导数的应用二——函数的极值

1、导数的应用二一一函数的极值、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数!学习目标：理解极值的概念和极值点的意义；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值；掌握函数极值与最值的简单应用.二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾一一复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数yf(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，(1若f(x)0,则f(x)在这个区间上为函数;(2)若f(x)0，

2、则f(x)在这个区间上为函数；(3)若恒有f(x)0，贝Uf(x)在这一区间上为函数.反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有;若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有(2)求函数yx3ax(aR)的单调区间。例2.已知函数f(x)2234xaxx(xR)在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围.3例1.(1确定函数f(X)322x6x7的单调区间要点梳理一一预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习课堂笔记或者其它补充填在右栏预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID:#44929#404961要点一：函数的极值1.

3、函数的极值的定义：一般地，设函数f(X)在点xx0及其附近有定义，(1) 若对x0附近的所有点，都有，则称函数f(x)在x0处取极大值，记作y极大f(xo)；并把x0称为函数f(x)的一个.(2) 若对x0附近的所有点，都有,则称函数f(x)在x0处取极小值，记作y极小f(xo)；并把冷称为函数f(x)的一个.极大值与极小值统称极值.在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是函数值2. 用导数求函数极值的的基本步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数f(x)；(3) 求方程f(x)0的根；(4) 检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如

4、果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)悔丿要点二：函数的最值1. 函数的最大值与最小值定理若函数yf(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f(x)有最大值与最小值.(横线上填“一定”或“不一定”)要点诠释： 函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得； 函数的极值可以有多个，但最值只有一个.2. 求函数最值的的基本步骤:若函数yf(x)在闭区间a,b有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数yf(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下：(1) 求函数f(x)在(a,b)内的导数f(x)；(2) 求方程f

5、(x)0在(a,b)内的根；(3) 求在(a,b)内所有使f(x)0的点的函数值及f(x)在闭区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(4) 比较上面所求的值，其中最大者为函数yf(x)在闭区间a,b上的最大值，最小者为函数yf(x)在闭区间a,b上的最小值.3. 最值与极值的区别与联系 函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得岀的(具有绝对性)，是整个定义域上的整体性概念.最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的(具有相对性)，是局部的概念； 极值可以有多个，最大(小)值若存

6、在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大(小)值可能是某个极大(小)值，也可能是区间端点处的函数值； 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值要点三：函数极值与最值的简单应用1. 不等式恒成立，求参数范围问题一些含参不等式，一般形如f(x,m)0，(1) 若能隔离参数，即可化为：mg(x)(或mg(x)的形式若其恒成立，则可转化成(或)，从而转化为求函数g(x)的最值问题.(2) 若不能隔离参数，就是求含参函数f(x,m)的最小值f(x,m)min，使所以仍为求函数g(x)的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论2. 证不等式问题当所要证

7、的不等式中只含一个未知数时，一般形式为f(x)g(x)则可化为f(x)g(x)0一般设然后求，证明，即可.所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题3两曲线的交点个数问题(方程解的个数问题)一般可转化为方程f(x)g(x)的问题，即f(x)g(x)0的解的个数问题,我们可以设F(x)f(x)g(x)，然后求岀F(x)的，根据解的个数讨论与的大小关系即可.所以此类问题可转化为求函数的极值问题典型例题一一自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三.课堂笔记或者其它补充填在右栏.更多精彩内容请学习网校资源ID:#44934#404961I类型一：求函数的极值

8、例1.下列函数的极值:32x(1)f(x)x12x；(2)f(x)xe解：总结升华：.举一反三：10【变式1】讨论函数f(x)x4x32x21(xR)的单调性并求极值.3【变式2】函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图如图所示,则函数f(x)在(a，b)内的极小值有()C.3个D.4个【变式3】(2017重庆模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于()A.11或18B.11C.18D.17或18権；类型二：函数极值的逆向应用例2.已知函数f（x）ax3bx2ex在点x0处取得极大值5,其导函数yf'（

9、x）的图象经过点（1,o），（2，0），如图所示,求：(1) Xo的值；(2) a,b,e的值。解:总结升华：举一反三：【变式】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.悔：类型三：求函数的最值32例3.求函数fXx2x1在区间-1,2上的最大值与最小值。解：总结升华：举一反三：【变式】求函数y=x42*+5在区间一22上的最大值与最小值。例4.求函数f(x)x42x23,x-3,2的最值.解：总结升华：举一反三:12【变式】求函数f(x)In(1X)X,x0,2的最值.4la：类型四：极值与最值的应用一一证明不等式x2例5.求证：当x>0时，In(1

10、x)X2解:总结升华：.举一反三：2x【变式】求证：当x>0时，In(lx)x.2I:类型五：极值与最值的应用一一不等式恒成立，求参数范围问题。例6.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x>0,都有f(x)a成立，求实数a的取值范围.解：总结升华：.举一反三：【变式1】(2014辽宁)当x-2，1时，不等式ax3-x2+4x+3>0恒成立，_则实数a的取值范围是()9A.-5，-3B.-6，-8C.-6，-2D.-4，-3【变式2】已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，+®)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x=3是f(x)的

11、极值点，求f(X)在x1，a上的最小值和最大值.1口；类型六：极值与最值的应用-两曲线的交点个数问题(方程解的个数问题)3例7.已知函数f(x)x3ax1,a0若f(x)在x1处取得极值，直线y=m与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解:自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流.我的收获习题整理题目或题目岀处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录.知识导学：导数的应用二-函数的极值（理）（ID:#404961）高清视频：函数的极值与最值（ID:#370875）若想知道北京四中的同学们在学什么