初二上动点问题

1、(1)(2)(3)管用图初二上动点问题1 .如图，已知嫉中，/炉90°,阴8cm,吩6cm, P、0是嫉边上的两个动点， 其中点尸从点月开始沿月一6方向运动，且速度为每秒1cm,点。从点6开始沿6一。一片 方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为匕秒.出发2秒后，求线段图的长？当点。在边6。上运动时，出发几秒钟后，a/w是等腰三角形？当点0在边C4上运动时，求能使6C。成为等腰三角形的运动时间？2 .如图，在AABC 中，已知 AB=AC, ZBAC=90° , BC= 10cm,直线 CM_LBC,动点 D 从点 C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运

2、动，动点E也同时从点C开始在宜线CM上 以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE,设运动时间为t秒.（1）求AB的长；（2）当t为多少时，AABD的面积为15cm”（3）当t为多少时，ABDgZkACE,并简要说明理由.（请在备用图中画出具体图形）备用图3 . （1）如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD , zBAD=120° , zB=zADC=90° . E , F 分别是BC , CD上的点.且NEAF=60。.探究图中线段BE , EF , FD之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG ,先证明AABEWADG,再证

3、明©AEFWAGF,可得出结论，他的结论应是点，且NEAF=L/BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由： 2（3）如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰 艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指 令后，舰艇甲向正向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海 里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E, F处，且两 舰艇之间的夹角为70° ,试求此时两舰艇之间的距离.4 . （12 分）在等腰AABC 中，AB=AC=2, NBAC

4、= 120° , AD J_BC 于 D,点 0、点 P 分别在射 线AD、BA上的运动，且保证N0CP=60° ,连接0P.（1）当点0运动到D点时，如图一，此时AP=,（）（：是什么三角形。（2）当点0在射线AD其它地方运动时，OPC还满足（1）的结论吗？请用利用图二 说明理由。（3）令A0=x, AP=y,请直接写出y关于x的函数表达式，以及x的取值用。图二图一5.探究题如图，点 0是等边的一点，ZAOB= 1100. /BOC= a,将3%绕点C按顺时钟方向旋转60°得/匕 连接如(1)求证：的是等边三角形；当a= 150°时，试判断如的形状，并

5、说明理由；(3)探究：当仅为多少度时，月勿是等腰三角形？6 .如图，在AABC中，NACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD,以AD为直角 边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.(1)如图1,若AB=AC, ZBAC=90° ,当点D在线段BC上时(不与点B重合)，证明：AACFAABD(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关 系和位置关系是什么，并说明理由：(3)如图3,若ABWAC, /BACH90° , NBCA=45。，点D在线段BC上运动(不与点 B重合)，试探究CF与BD位置关系.7 .在AABC中，ZACB=2ZB

6、,如图，当NC=90° , AD为NBAC的角平分线时，在AB 上截取AE二AC,连接DE,易证AB=AC+CD.（1）如图，当NCH90° , AD为NBAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的 数量关系?请写出你的猜想并证明；（2）如图，当AD为aABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.8 .如图，在等边AABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时，以CD 为一边在CD的下方作等边aCDE,连结BE.（1）填空：NCAM=度：（2）若点D在线段AM上时，求证：ZADC也BEC：（3 ）当动

7、点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为0,试判断/A0B是否为 定值？并说明理由.9 . (1)如图(1),己知：在28C中，ZBAC=90° , AB-AC,直线m经过点 A, 69_L直线m, C£L直线m,垂足分别为点D、£证明:包运工，£ D氏BACE(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在28C中，ABAC, D、4 £三点都在 直线m上,并且有。，其中。为任意锐角或钝角.请问 结论。后班是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（图1）（图2）10 .如图，等腰直角三角形N8C的顶点/的坐标为c的坐标为（4,

8、3）,直 角顶点占在第四象限，线段AC与X轴交于点D.将线段DC绕点D逆时针旋转90°至 DE.（1）直接写出点B、D、E的坐标并求出直线DE的解析式.（2）如图，点P以每秒1个单位的速度沿线段AC从点A运动到点C的过程中，过 点P作与x轴平行的直线PG,交直线DE于点G,求与4DPG的而积S与运动时间t 的函数关系式，并求出自变量t的取值国.（3）如图，设点F为直线DE上的点，连接AF, 一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FE以每秒立个单位的速度运动到E后停 lh.当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？若存在，请求出点F的坐

9、标：若不存在，请说明理由.则BE二ABBCAC6x8 _ 24io r（2）过A作AFJ_BC交BC于点F,参考答案1. （1） 2岳;（2）483： （3）当t为5.5秒或6秒或6. 6秒时，4BCQ为等腰三角形.【解析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可； （2）设出发t秒后，APOB能形成等腰三角形，则BP二BQ,由BQ=2t, BP=8-t,列式求得t 即可；（3）当点Q在CA上运动上，能使4BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当CQ=BQ时（图1）则NC=NCBQ,可证明NA=NABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得t：当CQ二

10、BC时（图2）,则BC+CQE2,易求得t：当BC=BQ时（图3）,过B点作BE_LAC于点E,则求得BE、CE,即可得出t.解：（DBQ=2X2=4cm, BP=AB«AP=8-2X l=6cm,V ZB=90° ,PQBQ2+BP2 =次+62 =底=2 岳;(2)BQ=2t, BP=8r, 2t=8-t,解得：t=83；当CQ=BQ时(图1),则NC=NCBQ,/ABC=90° ,，NCBQ+NABQ=90° , NA+NC=90° ,ZA=ZABQ, 'BQ=AQ, ，CQ=AQ=5, /.BC+CQ=ll,'厂11彳2

11、二5 5 秒.当CQ=BC时(如图2), 则 BC+CQ=12，t= 122二6 秒当BC=BQ时(如图3),过B点作BE_LAC于点E,所以 CE = BC'_Bf,故 CQ=2CE=7.2,所以 BC-CQ = 13. 2, t=13.2.2=6.6 秒.由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ为等腰三角形.“点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角 判定和性质，注意分类讨论思想的应用.2. (1) 5>/2 ； (2) 2 或 8：(3) 2 或 10.【解析】试题分析：（1）运用勾股定理直接求出：（2）首先求出4ABD中BD边上的高，然 后根据而积公式

12、列出方程,求出BD的值,分两种情况分别求出t的值;（3 ）假设ABDgACE, 根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE,分别用含t的代数式表示CE和BD,得到关于t 的方程，从而求出t的值.试题解析：（1 ） 在2XABC 中，AB=AC , NBAC=90° , BC 尻/.2AB2=BC2 r .*.AB=5y2 cm：则 AF= BC=5cm, 2V SAABD=15cm2 z /.AFxBD=30 , BD=6cm .若D在B点右侧，则CD=4cm , t=2s ；若D在B点左侧，则CD=16cm , t=8s .(3)动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射

13、线CM的反向延长线方 向运动6秒时，ABDACE.理由如下：(说理过程简要说明即可)当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE .VCE=2t , BD=10 - 3tA2t=10 - 3tAt=2证明：在 ABD和 ACE中，AB = ACV ZB = ZACE = 45° , BD = CEAAABDAACE ( SAS ).当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE.VCE=2t , BD=3t - 10,.2t=3t - 10,At=10证明:在 ABD和 ACE中，AB = ACZABD = ZACE = 35°BD = CE.abdAa

14、ce .点睛：本题是三角形综合题目.考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定以 及面积的计算；本题综合性强，有一定的难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论 思想的运用.3.问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE + DF仍然成立，理由见解析：实际应用：此时两舰艇之间的距离是210海里.【解析】解：问题背景：EF=BE + DF；探索延伸：EF=BE + DF仍然成立.证明如下：如图，延长FD到G,使DG=BE,连接AG ,VZB+ ZADC = 180° , ZADC + ZADG = 180° ,，NB = ZADG ,DG=BE< ZB=

15、ZADG在4ABE 和ZkADG 中，.AB=ADr AAABEAADG ( SAS ),，AE 二 AG , ZBAE= ZDAG ,VZEAF= ZBAD ,A ZGAF = ZDAG + ZDAF = ZBAE + ZDAF = ZBAD - NEAF = NEAF , ' NEAF = NGAF ,闻二RG /EAF =/GAF在 aAEF 和 GAF 中，AF 二 AFr AAAEFAGAF ( SAS ) ,，EF = FG,VFG = DG + DF = BE + DF r AEF = BE + DF；实际应用：如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C,/ ZAOB =

16、300 + 90°+ ( 90° - 70° )= 140° , ZEOF = 70° ,，ZEAF = ZAOB z又 TOA = OB, ZOAC+ ZOBC= ( 90° - 30° ) + (70。+ 50。)= 180° 符合探索延伸中的 条件，结论 EF = AE + BF 成立，RP EF = 1.5x ( 60 + 80 ) =210 海里.答：此时两舰艇之间的距离是210海里.4. （1） 1,等边三角形；（2）理由见解析;（3）当04x42时,y=2-x；当2<x44时， y=x-2【解析

17、】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到NB=NACB=30° ,求得NACP=30° ,根 据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CEJ_AP于E,根据等边三角形的性质得到 CD二CE,根据全等三角形的性质得到OC=OP,由等边三角形的判定即可得到结论；（3）分两 种情况解决，住AB上找到Q点使得AQ=OA,则AOQ为等边三角形，根据求得解实现的性质 得到PA二BQ,求得AC=AO+AP,即可得到结论.试题解析：（1） AD=AP=1,VAB=AC=2, ZBAC=120° , AZB=ZACB=30° ,V Z0CP=60° ,A

18、ZACP=30° ,VZCAP=1800 - ZBAC=60° ,VAD1BC,A ZDAC=60° ,/PAC = NDAC在与APC 中， AC = ACZACD = ZACFAAACDAACP,，CD 二 CP,. (:()是等边三角形：（2） ZkOPC还满足(1)的结论，理由：过C作CE_LAP于E,V ZCAD=ZEAC=60° ,AD LCD,，CD=CE,A ZDCE=60° ,，NOCE 二 NPCE,APEC = NODC 在OCD 与 APCE 中， ZOCD = NPCE ,CD = CEAAOCDAPCE,，OC=OP

19、,AOPC是等边三角形：(3)当 0<xW2 时, 在AB上找到Q点使得AQ=OA,则AOQ为等边三角形, 则NBQ0=NPA0=120° ,ZBQO = ZPAO 在BQO 和PAO 中， ZABO = ZAPO ,OB = OP.-BQOAPAO (AAS),，PA二BQ,VAB=BQ+AQ,AAC=A0tAP,VA0=x» AP=y,y= - x+2 ：当2cx W4时，利用同样的方法可求得y=x-2图二点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 BQOgZXPAO是解题的关键，解决本题时注意分类讨论，要做到不重不漏.5. （

20、1）等边三角形；（2）直角三角形：（3）当a的度数为125或110或140时，月勿是等腰三角形.【解析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD,结合题意即可证得结论：（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.（1）证明：将呼绕点C按顺时针方向旋转60°得37A COCD. N 0660 0，的是等边三角形.（2）解：当a =150°时，月勿是直角三角形理由是：/ 4BOC AADC，N/W口 N50G15O0又曲是等边三角形A Z 660° 来：/AD（/ADC-/ODU90°,即水M是直角三角形.（

21、3）解：要使月3月，雷NAO庐NADO: /AOH 360 -110 -60190 -a, N 超3 a-60190 -a- c-60a = 125要使加勿，雷NOA店/ADOVZ（24218O - 1/AOA/ADO） = 180 -（190 - a + a - 60 ） = 50?： a-60 =50：.a = 10°要使 DUDA,需 N0AHNA0D.: /AOA3600-110°60,-a=190 -a,180 -（a-60 ） 240 -a240 - a历! = "，190 -a=，解得2 = 140222综上所述：当a的度数为125或110°

22、;或140时，月如是等腰三角形.“点睛”本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形）的性质、全等三角形的性质 与证明、直角三角形的判定、多边形角和等）为载体，容由浅入深，层层递进，试题中几何 演绎推理的难度适中，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思 想等）能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.6.见解析【解析】（1）根据同角的余角相等求出NCAF二NBAD,然后利用“边角边”证明4ACF和4ABD 全等，（2）先求出NCAF=NBAD,然后与的思路相同求解即可：（3）过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等直角三角形，根据等腰直角三角形的性质 可得A

23、C=AE, NAED=45° ,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边” 证明AACF和价AED全等，根据全等三角形对应角相等可得NACF二NAED,然后求出 NBCF二90。，从而得到CF_LBD.解：（1） VZBAC=90° , AADF是等腰直角三角形，NCAF+NCAD=90° , ZBAD+ZACD=90° , AD=AF, NCAF二NBAD,在4ACF和AABD中，AB二AC, NCAF二N, AD=AF, AAACFAABD (SAS)(2) CFXBD,如图2, ADF是等腰直角三角形,，AD=AF,V ZCAB

24、=ZDAF=90° ,/. NCAB十NCAD=NDAF+NCAD,即 NCAF 二 NBAD, 在AACF和AABD中， AB二AC, NCAF=NBAD, AD=AF, AAACFAABD (SAS), CF=BD, NACF二 NB,VAB=AC, NBAC=90° , A ZB=ZACB=45° , ZBCF=ZACF+ZACB=45° +45° =90° ,ACF1BD(3) CFXBD如图3,过点A作AEJ_A&交BC于E,V ZBCA=45° ,二.ACE是等腰直角三角形，AC二AE, ZAED=45&

25、#176; ,V ZCAF+ZCAD=90° , NEAD+NCAD=90° , NCAF二NEAD,在AACF和AAED中，AC二AE, NCAF=NEAD, AD=AF,AAACFAAED (SAS),A ZACF=ZAED=45° ,A ZBCF=ZACF+ZBCA=45° +45° =90° ,/CF±BD.“点睛”此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性 质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是 各小题求解思路一般都相同.7. (1) (2)见

26、解析【解析】(1)首先在AB上截取AE二AC,连接DE,易证ADEgAADC(SAS),则可得NAED=NC, ED=CD,又由 NACB=2NB,易证 DE二CD,则可求得 AB=AC+CD：(2)首先在BA的延长线上截取AE二AC,连接ED,易证EADgZCAD,可得ED二CD, ZAED=ZACD,又由 NACB=2NB,易证 DE=EB,则可求得 AC+AB=CD.解：(1)猜想：AB=AC+CD.证明：如图，在AB上截取AE二AC,连接DE,AD为NBAC的角平分线时, ，NBAD=NCAD,VAD=AD,A ADEADC (SAS), A ZAED=ZC, ED=CD, V ZAC

27、B=2ZB, .ZAED=2ZB, / ZB=ZEDB, /.EB=ED, ，EB 二 CD, ，AB 二AE+DE = AC+CD.(2)猜想：AB+AC=CD.VAD 平分 NFAC,，NEAD二 NCAD.在AEAD 与ACAD 中，AE=AC, NEAD二NCAD, AD=AD,EADgaCAD.，ED二CD, ZAED=ZACD. ZFED=ZACB.又NACB=2/B, NFED=NB+/EDB, ZEDB=ZB./EB=ED.EA+AB = EB 二 ED 二 CD.，AC+AB=CD.“点睛”此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理.此题难度适中, 解题的关键是

28、注意数形结合思想的应用.8. 30；【解析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论：(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC, DC=EC, NACB=NDCE=60°,由等式的性质 就可以NBCE=NACD,根据SAS就可以得出ADCgZkBEC：(3)分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1,由(2)可知AACD乌2XBCE,就可以求 出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2,可以得出ACDgZXBCE而有 NCBE=NCAD=30°而得出结论：当点D在线段MA的延长线上时，如图3,通过得出 ACDABCE同样可以得出结论.解：(1) .ABC是等边三角形

29、，A ZBAC=60° .,线段AM为BC边上的中线，NCAMNBAC, 2A ZCAM=30° .故答案为：30：(2):ABC与ADEC都是等边三角形，AC二BC, CD=CE, NACB=NDCE=60°，NACD+NDCB=NDCB+NBCE:.ZACD=ZBCE.在 ADC 和BEC 中，AC=BC, ZACD=ZBCE, CD=CE,.-.ACDABCE (SAS)：(3) NAOB 是定值,ZA0B=60" ,理由如下：当点D在线段AM上时，如图1,由（2）可知ACDgABCE,则NCBE=NCAD=30° , 又NABC二60A

30、 ZCBE-ZABC=60° +30° =90° , . ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，AM 平分NBAC,即 NBAMNBACX60° =30° 22A ZB0A=90° -30° =60° .当点D在线段AM的延长线上时，如图2, :ABC与4DEC都是等边三角形AAC=BC, CD=CE, NACB=NDCE=60°, NACB+NDCB=NDCB+NDCE, NACD= NBCE在 AACD 和 ABCE 中，AC=BC, NACD= NBCE, CD=CE, AAACDABCE

31、(SAS)A ZCBE=ZCAD=30° ,同理可得：/BAM=30° ,ZB0A=90° -30° =60° .当点D在线段MA的延长线上时，如图3, ABC与4DEC都是等边三角形，AC=BC, CD=CE, ZACB=ZDCE=60°, NACD+NACE=NBCE+NACE=60° ZACD=ZBCE在 AACD 和4BCE 中，AOBC, NACD二 NBCE, CD=CE, AAACDABCE (SAS)' ZCBE=ZCAD同理可得：ZCAM=30°AZCBE=ZCAD=150°/.

32、 ZCB0=30° , ZBANf=30° ,A ZB0A=90° -30° =60° .综上，当动点D在直线AM上时，NAOB是定值，/AOB=60°.“点睛”边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角 形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.9. (1)证明见解析：(2)成立，理由见解析.【解析】试题分析：(1)根据8。上直线m, CEL直线m得N8O与NCE4=90° ,而N 84c90°，根据等角的余角相等得然后根据“AAS”可判断»ADB4CEA,则 4后夕。，AACE,千是 DFAErAABACE：(2 )利用 /BDA/BAUa ,则 /DBA-/BAB/BAA/CAE=W -a ,得出/CAE:/ABD、进而得出即可得出答案.试题解析：(1)80_L直线m, CE_L直线m,L/BDA/CEAO,：.BALhACAEJ ,:.乙 CAF / ABD,;在和(7日 中，ZABD = ZCAENBDA = ZCEA ,AB = AC:ADBXCEA (AAS),:.AFBD, AACE,：.DE=-AErA>BChCEx