为某一非零的必为某一非零的n维列矢量。维列矢量。 因此，方程有解的充要条件系统的能控性矩阵因此，方程有解的充要条件系统的能控性矩阵Uc 满秩。满秩。3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性第41页/共140页第四十一页，共140页。解：解： Uc = H GH G2H = 1 00 10 01 20 11 00 40 1 4 2 )(001001)(301010121) 1(kkkuxx试判断系统试判断系统(xtng)是否具有能控性。是否具有能控性。例：例： 线性离散系统的状态方程为线性离散系统的状态方程为3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性第42页/共140页

30、第四十二页，共140页。3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性 如果根据第如果根据第i步以后的观测值步以后的观测值y(i)，y(i+1)，y(N)，能唯一地确定出第能唯一地确定出第i步的状态步的状态x(i)，则称系统在第，则称系统在第i步是能观步是能观测的。测的。 若系统在任意若系统在任意(rny)采样时刻上都是能观测的，则称系统采样时刻上都是能观测的，则称系统为状态完全能观测的，或简称系统能观测。为状态完全能观测的，或简称系统能观测。第43页/共140页第四十三页，共140页。 nrankrankno1CGCGCU3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性 线性定常离散系统线

31、性定常离散系统 (G，C)状态完全状态完全(wnqun)能观测的充要条件是能观测的充要条件是能观测性矩阵能观测性矩阵Uo满秩，即：满秩，即：第44页/共140页第四十四页，共140页。 x(k+1) = G x(k) y(k) = C x(k) 利用利用(lyng)递推法，可得递推法，可得 y(0) = Cx(0)y(1) = Cx(1) = CGx(0)y(n1) = CG n1 x(0)写成矩阵形式写成矩阵形式 3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性证明证明:假设观测从第假设观测从第 0步开始，并认为输入步开始，并认为输入u(k)=0，此时，此时(c sh)系系统为统为第45页/

32、共140页第四十五页，共140页。)0() 1() 1 ()0(1xCGCGCyyynnx(0)有唯一有唯一(wi y)解的充要条件是能观测性矩阵解的充要条件是能观测性矩阵Uo满秩。满秩。3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性第46页/共140页第四十六页，共140页。 )(001100)( )(203120101) 1(kkkkxyxx0 0 1 1 0 03 0 21 0 1 9 0 1 2 0 3 Uo = C CG CG2 T =所描述的系统是否所描述的系统是否(sh fu)能观测。能观测。3.4线性离散系统的能控性和能观测(gunc)性解解：例例:第47页/共140页第四十

33、七页，共140页。3.5 对偶性原理对偶性原理(yunl)系统系统1的状态的状态(zhungti)空间表达式为空间表达式为11111( )( )( )( )( )tttttxAxBuyCx22222( )( )( )( )( )TTTttCttBtxA xuyx系统系统2的状态的状态(zhungti)空间表达式为空间表达式为则称系统则称系统 1和系统和系统 2是互为对偶是互为对偶一、对偶性定义一、对偶性定义第48页/共140页第四十八页，共140页。CB+u1(t)x1(t) y1(t)x1(t)ABTCT+u2(t)x2(t) y2(t)x2(t)AT 从结构图上看，系统从结构图上看，系统1

34、和其对偶系统和其对偶系统2的输入端和输出端互换，的输入端和输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和比较信号传递方向相反，信号引出点和比较(bjio)点互换，各矩阵转置。点互换，各矩阵转置。第49页/共140页第四十九页，共140页。 对偶系统(xtng)的传递函数矩阵是互为转置的。3.5 对偶性原理对偶性原理(yunl)11( )()W sC sIAB112( )() ()TTTTW sBsIACC sIAB第50页/共140页第五十页，共140页。 二、对偶性原理二、对偶性原理(yunl) 系统1状态完全(wnqun)能控（完全(wnqun)能观测）的充要条件与其对偶系统2状态完全(wnq

35、un)能观测（完全(wnqun)能控）的充要条件相同。3.5 对偶性原理对偶性原理(yunl)第51页/共140页第五十一页，共140页。T1nCACAC11noCACACQQc2 = CT ATCT (AT)n 1CT 系统系统(xtng)2的能控性和能观测性矩阵分别为的能控性和能观测性矩阵分别为3.5 对偶性原理对偶性原理(yunl)证明证明(zhngmng) 系统系统1的能控性和能观测性矩阵分别为的能控性和能观测性矩阵分别为Qc1 = B AB A2B An 1B 第52页/共140页第五十二页，共140页。1TTTTT2)(noABABBQ rank Qc1 = rank Qo2 ra

36、nk Qo1 = rank Qc2 根据这一原理，一个系统的状态完全能控性（能观测根据这一原理，一个系统的状态完全能控性（能观测(gunc)性）就可以借助其对偶系统的状态完全能观测性）就可以借助其对偶系统的状态完全能观测(gunc)性（能控性）来研究。性（能控性）来研究。3.5 对偶性原理对偶性原理(yunl)= B AB A2B An 1B T第53页/共140页第五十三页，共140页。3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形 (1) 约旦标准型约旦标准型 状态状态(zhungti)转移矩阵计算，可控、可观测性分析转移矩阵计算，可控、可观测性分

37、析 (2)能控标准形能控标准形 系统状态系统状态(zhungti)反馈反馈 (3) 能观测标准形能观测标准形 系统状态系统状态(zhungti)观测器设计观测器设计第54页/共140页第五十四页，共140页。 （1）能控标准）能控标准I型型 设线性定常单输入设线性定常单输入(shr)系统系统(A，B，C)，如果系统，如果系统是能控的，则一定存在一个非奇异变换是能控的，则一定存在一个非奇异变换 ，将系统，将系统(A，B，C)变换成能控标准形：变换成能控标准形：3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc)(gunc)标准形标准形xPx一、一、 单输入系统单输入系统(xtng)的

38、能控标准形的能控标准形xAxbuyC x第55页/共140页第五十五页，共140页。1011010001nP APaaaA1001bP b 3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc)(gunc)标准形标准形011(,)nccP1122312111(,) .1.1nnnnaA bAbAbbaaaaaP第56页/共140页第五十六页，共140页。3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形第57页/共140页第五十七页，共140页。3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形采用采用(ci

39、yng)(ciyng)能控标准型能控标准型I I求系统的传递函数求系统的传递函数第58页/共140页第五十八页，共140页。解：解：3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形 例： 试将下列系统的状态(zhungti)空间表达式变换变换(binhun)为能控标准形。为能控标准形。系统是能控的系统是能控的第59页/共140页第五十九页，共140页。3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc)(gunc)标准形标准形第60页/共140页第六十页，共140页。3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc)(gunc)

40、标准形标准形第61页/共140页第六十一页，共140页。 设线性定常单输入系统设线性定常单输入系统(A，B，C)，如果系统是，如果系统是能控的，则一定能控的，则一定(ydng)存在一个非奇异变换存在一个非奇异变换 ，将系统将系统(A，B，C)变换成能控标准形：变换成能控标准形：3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc)(gunc)标准形标准形xPx（2）能控标准）能控标准(biozhn)II型型xAxbuyCx第62页/共140页第六十二页，共140页。01121000100010001naaP APaaA1100bP b 3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能

41、观测(gunc)(gunc)标准形标准形011(,)nccP21( ,)nnbAbAbAbP第63页/共140页第六十三页，共140页。3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形第64页/共140页第六十四页，共140页。解：解：3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形 例： 试将下列系统的状态(zhungti)空间表达式变换变换(binhun)为能控标准形。为能控标准形。系统是能控的系统是能控的第65页/共140页第六十五页，共140页。3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc

42、)(gunc)标准形标准形第66页/共140页第六十六页，共140页。xAxbuyCx （1） 能观标准能观标准(biozhn)I型型 3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc)(gunc)标准形标准形 设线性定常单输出系统设线性定常单输出系统(A，B，C)，如果系统是能，如果系统是能观测的，则一定存在一个非奇异变换观测的，则一定存在一个非奇异变换 ，将上述，将上述系统系统(A，C)变换成能观测标准形：变换成能观测标准形：xPx第67页/共140页第六十七页，共140页。1011010001nP APaaaA0121nnbP b3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtn

43、g)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形(1,0,0)ccP11.nCCACAP与能控标准与能控标准(biozhn)II型互为对偶系统型互为对偶系统第68页/共140页第六十八页，共140页。3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形第69页/共140页第六十九页，共140页。 设线性定常单输入系统设线性定常单输入系统(A，B，C)，如果系统是能观测的，如果系统是能观测的，则一定存在一个非奇异变换，则一定存在一个非奇异变换 ，能将上述，能将上述(shngsh)系统系统(A，B，C)变换成能观测标准形：变换成能观测标准形：3.6 3.6 系统系统

44、(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形xPx（2）能观测）能观测(gunc)标准标准II型型xAxbuyCx第70页/共140页第七十页，共140页。01121000100010001naaP APaaA0121nnbP b3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形(0,0,1)ccP1121232111.01.00.100.01nnnnaaaCAaaCAaCAC P与能控标准与能控标准(biozhn)I型互为对偶系统型互为对偶系统第71页/共140页第七十一页，共140页。3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能

45、观测(gunc)(gunc)标准形标准形第72页/共140页第七十二页，共140页。3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc)(gunc)标准形标准形采用能观测采用能观测(gunc)(gunc)标准型标准型IIII求系统的传递函数求系统的传递函数第73页/共140页第七十三页，共140页。解：解：3.6 3.6 系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形 例： 试将下列(xili)系统的状态空间表达式变换变换(binhun)为能观测标准形。为能观测标准形。系统是能观测的系统是能观测的第74页/共140页第七十四页，共140页。3.6 3.6

46、系统系统(xtng)(xtng)的能控和能观测标准形的能控和能观测标准形（1）第75页/共140页第七十五页，共140页。3.6 3.6 系统的能控和能观测系统的能控和能观测(gunc)(gunc)标准形标准形第76页/共140页第七十六页，共140页。 从能控性和能观测性出发，状态从能控性和能观测性出发，状态(zhungti)变量可分解变量可分解为能控能观测为能控能观测xco，能控不能观测，能控不能观测xc，不能控能观测，不能控能观测xo，不能控不能观测不能控不能观测x四类。以此对应，将状态四类。以此对应，将状态(zhungti)空空间分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为间分为

47、四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的结构分解。系统的结构分解。3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分解第77页/共140页第七十七页，共140页。)()()(0)()(0)()(2112122121121tttttttxCCyuBxxAAAxx3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分解一、系统按能控性分解一、系统按能控性分解 设有设有n n维状态不完全能控线性定常系统维状态不完全能控线性定常系统(A,B,C) (A,B,C) ，rankQc=knrankQc=kn，则必存在一个非奇异，则必存在一个非奇异(qy)(qy)矩矩阵阵TcT

48、c，令，令 ，能将系统变为：，能将系统变为：( )( )cttxTx 第78页/共140页第七十八页，共140页。)()()()()(11112121111ttttttxCyuBxAxAx）)()()(2222222ttttxCyxAx）3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解k维子系统是能控维子系统是能控nk维子系统是不能控维子系统是不能控nkkcqqqqT11 其中，列向量其中，列向量q1 ，q2，qk 是能控性矩阵是能控性矩阵Q中中k个线性个线性无关的列，另外无关的列，另外n k个列向量个列向量qk +1 ， ，qn是在确保是在确保Tc为为非奇异非奇异(qy)的情

49、况下任意选取的。的情况下任意选取的。第79页/共140页第七十九页，共140页。能控部分能控部分(b fen)不能控部分不能控部分(b fen)+x2(t)A22A12 y(t) B1+u(t)x1(t)A11C1+C2+第80页/共140页第八十页，共140页。)(210)()(011)(310301100)(ttytuttxxx 例：线性定常系统例：线性定常系统(xtng)状态空间表达式为状态空间表达式为试求系统试求系统(xtng)的能控子系统的能控子系统(xtng)。3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解第81页/共140页第八十一页，共140页。2103111

50、012BAABBQc3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解解：（解：（1）判断系统）判断系统(xtng)是否完全能控是否完全能控rankQc = 2 原系统是状态原系统是状态(zhungti)不完全能不完全能控的。控的。（2）结构分解）结构分解 ， 取取Tc =1 01 10 1001第82页/共140页第八十二页，共140页。10022111011001100131030110011001100111ccATTA00101111001100111BTBc211110011001210cCTC3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解第83页/共

51、140页第八十三页，共140页。)(0)()()()(0)()(1212122211121tttttttxCyuBBxxAAAxx 设有设有n维状态不完全能控线性定常系统维状态不完全能控线性定常系统(A，B，C)，rankQo=ln，则必存在一个，则必存在一个(y )非奇异矩阵非奇异矩阵To ，令，令能将系统变为：能将系统变为：3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分解二、二、 系统系统(xtng)(xtng)按能观测性按能观测性分解分解()()ottxTx 第84页/共140页第八十四页，共140页。)()()()(1111111tttttxCyuBxAx）)()()(

52、22221212ttttuBxAxAx）nlloTTTTT1113.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解l维子系统是能观测维子系统是能观测(gunc)的的nl维子系统是不能观测维子系统是不能观测(gunc)的的 其中，行向量其中，行向量T1 ，T2，Tl 是是能观测性矩阵能观测性矩阵Q中中l个线性无关的行，另个线性无关的行，另外外n l个行向量个行向量Tl +1 ， ，Tn是在确是在确保保T0为非奇异情况下任意选取的。为非奇异情况下任意选取的。第85页/共140页第八十五页，共140页。C1 B1+u(t)x1(t) y(t)A11 B2+x2(t)A22A21能观测能

53、观测(gunc)部分部分不能观测不能观测(gunc)部分部分第86页/共140页第八十六页，共140页。)(210)()(011)(310301100)(ttytuttxxx 例：线性定常系统例：线性定常系统(xtng)状态空间表达式为状态空间表达式为试求系统试求系统(xtng)的能观子系统的能观子系统(xtng)。3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分解第87页/共140页第八十七页，共140页。4323212102CACACQo3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解解：（解：（1）判断系统是否）判断系统是否(sh fu)完全能观测完全能观测

54、 rankQo = 2 原系统是状态不完全原系统是状态不完全(wnqun)能观能观测的。测的。（2）结构分解）结构分解1003212101oT第88页/共140页第八十八页，共140页。10002101011032121031030110010032121011ooATTA0110111003212101BTBo0011003212102101oCTC3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分解第89页/共140页第八十九页，共140页。 三、系统三、系统(xtng)按能控性和能观测性分解按能控性和能观测性分解 3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分

55、解 设有设有n维线性定常系统维线性定常系统(A，B，C)，若系统既不完全能控，也不完全能，若系统既不完全能控，也不完全能观测，那么存在一个非奇异矩阵线性变换观测，那么存在一个非奇异矩阵线性变换(binhun) ，可使系统变，可使系统变换换(binhun)为如下形式为如下形式第90页/共140页第九十页，共140页。3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分解第91页/共140页第九十一页，共140页。3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解结构分解结构分解(fnji)(fnji)方法一：方法一：(1)(1)将系统按能控性分解将系统按能控性分解(fnj

56、i)(fnji) 取状态变量：取状态变量：系统系统(xtng)(xtng)变换为：变换为：第92页/共140页第九十二页，共140页。3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解(2)(2)将不能控的子系统按能观性分解将不能控的子系统按能观性分解(fnji)(fnji) 取状态变量：取状态变量：系统系统(xtng)(xtng)变换为：变换为：第93页/共140页第九十三页，共140页。3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分解(3)(3)将能控子系统按能观性分解将能控子系统按能观性分解(fnji)(fnji) 取状态变量：取状态变量：系统系统(xtng

57、)(xtng)变换为：变换为：第94页/共140页第九十四页，共140页。3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解综合三次综合三次(sn c)(sn c)变换，可得变换，可得 第95页/共140页第九十五页，共140页。)(210)()(011)(310301100)(ttytuttxxx 例：线性定常系统状态例：线性定常系统状态(zhungti)空间表达式为空间表达式为试求系统按能控性和能观测性结构试求系统按能控性和能观测性结构(jigu)分解。分解。3.73.7系统的结构系统的结构(jigu)(jigu)分解分解第96页/共140页第九十六页，共140页。11001

58、1001cT)()(211)( )(001)()(100221110)()(tttytuttttNccNccNccxxxxxx 3.73.7系统系统(xtng)(xtng)的结构分解的结构分解解：（解：（1）判断）判断(pndun)系统的能控性和能观测系统的能控性和能观测（2）将系统）将系统(xtng)按能控性分解按能控性分解（3）将不能控子系统按能观测性分解）将不能控子系统按能观测性分解 rankQc = 2 n rankQo = 2 r，即输出，即输出的维数大于输入的维数时，应采用能控标准形实现；当的维数大于输入的维数时，应采用能控标准形实现；当m r时应时应采用能观测标准形实现。采用能观

59、测标准形实现。3.8 3.8 实现实现(shxin)(shxin)问题问题第114页/共140页第一百一十四页，共140页。21113111)(sssssG 例：例： 试求传递函数阵试求传递函数阵的能控标准的能控标准(biozhn)(biozhn)形实现和能观测形实现和能观测标准标准(biozhn)(biozhn)形实现。形实现。3.8 3.8 实现实现(shxin)(shxin)问题问题第115页/共140页第一百一十五页，共140页。) 34()65(2365) 3)(2)(1(1)(2222ssssssssssssG解：将解：将G(s)G(s)写成按写成按s s的降幂排列的标准的降幂排列

60、的标准(biozhn)(biozhn)格式格式，即，即 r = 2 m = 2a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6B1B2B3362645351111)3)(2)(1(12sssss3.8 3.8 实现实现(shxin)(shxin)问题问题第116页/共140页第一百一十六页，共140页。能控标准能控标准(biozhn)形实现为：形实现为： 601106006011061000000100000010000001000000212223222222IIIIIAaaa10000001000000222IB114536113526123BBBC3.8 3.8 实现实现(shxin)(shx