昌平区2019学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)

1、昌平区2019学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间120分钟）2019.1考生须知：1. 本试卷共6页，分第I卷选择题和第n卷非选择题两部分。2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写，并认真核对条形码上的考试编号、姓名。3. 答题卡上第一部分（选择题）必须用2B铅笔作答，第二部分（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4. 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破

2、损。不得在答题卡上做任何标记。5. 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。1锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。3第I卷（选择题共40分）选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）（1）复数乙=3i,Z2=1-i，其中i是虚数单位，则ZA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）已知全集U=R，集合A=x|x2-3x-10<0,B=x|x>3,A.(3,5)B.(-2,+：)C.(-2,5)D.(5,

3、+)则右图中阴影部分表示的集合为已知直线h:2x-my1=0与12：x(m-1)y-1=0,则“m=2”是“h12”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件下列函数中，周期为二的偶函数是A.y=cosxB.y=cos(2x)2jrC.y二sin(2x)d.y=tanx2(5)数列an的前n项和Sn=2n2-3n(n，N*)，则a4口正视图左视图俯视图A.11B.15C.17D.20(6)如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm).则此几何体的体积是（）33A.96cmB.80cm224C.8016.2cm3D.cm3(7)函数y二ax(a.0,a=

4、1)的图象恒过定点A,若点A在直线mxny-1=0上，其中21m、n0，则的最小值为mnB.3C.32.2D.6(8)已知函数f(x)的定义域为-3,：)，且f(6)二为f(x)的导函数，f'(x)的图像如右图所示b+3f(2ab:2,贝y的取值范围是()a2A.（一I®C.9(d3)3B.（-:-,）_.（3,：-）29D.）-（3,：）2第u卷(非选择题共110分)填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)(9)已知PA是圆O的切线，切点为A,PA=2,AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B,PB=1，则圆O的半径R=.（10）在3BC中，AB=3,BC=J13,AC

5、=4,则NA=ABC的面积是(11)为了测算右图阴影部分的面积，做一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点,结果恰有200个点落在阴影部分内.据此，可估计阴影部分的面积是2(12)已知命题p:R,x2ax0.写出P：；/入"若命题p是假命题，则实数a的取值范围是.(13) 执行右边的程序框图，若p=0.9，则输出的n=1*(14) 把数列(nN)的所有项按照从大到小的1113511117911131111115171921292n1原则写成如右图所示的数表，其中的第k行有2kJ个数，第k行的第s个数(从左数起)记为A(k,s)，则A(5,12)表示的数是;1这

6、个数可记为A().2009三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)(15) (本小题满分13分)如图，在长方体ABCD-ABjGDj中，AA=AD=a，AB=2a，E为AB的中点.(I) 求证：AE_平面BCE；(II) 求二面角D-BE-C的余弦值.(16) (本小题满分13分)已知向量a=(sinx,cosx)，b=(cosx,sinx-2cosx)，0：x:2(I)若a/b，求x；(n)设f(x)二ab，(1)求f(x)的单调增区间;(2)函数f(X)经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数?(17) (本小题满分13分)某班50名学生在一

7、次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组50,60)，第二组60,70)，第五组90,100下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图(I) 若成绩大于或等于60且小于80,认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；(II) 从测试成绩在50,60)90,100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n,求事件“|m-n|.10”的概率.(18) (本小题满分14分)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线11:x2y7=0相切.过点B-2,0)的动直线|与圆A相交与M、N两点,于点P.(I)求圆A的方程；(II)当MN=2、1§

8、;时，求直线l的方程；-1T(III)BQBP是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.(19) (本小题满分13分)已知函数f(x)=1n(xa)-x2-x在x=0处取得极值(I) 求实数a的值；5(II) 若关于x的方程f(x)xb在区间0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围2(20) (本小题满分14分)对于给定数列Cn，如果存在实常数p,q,使得Cn.1二pCnq对于任意N*都成立，我们称数列Cn是M类数列”.(I) 若an=2n,bn=32n,nN*，数列a.、bn是否为M类数列”？若是，指出它对应的实常数p,q，若不是，请说明理由；(II) 若数列an满足日=2

9、,anan3t2(nN),t为常数.(1) 求数列an前2009项的和；(2) 是否存在实数t，使得数列an是M类数列”，如果存在，求出t;如果不存在，说明理由昌平区2019学年第一学期高三期末考试数学参考答案(理科)2010.1、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案DBACADCB填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)(13)5(14);(10,494)53(9).3(10)600;33(11)9(12)2XR,X2axa0;0a<1三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本小题满分13分）（I）证明

10、：在长方体ABCD-ABCQ,中，BC丄侧面ABBA,AEu侧面ABBA，二AE丄BC,2分在ABE中，AB=2a,AE二BE=,2a,222则有AB二AEBE,.AEB=90,.AEEB,5分又BC门EB二B.AE_平面BCE6分(II) 以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系D-xyz.则D(0,0,0),B(2a,a,0),E(a,a,a,),A(0,a,0),>I+AE=(a,0,a),DB=(2a,a,0),DE=(a,a,a)z.9分设平面BDE的法向量为n二（x,y,z），则由nDB=0,nDE二0,2ax+ay=0彳得，令x=1,得n=(1,-2,1)axayaz=0.1

11、0分又由（I）AE_平面BCEAE=（a,0,a）为平面BCE的法向量,11分cos：AE,n|AE育.13分即所求二面角D-BE-C的余弦值为3（16）（本小题满分13分）解：(I)若a/b，贝Vsinx(sinx-2cosx)=cos2x,.1分即一sin2x=cos2x,tan2x-1.2分3二3二又*0：x,0:2x：二,2x,x.4分2482/JL(II)f(x)二ab=2sinxcosx-2cosx=sin2x-cos2x-1二、2sin(2x)-148分3二(1)令2<2x2k二，kZ,得，k二乞xk二,2428833:又0：X,-0：X-一，即(0,是f(x)的单调增区间

12、.11分288(2)将函数f(x)的图像向上平移1个单位，再向左平移个单位，即得函数8g(x)-、2sin2x的图像，而g(x)为奇函数.13分(左、右平移的单位数不唯一，只要正确，就给分.)(17)(本小题满分13分)解：(I)由直方图知，成绩在60,80)内的人数为：5010(0.0180.040)=29.所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人.3分(II)由直方图知，成绩在50,60)的人数为50100.004=2，设为x、y,.5分成绩在90,100的人数为50100.006=3，设为a、b、c,.6分若m,n50,60)时，只有xy1种情况，.7分若m,n90,100时，有ab,

13、bc,ac3种情况，.8分若m,n分别在50,60)和90,100内时，有abcxxaxbxcyyaybyc共有6种情况.所以基本事件总数为10种，.10分事件“|m-n10”所包含的基本事件个数有6种11分GQP(|m-n|10)=-.13分105.(18)(本小题满分14分)解：设圆A的半径为R,由于圆A与直线h:x2y7=0相切,R147|v5=2.5.2.4(x1)2(y-2)2=20(II)当直线当直线丨与x轴垂直时，易知x=-2符合题意丨与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x2)，即kx_y2k=0,连结AQ,则AQ_MNMN=219，二AQ20-19=1,则由AQ二丄是=1，

14、3得k直线l:3x-4y故直线l的方程为x-2或3x-4y6=0BABP10分(III) /AQ_BP,"Bq8(bAAQ)EP=bABPAQBP二当l与x轴垂直时，易得P(_2,-卫)，则BP=(0,-5),又BA=(1,2),2211当丨的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x2)，y=k(x2)，得px2y7=0(4k-712k-5k5-5k匹),则BP=(,西)12k12k12kBQBP二BABP二也"1+2k1+2k综上所述，BQBP是定值，且BQBP-5.14分(19)(本小题满分13分)1解：(i)f'(x)2x-1x+a1又f(0)=0，即卩1=0.

15、a=1a523(II)由f(x)xb得ln(x1)-xx-b=0223x-b,22设g(x)=ln(x1)-x13则g(x)2xx+12-(4x5)(x1)2(x1)5令g(x)=0,得，x=1或x(舍)，4x0(0,1)1(1,2)2g'(x)+-g(x)-b/极大值1In2十一一b2In3_1_b.11分g（x）=0在区间0,2上恰有两个不同的实数根1g(1)=ln2+?->013分二g(0)=-b兰0，即|门3_1Ebvln2+1g(2)=ln31b兰02（20）（本小题满分14分）解：（I）因为an=2n,则有anan2,N故数列an是M类数列”对应的实常数分别为1,2.2分因为bn-32n，则有bn2bnnN*故数列0是M类数列”对应的实常数分别为2,0.4分(II)(1)因为anan1=3t2n(nN)则有a2a3=3t22,a4a5=3t2411|11,a2006a2007=3t2,2008a2008a2009=62.6分故数列an前2009项的和§009二6+a2a3+a4aJllllka2°°6a2007+a2008a2009=23t223t24丨1|川3t22006-3t22008=2t22010-4若数列an是M类数列”，则存在实常数p,q.10分使得anpanq对于任意nN*都成立，且有an2