材料阅读题及答案

1、重庆中考材料阅读题分类讲练(含答案)类型1代数型新定义问题例1【2017重庆A】对任意一个三位数n如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666,666+111=6,所以,F(123)=6.(1) 计算：F(243),F(617);若s,t都是“相异数”，其中s=100x+32,t=150

2、+y(1<x<9,1<y<9,F(s)x,y都是正整数)，规定：k=(首.当F(s)+F(t)=18时，求k的最大值.针对训练1. 对于一个两位正整数xy(0<y<x<9,且x、y为正整数)，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t的“平方差数”.例如：对数62来说，62+22=40,62-22=32,所以40和32就分别是62的“平方和数”与“平方差数”.(1) 75的“平方和数”是,5可以是的“平方差数”；若一个数的“平方和数”为10,它的“平方差数”为8,则这个数是.(2) 求证：当x<

3、;9,y<8时，t的2倍减去t的“平方差数”再减去99所得结果也是另一个数的“平方差数”.(3) 将数t的十位上的数与个位上的数交换得到数t若t与t的“平方和数”之和等于t'与t'的“平方差数”之和，求t.2. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身).得到新三位数abc(avc),在所有重新排列中，当|a+c2b|最小时，我们称abc是n的“调和优选数”，并规定F(n)=b2ac.例如215可以重新排列为125、152、215,因为|1+52X2|=2，|1+22X5|=7，|2+52X1|=5,且2v5v7，所以125是215的“调和优选数”，F(215

4、)=221X5=1.(1) F(236)=；(2) 如果在正整数n三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数；设三位自然数t=100x+60+y(1<x<9，1<y<9,x，y为自然数)，交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t.若t1'=693,那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值.3. 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法.对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位.十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一.为与十进制进行区

5、分，我们常把用X进制表示的数a写成x.类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数(1111)x中，右起第一位上的1表示1xX0,第二位上的1表示1xX1,第三位上的1表示1X乂，第四位上的1表示1X乂.故(1111)X=1X乂+1X*+1XX1+1XX0,即：(1111)X转化为十进制表示的数为乂+X2+X+X如：(1111)2=1X23+1X22+1X21+1X20=15,(1111)5=1X53+1X52+1X51+1X50=156.根据材料，完成以下问题：(1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：(101011)2=;(302)4=;(257)7=若一个五进制三位数(a4b)5与八进

6、制三位数(ba4)8之和能被13整除(1<a<5,1<b<5,且a、b均为整数)，求a的值；(3) 若一个六进制数与一个八进制数之和为666,则称这两个数互为“如意数”，试判断(mm1)s与(nn5)8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由.4. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pxq(p，q是正整数，且p<q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pXq是n的最佳分解.并规定：F(n)=p.例如12可以分解成1x12,2X6或3X4,因为121>6-2>4-3,所以3X4是12的最佳分

7、解，所以F(12)_3=4.(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m,总有F(m)_1.如果一个两位正整数t,t_10x+y(1<x<y<9,x,y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；在所得的“吉祥数”中，求F(t)的最大值.类型2函数型新定义问题例2已知一个大于1的正整数t可以分解成t_ac+b2的形式(其中a<c,a,b,c均为正整数)，在t的所有表示结果中，当bc-ba取得最小值时，称“ac+b2”b+

8、c是t的“等比中项分解”，此时规定：P(t)=2(a+b)，例如：7=1X6+12=2X3+12=1X3+22,1X6-1X1>2X3-2X1>1X3-1X2,所以2X3+12是7的“等比中项分解”，P(7)=|(1) 若一个正整数q=vm+n2,其中mn为正整数，则称q为“伪完全平方数”，1证明：对任意一个“伪完全平方数”q都有P(q)=若一个两位数s=10x+y(1<y<x<5，且x，y均为自然数)，交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14倍，结果被8除余4，称这样的数s为“幸福数”，求所有“幸福数”的P(s)的最大值.针对训练1.

9、如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法： 方程X2X2=0是倍根方程； 若(x2)(mx+n)=0是倍根方程，则4+5mnn2=0; 若点(p，q)在反比例函数y=2的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是x倍根方程.其中正确的是.(写出所有正确说法的序号)2. 先阅读下列材料，再解答下列问题：2材料：因式分解：(x+y)+2(x+y)+1.解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2.上述解题中用到的是“整体思想

10、”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：2(1)因式分解：1+2(xy)+(xy)=;因式分解：(a+b)(a+b4)+4=;证明：若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.3. 若三个非零实数x,y,z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x,y,z构成“和谐三数组”.(1) 实数1,2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由；k(2) 若M(t,yO,N(t+1,y2),R(t+3,y»三点均在函数y=(k为常数，k工x0)的图象上，且这三点的纵坐标y,y2,y3构成“和谐三数组”，求实

11、数t的值；2若直线y=2bx+2c(bc工0)与x轴交于点A(X1,0)，与抛物线y=ax+3bx+3c(a工0)交于B(X2,y2),C(X3,y3)两点. 求证：A,B,C三点的横坐标X1,X2,X3构成“和谐三数组”；一cb 若a>2b>3c,X2=1,求点P(-,-)与原点O的距离OP的取值范围.aa4. 若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为5=22+12.再如，x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整数)，所以M也是“完美数”.(1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”.

12、已知S=x2+4y2+4x12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.如果数mn都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”.5. 若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”P,取任意的一个“3倍点”P,到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数K=a2+b2ab,则称数K为“尼尔数”.例如：若P所表示的数为3,贝Ua=2,b=4,那么K=22+422X4=12;若P所表示的数为12,贝Ua=11,b=13,那么K=132+11213X11=147,所以12,147是“尼尔数”.(1) 请直接判断6和39是不是“尼尔数

13、”,并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2) 已知两个“尼尔数”的差是189,求这两个“尼尔数”.类型3整除问题例3我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=p+q(p、q是正整数，且p<q)，在n的所有这种分解中，如果p、q两数的乘积最大，我们就称pq是n的最佳分解.并规定在最佳分解时：F(n)=pq.例如6可以分解成1+5或2+4或3+3,因为1X5<2X4<3X3,所以3+3是6的最佳分解,所以F(6)=3X3=9.(1) 求F(11)的值；(2) 一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数被2除余1,前三位数被3除

14、余2,前四位数被4除余3,，一直到前N位数被N除余(N1)，我们称这样的数为“多余数”.如：236的第一位数“2”能被1整除,前两位数“23”被2除余1,“236”被3除余2,则236是一个“多余数”.若把一个小于200的三位“多余数”记为t,它的各位数字之和再加1为一个完全平方数,请求出所有“多余数”中F(t)的最大值.针对训练1. 一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”.如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则

15、123是一个“精巧数”.(1) 若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；(2) 若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”.2. 人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系.若两个不同的自然数的所有真因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和数”.例如：18的正因数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和为1+2+3+6+9=21;51的正因数有1、3、17、51，它的真因数之和为1+3+17=21,所以称18和51为“亲和数”.数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位)都是1的数为“两头蛇数

16、”.例如：121、1351等.(1) 8的真因数之和为;求证：一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能被7整除；(2) 一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”能被16的“亲和数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数”.2xx+33. 材料1:将分式一x+1拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.解:2x-x+3_x(x+1)2(x+1)+5_x(x+1)这样，分式2xx+3x+1就拆分成一个整式x2与一个分式册的和的形式.x+1x+1x+1材料2:已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数100x+10y+x,

17、且1<x<4,求y与x的函数关系式.解:2xy9x+y+101x+10y99x+11y+2xy11_112xy又v1<x<4,0<y<9,A7<2xy<8,还要使为整数,二2xy_0.2x2+6x一3(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结xI果为已知整数x使分式2x2+5x20x3的值为整数,则满足条件的整数x_(3) 已知一个六位整数20xy17能被33整除，求满足条件的x,y的值.4. 在任意n(n>1且n为整数)位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”.

18、若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”.比如1324的“顺数”为16324,1324的“逆数”为13264,1324的“顺数”与“逆数”之差为1632413264=3060,3060-17=180,所以1324是“最佳拍档数”.请根据以上方法判断31568(填“是”或“不是”)“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N,其个位数字与十位数字之和为8,且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值；证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.a5. 若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n,使得b=n，即a=bn.例如:若整数a

19、能被整数7整除，则一定存在整数n,使得a=7n.(1) 将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除例如：将数字1078分解为8和107,1078X2=91,因为91能被7整除，所以1078能被7整除，请你证明任意一个三位数都满足上述规律.(2) 若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的k(k为正整数，1<k<5)倍，所得之和能被13整除，求当k为何值时使得原多位自然数一定能被13整除.参考答案例1.解：(1)F(243)=(423+342+234)-111=9,F(617

20、)=(167+716+671)-111=14.s,t都是“相异数”，F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)+111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)宁111=y+6,F(s)+F(t)=18,.°.x+5+y+6=x+y+11=18,x+y=7,°.°1冬x冬9,1<y<9,x,y都是正整数,x=1,x=2,x=3,x=4,x=5,c或或或c或cy=6y=5y=4y=3y=2x=6,或1y=1.(2)vs是“相异数”，x丰2,x丰3,vt是“相异数”，x=1,亠x=4,x=5,y世1,y世5,二或或y=

21、6y=3y=2.F(s)=6,F(s)=9,F(s)=10,或或/、F(t)=12F(t)=9F(t)=8.k=妙=1或k=妙=i或k=血=5kF(t)2或kF(t)1或kF(t)4,.k的最大值为4.针对训练1解：(1)74;32;31(2)证明：令t=10x+y,222(10x+y)(xy)99222222=20x+2yx+y99=(y+2y+1)(x20x+100)=(y+1)(x10),.t的2倍减去t的“平方差数”再减去99所得结果是另一个数的“平方差”数.令t=xy,t'=yx,由题意知：10x+y+x2+y2=10y+x+y2x2,所以9x9y+2x2=0,9(xy)+2

22、x2=0,2/xy>0,2x>0,.x=y=0.故t=0.2. 解：(1)F(236)=3(2)证明：设这个正整数n三个数位上的数字分别为：x+yx,y.F(n)=b2ac=|a+c2b|最小时，我们称abc是n的“调和优选数”2xy=x2+y2xy42.F(n)为一个完全平方数；t=100x+60+y,t=100y+60+x,/11=99x99y=693,.99(xy)=693,xy=7,x=y+7,.1<x<9,1<y<9,.1<y+7<9,.1<y<2,y=1,y=2,.或.t=861或t=962,x=8x=9,当t=861时，

23、可以重新排列为168,186,618.|1+82X6|=3,|1+62X8|=9,|6+82X1|=12,.168为861的“调和优选数”，F(861)=6X6-1X8=28;当t=962时，可以重新排列为269,296,629,.|2+9-2X6|=1,|2+6-2X9|=10,|6+9-2X2|=11,二269为962的“调和优选数”，F(962)=6X6-2X9=18.所有“和顺数”中F(t)的最大值为28.3. 解：(1)43；50；140122(2) b+4X5+aX5+4+aX8+bX8=33a+65b+24=13(2a+5b+1)+7a+11,13整除7a+11,15而1<

24、a<5,1<b<5,二18冬7a+11<46,二7a+11=26或39.解得a=(舍去)或4,二a=4.(3) (mm)6+(nn5)8=1+6耐36仃卄5+8n+64n=6+42m72n.若互为“如意数”，则6+42耐72n=666, 7m12n=110,此时m必为偶数，经检验，当2,n=8时，7m12n=110,这两个数为85和581.4. (1)证明：对任意一个完全平方数m,设n=a2(a为正整数)，|aa|=0,二aXa是m的最佳分解，a对任意一个完全平方数m总有F(m=-=1.a(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t'，则t'=1

25、0y+x,t是“吉祥数”， t一t=(10y+x)(10x+y)=9(yx)=36, y=x+4,v1<x<y<9,x,y为自然数，满足“吉祥数”的有15,26,37,48,59.32163F(15)=5,F(26)=亦，F(37)=37，F(48)=孑=；,F(59)=133211359.3>5>i3>37>59，所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是4.例2解：(1)证明：Ia<c,a,b,c为正整数,bc-ba=b(ca)>0.又q=m+n2=m-mn2,令n=b,m=a=c,则此时bcba最小为0,故m-mn2是q的“等比中项分解”，

26、n+m1二P(q)=2(mn)=2.由题意，得2(10y+x)+14(10x+y)=8k+4(k为整数),即：142x+34y=8k+4.二8(18x+4y)+2y2x4=8k,2(yx2)是8的倍数，yx2是4的倍数.又v1<y<x<5且x,y均为自然数，6<yx2<2,Ayx2=4,x=y+2，s=31,42,53.vbcba=b(ca)，且a,b,c为正整数，a<c,当b越小，ca的差越小，b(ca)越小.当s=31时，31=5X6+12，贝9P(31)=2xI；'"=£；当s=42时，42=2X3+62,贝9P(42)=6

27、；3八=£2X(6+2)16'当s=53时，53=7X7+22或53=2X2+72,小19719则P(53)=.v>石二，P(s)max=.21612216针对训练1.2. 解：(1)1+2(xy)+(xy)2=(xy+1)2;令A=a；b,则原式变为A(A-4)+4=A4A；4=(A2)2,2故(a；b)(a；b4)+4=(a；b2);2证明：(n；1)(n；2)(n；3n)；1=(n2；3n)(n；1)(n；2)；1=(n；3n)(n；3n；2)；1222=(n；3n)；2(n；3n)；1=(n2；3n；1)2,vn为正整数，n2；3n；1也为正整数，代数式(n；1

28、)(n；2)(n2；3n)；1的值一定是某一个整数的平方.11113. 解：(1)v1,2,3的倒数分别为1,，彳且1>2>亍11v；3工1,二1,2,3不可以构成“和谐三数组”.kkkkkk亠“宀、比一Mt,-),Nt；1,百),Rt；3,両3)，且,笛，苻3构成“和谐三数组”.tt；1t；3 右匚=，得2t；4=t,得t=4;t4-1tt+3 若F:+耳3，得2t+3=t+1,得t=2;kkkt+3tt+1 若=R+，得2t+1=t+3,得t=2.综上，t的值为一4或一2或2.证明：Ia,b,c均不为0,二X1,X2,X3都不为0,令y=2bx+2c=0,则整理得：ax+bx+

29、c=0.联立2'整理得：ax111当一2<m<2且m0时，OP随m的增大而增大，当m=q时，OP有最小值？，当m=寸时，OP有最大值I，1 以5口R210口/Opv：且oPm1,.OP<且0占1.2'224. 解：（1）（答案不唯一）0,1,2,4,8,9均可.因为29=52+22，所以29是完美数2222(2)当k=13时，S=x+4y+4x12y+13=x+4x+4+4y12y+9=(x+2)2+(2y3)2,vx,y是整数，.x+2,2y3也是整数，.S是一个“完美数”./m与n都是“完美数”，设m=a2+b2,n=c2+d2(a,b,c,d都是整数)，

30、+bx+c=0.y=ax+3bx+3c,bc/x2+X3=一，X2X3=,aa11x2+X3bab1X2X3X2X3accX1A,B,C三点的横坐标X1,X2,X3构成“和谐三数组X2=1，a+b+c=0,c=ab.a>2b>3c,.a>2b>3(ab)，且a>0,整理得a>2b,5b>3a,b3111令n=，则一i<m<且0,贝UOP=2（m4）2+,：2>0,a522231313当一7<m<：时，OP随m的增大而减小，当m=时，OP2有最大值忑，当m5252511=2时，oP有最小值；则222222222222mn=(

31、a+b)(c+d)=ac+ad+be+bd=a2e2+2abed+b2d2+b2c22abed+a2d2=(ac+bd)2+(bead)2./a,b,c,d是整数，ac+bd与bead都是整数，mn也是“完美数”.5. 解：(1)6不是“尼尔数”；39是“尼尔数”；设a=3n+1,b=3n1(其中n为自然数)，K=(3n+1)2+(3n1)2(3n+1)(3n1)222=2X9n+2X1(9n1)=9n+3,所有“尼尔数”一定被9除余3.(2)设这两个“尼尔数”分别为9m23，9n23，其中mn为整数，则(9ni+3)(9n2+3)=189,22mn=21.(nHn)(m-n)=1X21或3X

32、7.mn=21,m-n=1mHn=7,或m-n=3.解得m=11,n=10m=5,n=2.当m=11,n=10时，9m+3=9X112+3=1092,229n2H3=9X102H3=903.当5,n=2时，9m+3=9X52+3=228,229nH3=9X2H3=39.答：这两个“尼尔数”分别是1092和903或228和39.类型3.整除问题例3.解：(1)11=1H10=2H9=3H8=4H7=5H6,且1X10<2X9<3X8<4X7<5X6,所以F(11)=5X6=30.(2)设此数为1bc，由题可得10+b=2mH1，由得：10+b为奇数，所以b为奇数；100+

33、10bHc=3nH2，由得：1HbHc+1是3的倍数;1+bHeH1=k2.(其中mn,k为整数)又因为1冬b冬9,1冬e冬9,所以4冬1+b+CH1冬20,所以1HbHcH1只能等于9，即bHc=7.所以当b=1时，c=6,此数为116.当b=3时，c=4，此数为134；当b=5时，c=2,此数为152;当b=7时，c=0,此数为170;当b=9时,舍去；所以F(t)max=F(170)=85X85=7225.针对训练1. 解：(1)t四位数123k是一个“精巧数”，1230+k是4的倍数；即1230+k=4n,当n=308时，k=2;当n=309时，k=6,k=2或6;2ab是“精巧数”，

34、a为偶数，且2+a+b是3的倍数，/a<10，bv10，a2+a+bv22，各位数字之和为一个完全平方数，2+a+b39，当a0时，b7；当a2时，b5;当a4时，b3;当a6时，b1，所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261.2. 解：证明：设这个四位“两头蛇数”为1ab1，由题意，得1ab1-3ab1001+100a+10b30a3b1001+70a+7b7(143+10a+b).a、b为整数，143+10a+b为整数，一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍能被7整除.T16的真因数有：1，2，4，8，二1+2+4+815.151+3+11，二16的“亲和数”为33.设这个五位“两头蛇数”为1x4y1，由题意，得卫字为整数， 315+30x+10