D4_3 不定积分的概念及性质

1、4. 3. 3 4. 3. 3 基基 本本 积积 分分 ( ( 公式公式 ) ) 表表 4. 3. 2 4. 3. 2 不不 定定 积积 分分 4. 3. 1 4. 3. 1 原原 函函 数数4 . 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 不 定 积 分 第 4 章 微分法：微分法： ( ? )Fx积分法：积分法： (?)f x 互逆运算互逆运算4. 3. 4 4. 3. 4 不不 定定 积积 分分 的的 性性 质质 4 4. . 3 3. . 1 1 原函数的概念原函数的概念 Fxf x, 11, 211x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定定 义义 ：则称函数则称函数例如例如： sinco

2、s ,xx2ln1xx或或在在 R 内的一个内的一个原函数原函数；又又是是在在内的一个内的一个原函数原函数。211x xI dd , F xf xx设函数设函数在区间在区间 I 里有定义，里有定义，如果函数如果函数满足：满足： f x F x为函数为函数在区间在区间 I 里的一个里的一个原函数原函数。 f x F x是是sinxcosx2ln1xx问问 题题 : : 1. 在什么条件下，一个函数的原函数存在在什么条件下，一个函数的原函数存在 ？2. 若原函数存在，它将如何表示若原函数存在，它将如何表示 ？ 如何获得？如何获得？ 定定 理理（原函数存在的充分条件原函数存在的充分条件）： 在区间在

3、区间 I 里必有里必有原函数原函数 。因初等函数在其定义区间内连续因初等函数在其定义区间内连续初等函数在其定义区间内必有原函数初等函数在其定义区间内必有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数若函数在区间在区间 I 里里连续连续，则则即变上限积分：即变上限积分： f x f x d ,axf ttF x , axII 在区间在区间 I 里的一个里的一个原函数原函数 。就是函数就是函数 f x关于原函数的几点说明：关于原函数的几点说明： F x 0 ,0 x Fx 原函数的存在定理是判断给定函数是否有原函数的充分原函数的存在定理是判断给定函数是否有原函数的充分条件而非必要条件。条件而非必

4、要条件。例如例如：112 sincos,0 xxxx若令若令 fx显然函数显然函数当然函数当然函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 21in0,sxxx0 ,0 x ,f xFx在在 0 处的极限发散，处的极限发散，但其原函数但其原函数的确存在。的确存在。 F x在在 0 处不连续，处不连续， fx2. .原函数的存在性与函数的定义区间原函数的存在性与函数的定义区间 I I 密切相关；密切相关； ,0F xxxR f x1,0 x 例如例如：是其一个是其一个原函数原函数；而对于函数而对于函数则不存在着则不存在着原函数原函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1,0 x对于函数对于函数 f

5、x1,0 x 1,0 x注明：注明：尽管在以后在求不定积的过程中，尽管在以后在求不定积的过程中，我们只注重寻找原函数，我们只注重寻找原函数，而不顾及其定义域，而不顾及其定义域， 但在定义原函数时，必须引起重视。但在定义原函数时，必须引起重视。3. 若函数若函数 ,Fxf x F x f x则对于为任意常数则对于为任意常数 C ，有，有机动 目录 上页 下页 返回 结束 在区间在区间 I 里的任一原函数必可表示为：里的任一原函数必可表示为：4. 若函数若函数是函数是函数 FxC F x ;f x .FxC f x在区间在区间 I 里的一个原函数，里的一个原函数，则函数则函数 f x在区间在区间I

6、 I 里有原函数，里有原函数，则必有无穷多个原函数；则必有无穷多个原函数；4.4. 3.3. 2 2 不定积分不定积分 f x f x ,Fxf x在区间在区间 I 上的原函数全体称为函数上的原函数全体称为函数在区间在区间 I 里的不定积分里的不定积分,其中：其中： 积分号积分号; 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;(P191)若若则则( C 为任意常数 )C 称为积分常数，积分常数，不可丢不可丢 !例如例如,xxdsincos;xC记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义：dxex .xeC f x函数函数 dfxx dfxxFxC注明注

7、明 ：1cos22x2sin xsind ;xxx）不定积分表示形式的多样性（非唯一性）；）不定积分表示形式的多样性（非唯一性）；如：如：sin2 ,xsin 2dxx sin2 , x而而故有故有211.2CCsin 2dxx 或或11cos22xC由于由于）不定积分表示的复杂（非初等、困难）性；）不定积分表示的复杂（非初等、困难）性；如：如：等都不能用初等函数表示出来；等都不能用初等函数表示出来；2;dxex11cos22,xC22in,sxC211sin2xC 211sin,2xC2sind ;xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ）积分方法的灵活（多样、技巧）性；）积分方法的灵活（多

8、样、技巧）性； dddxf xx ddf xx dddF xxx）不定积分与微分为互逆函数运算，但要注意运算的先后）不定积分与微分为互逆函数运算，但要注意运算的先后次序；次序； ,xf或或或或 ;CF x ;CF x d F x;( )dfxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ）不定积分的几何意义不定积分的几何意义 f x f x df xx的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形的图形的所有积分曲线组成的平行的所有积分曲线组成的平行曲线族曲线族.yxo0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 的的积分曲线积分曲线 . f x0f x Fx FxC例例 1. 1, 2 ,2Cx2yx 且其

9、上任一点处的切线斜率且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，等于该点横坐标的两倍，解解: xxyd2所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有故有C2121C因此所求曲线为：因此所求曲线为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo)2, 1 (21yx设曲线通过点设曲线通过点求此曲线的方程。求此曲线的方程。ox例例2. xx t ddxv tt22ddddxvtt0 x处以初速处以初速0v求质点的运动方程。求质点的运动方程。解解:质点抛出时刻为：质点抛出时刻为：,0t此刻质点位于此刻质点位于初速为：初速为：设设 t 时刻质点所在位置为：时刻质点所在位置为：则(运动速度运动速度

10、)g(加速度加速度)0,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛垂直上抛 , 不计阻力，不计阻力， 先由此求先由此求)(tv 再由此求再由此求)(tx xx t 00 xx设质点距离地面设质点距离地面设质点运动轨迹沿坐标轴设质点运动轨迹沿坐标轴 x ，指向朝上，指向朝上 ，原点在地面，原点在地面，处，处，0 x先求先求 ,v t10,Cv ,x t,ddgtv由由知知ttvd)()(g1Ct g 0v ttv g再求再求tvttxd)()(0g20221Ctvtg 00,xx20,Cx于是所求质点的运动方程为：于是所求质点的运动方程为： 20012.x ttv txg由由)(ddtvtx

11、,0vt g知知机动 目录 上页 下页 返回 结束 故故ox)0(0 xx )(txx 00,vv由由得得4.4. 3.3. 3 3 基本积分表基本积分表 (P192);kxC1;11Cxln;xC(1)dk x （k 为常数为常数）xx d)2(d(3)xx0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1(lnlnxxx121d)4(xx或或arctan;xCarcco;tCx当当时，时，2d1xx(6)cos dx x 2d(8)cosxxxxdsec22d1xx或或(7)sin dx x 2d(9)sinxxxxdcsc2机动 目录 上页 下页 返回 结束 （5）arcsin;xCsi

12、n;xC;cosCxtan;xCarcco;sCx2d1xx;cotCxsec tan dxx x (11)csc cot dxx x (12)dxex (13)dxax 2shxxeex(15)ch dx x (14)sh dx x 2chxxeex机动 目录 上页 下页 返回 结束 （10）sec;xC;cscCx;xCe;lnxaaCch;xCsh;xC例例3. 133;Cx431431x 22sincosd .xxx解解:xxd34例例4. 解解:xxdsin21C机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式原式 =原式原式 =12co;sCx计算不定积分：计算不定积分：3d.xxx计算不

13、定积分：计算不定积分：4.4. 3.3. 4 4 不定积分的性质不定积分的性质 1.dk f xx一般地，一般地， 若若 1,niiifxk fx则则 df xxk机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;dxkf x d2.f xg xx df xx d ;g xx为常数为常数 1dniiikfxx 例例5. 1cosd2xx11dcos d22xx x解解:(2 )5 2dxxex )2ln()2(eex2ln25xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 解解:类似地，类似地，计算不定积分：计算不定积分：计算不定积分：计算不定积分：原式原式 = 原式原式 =25.dxxex52ln21

14、l 2.nxxeC 22sind .xxsin.2xCx 22cosdxxsin.2xCx例例7. 2tand .x x.tanCxx221d1.xxxxx解解: xxd) 1(sec2xxxddsec2例例8. 解解:xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式原式 =计算不定积分：计算不定积分：原式原式 =arctanx计算不定积分：计算不定积分：ln x.C例例9. 421.dxxx313xx解解:421d1xxx222111d1xxxx22d1 d1xxxx.C机动 目录 上页 下页 返回 结束 arctanx原式原式 =计算不定积分：计

15、算不定积分：1例例1010111dxabxbxa1lnlnxbxaCab计算不定积分计算不定积分()()dxxa xa其中：其中：解：解：特别地特别地22dxxa d,xxaxbab且均为常数。且均为常数。原式原式 =1ln;2xaaxaC1ln.xabaCbx1ln;2xaaxaC11ln21.xxC22dxxa22dxax2d1xx内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 (见见P 192)2. 直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形, 及及 基本积分公式基本积分公式进行积分

16、进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,2chxxeex2shxxeex思考与练习思考与练习1. 证明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函数都是xxex2. 若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx(P191题4)提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 221机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:3. 若)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)

17、(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求下列积分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 求不定积分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1() 1(2xxeexeexxd) 1(2Cxeexx221机动 目录 上页 下页 返回 结束 7. 已知已知22221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解解: 等式两边对 x 求导, 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P190 1 (5) , (12) , (14) , (20)