高二线性回归方程及独立性检验-解析版

1、线性回归及残差分析题型一：线性关系例1.（2014新课标2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（I）求y关于t的线性回归方程;（II）利用（I）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：工(tT)(yy)入b=i=1寸,a=yb刀(tT)2ii=1【解析】（I）由所给数据计算得t=7（

2、1+2+3+4+5+6+7）=42.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3工(t-1)2=9+4+1+0+1+4+9=281t=1工(tt)(y亍)=(3)X(1.4)+(2)X(1)+(1)X(0.7)11t=1+0x0.1+1x0.5+2x0.9+3x1.6=14工(t-t)(y-y)1114-b=n=0.5,a=ybt=4.30.5x4=2.3.'Jt)228,t=1所求回归方程为y=0.5t+2.3.变式(2016年全国III卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图年紛代码i注：年份代码1-7分别对应年份2008-20

3、14.(I) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(II) 建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：£y二9.32,£ty二40.17，马(y-y)2=0.55，茁2.646.iiiVii=1i=1Vi=1£(t-1)(y-刃ii参考公式：相关系数r=严(门2£(y-y)2'i=1i=1回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：£(t-T)(y-y)ii_-b=i，a=y-b厂.£(t-1)2ii=1【解析】(I)由

4、折线图中数据和附注中参考数据得-=0.55，7t=4，£(t-1)2=28，ii=1£(t-1)(y-y)=£ty-y=40.17-4x9.32=2.89,iiiiii=1i=1i=12.890.55x2x2.646因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(tt)(yy)9.32；i八丿i"2.89(II)由y沁1.331及(I)得bi-1-0.103,7工(tt)228ii1_八一a=y-bt沁1.331-0.103x4沁0.92.所以，y关于t的回归方程为：y二0.92+0.10t.

5、将2016年对应的t=9代入回归方程得：y0.92+0.10x9=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.题型二：啊性关系例2.（2015新课标1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x和年销售量y（i=1,2,，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计ii量的值.xw工(xx)2ii-1工(ww)2ii1£(xx)(yy)iii1工(ww)(yy)iii146.65636.8289.81.61469108.8表中wi_1w=乙w.8ii

6、1（I）根据散点图判断，ya+bx与yc+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费X的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(II) 根据(I)的判断结果及表中数据，建立y关于X的回归方程;(III)已知这种产品的年利率z与X、y的关系为z=0.2y-x.根据(II)的结果回答下列问题：(i) 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii) 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u,v)，(u,v)，-，(u,v)，其回归线v=a+卩u的斜率和截1122nn艺(u-u)(v-v)ii距的最小二乘估计分别为0=，“二v-卩u.乙(u-u)2ii=1【解析】

7、(I)由散点图可以判断，y=c+d、辰适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(II)令w=、丘，先建立y关于w的线性回归方程，由于工(w-w)(y.-刃8d=一:=1088=68.工(W-W)21.6ii=1c=y-dw=563-68x6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为y=100.6+68、：'x.(Ill)(i)由(II)知，当x49时，年销售量y的预报值y=100.6+6-49=576.6-年利润z的预报值z=576.6x0.2-49=66.32.(ii)根据(II)得结果知，年利润z的预报值z=0.2(100.

8、6+68.7)x=x+13.6抿+20.12.136所以当；'x=6.8，即x=46.24时，z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大变式：【2019年一模文】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响，对近六年的年宣传费x,和年销售量y的数据统计如下：编号123456年份201320142015201620172018年宣传费用x（万元）384858687888年销售量y（吨）16.818.820.722.424.025.5经电脑拟合，发现年宣传费用x（万元）与年销售量y（吨）之

9、间近似满足关系式y=axb（a,b>0），对上述数据作了初步计算处理，得到相关的值如下表：艺(Inx-lny)iii=1丈(lnx)ii=1艺(Iny)ii=1艺(lnx)2ii=175.324.618.3101.4（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程;（2）已知这种产品德年利润z与x，y的关系为z=、辽y-法x，若想2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？22工(u,v)-n(uv)ii最小二乘估计分别为卩=i，&=V卩U乙u2n(u2)i附：对于一组数据（u,v）,（u,v）,（u,v）,其回归直线v=0u+cx中的斜率和截距的1122nni=1【

10、解新】口）对y-口分*两边耳覓对数絆In>=Inti+dn.t令越Rn适，口=1“yt释卫=lz卄仏由题给数如得丘=卑卫=饗I用一卑一：匚:;5,6fi£GSg=工(In竝In:#)=7H.3,S4工dn)2=101.4,1=1：-!Ll.-'y.f吩.)-tituu(-1分)(7干0,台75.3-6X<1X_3.OS_a?.7=丄T疋rjI0L4-6XC4tI)e5754-Tl_1-In£!=“一血=3.0yX4.I=?44e.址所求回归方程为_y=e丘（2）由（i）知t年利润z的预报值为工=据次養丁=&/一斋工=_斋'工_"

11、1/宏，=書（石772）'+亦所以蛋存一？J丹卩工一開时旅痔最丸直故当劄19年的年宝借驛用力聘不无时年刈润有產丸值，门2好）题型三：残差分析它们分别用两种模型y=bx+a，y二aebx>行拟合，得到相应的的回归方程并进行残差分析，得到如下的一些统计量的值及残差图：（每个样本点的残差等于其实际值减去该模型的估计值）Xyflf=l?=11301464.24364（I）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应该选择哪个模型？并说明理由;(U)残差绝对值大于2的样本点数据被认为是异常数据，需剔除(i) 剔除异常数据后求出(I)中所选模型的回归方程；(ii) 若广告投入量x=18(万元)时，该

12、模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x,y),(x,y),(x,y),其回归直线y=bx+a中的斜率和截1122nn入y一一xy-nxyii距的最小二乘估计分别为b二飞，a=y-bx。八yx2応2入ii=1呵残差图模型-模型IT应谡谨拝摸蠟乩內为预舉江煙走点比转均匀朋薄圧？K¥的芾倍lx域中.拟合辅度趟咼卜回归方程的援擅芾踐趟咼.a)(i)剧除异常甦朗即月份为弓的熬胡得-7m667.2,y-3Qx6J31S-2.6工为为=146424-旅31左=27§44工f=3牺一卅=32S.JnlJbD32S-57.272£_爭"肚尸1273.44-5x722

13、9.642064J-Ji=y-hT=2?l64-3>72=RL(H,所即丁芒于玄的鏡性回归方程为土y=3Lr+S.O4t<ii)此寸二卅代入回归方荐得士y=3xlS+S.<H=6ZO4f-12廿变式【2017年三模文，19】19对某圮区儿童的身崗9怵重的组数打我门用两种模y=bx-ar=宦出拟合，得到冋!i|方程分刖为y£Pl=0.24x-8,8l,y（?J=1.70严巴做残差分析如下表；济高工（cm）60708090100110体重,F<kg)e81014.：IS0.410.011.21-0.190.tl-U.S60.070.1J1.69-0.34-1.12

14、< ）求表中空格内的值：< II）根据残"朮较模型的拟含效果,决定选择哪个模型（HT）残差大于lkg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（II）所选择的模型事新建立回归方程.（姑果保昭到小数点后两位附：对-组数据（引门），区*厲,如，氏卜.|门但二应I口的斜率'ill'll.的最小.厭；E|为（xf-rXy-.y）别玷-，a=y-bx.JJ丄i-1根据残差分析,把兀=80代入外）=024菲881得胖=103410-1039=-0.39,Hi以表屮空格内的值为0.39诃分CII）模型残齐:的绝对T.的*：h0.410.0140.39+1,21-fOJ9

15、40,41=2.62,模型边残筈的绝对值的和?'J0,36I0.07I-0J2-I1.69+0.34I1.12=3.7,2£2龙3.7所以模吴的拟合效果比较好，选择模型.8分III）残花大十1弦的样本山被剔除丿二剩余的数摇如卜表身高或饷）6070休重y唸680+410.0180100110101518-0.39-0.190,41j=l口屯亍心刃-1I公式：b=-7j=J-bx,得叵I方程为y-0.24.Y8.76.T2分题型四：独立性检验例4：某市为了了解市民对开展创建文明城市（简称“创城”）工作以来的满意度，随机调查了40名市民，并将他们随机分成A,B组市民给第一阶段的创城

16、工作评分，B组市民给第二阶段的创城工作评分，根据两组市民的评分记下茎叶图：A组（第一阶段）sin.【第：阶段）9764159987536567667679998652S456f589721912578（1）根据茎叶图比较市民对两个阶段创城工作满意度评分的平均值及几种程度（不要求计算，给出结论即可）；（2）根据市民的评分将满意度从低到高分为三个阶段：低J70»70分到69分不低J905>满意度等级不満壷满意很满意 由频率估计概率，判断该市开展创城工作以来哪个阶段的市民满意度高？（说明理由） 完成下面的列联表，并根据列联表判断是否99%的把握认为市民对创城工作的满意度与两个阶段有关

17、？n(adbe)2(ab)(ed)(ae)(bd)二+一+P阳工佩）60500+0100.0013,841&63510,8289,112分)CI第：阶段满盘度评号的平均值技大"也校集中；4分9L7(II第一阶段市民的满意度=45%.第二阶段市民的满意度=85%2020二第二阶段市民的满盘度较环8分叫”罟-.-70分不低于70分第一阶段119第二翳殷317酹=二:(耳y)(&+M)14x26x20x20-12分几由99怀的把握认商市民对创城工托的滿虑麼与柏牛阶段有关,变式1.(2018全国卷III)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的

18、生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方貳86556S997627012234566SQ877654.；321)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差

19、异？“n(ad一bc)2K2_P(K2三k)0.0500.0100.001上、2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k3.8416.63510.828附：解析】(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟因此第二种生产方式的效率更高(ii) 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为735分钟因此第二种生产方式的效率更高.(iii) 由茎

20、叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.(iv) 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分(2)由茎叶图知m=79281=80.2列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515由于K2=缨空匸乂严=io>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.变式2.(2017新课标II)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收