高中数学圆锥曲线的光学性质

1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思与整理，写成此文。一、圆锥曲线的光学性质11椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（见1.1)9椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热.12双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线

2、反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（见1.2)双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用13抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对,B图1.1称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发

3、射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的要探究圆锥曲线的光学性质，首图先1必.2须将这样一个光学图实1.3际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明21圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线c交于P,Q两点，当直线l连续变动时，P,Q两点沿xvbtv1vrw着曲线渐渐靠近，一直到P,Q重合为一点M，此时直线l称为曲线c在点MiwwIurur1-处的切线，过M与直

4、线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2圆锥曲线光学性质的证明x2y2预备定理1若点p（xo,y。）是椭圆a2+半=1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：XX+骑=1。a2b2y21x2x2证明：由b21a=y2二b2(ia)1°当xH±a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k二y'IX二X02b2对式求导：2yy=石x0k二y'IX=X0-b2X0a2y0.切线方程为yy0-b2Xo(x-x)a2y00X2点P(X0,y0)在椭圆a+=1上，XXyy故a2+話=1代入得+br=1而当X=

5、77;a时，y0=0切线方程为X=±a，也满足式XXyy故百+肃=1是椭圆过点p(x0,人)的切线方程.预备定理2.若点P(x0,y0)是双曲线02-音=1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：y2X2X21°当XH±a时，过点p的切线斜率k一定存在，且k=y'1x=x0b2X0证明：由药=a-1-y2=b2(a-1)X=X0a2y0对式求导：2yy'=竺x.k=y'|a20b2x切线方程为y-y0=-曲(x-x0)0a2y00x2y2点p(,y)在双曲线a-b=1上，x2y2xxyy故a2-比=代入得7°T-b2-而当x=

6、77;a时，y0二°切线方程为x=±a，也满足式xxyy故亠-菩二1是双曲线过点P(x,y)的切线方程.a2b200证明：由y2=2px预备定理3若点P(x°，y°)是抛物线y2二2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是y°y=p(x+x°)，对x求导得：2yy'二2pnk二y'I二x=xn当y丰°时，切线方程为y-y=匕(x-x)0y00即yy-y2=px-px000y02=2px0ny0y=p(x+x0)而当y=0,x=0时，切线方程为x=0也满足式000故抛物线在该点的切线方程是y0y=p(x+x0)

7、.定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分图2.1)椭圆C的方程为乂+22=1，F,F分别是其左、右焦点，l是过a2b212椭圆上一点P(x,y)的切线l'为垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴于D00设ZFPD=a,ZFPD=P，21求证：a=卩图2.1线，证法一：在C:乂+22=1上，a2b2P(x,y)gC，00则过点P的切线方程为：注+寻=1a2b2l'是通过点P且与切线i垂直的法则1':(o)x_(-)=xy(_)b2a200b2a2法线1'与x轴交于D(c)2x,0)a0丨FD1=x+c,lFD1=c_x1a202a20 |F

8、D|i=o|FD|a2_cx20又由焦半径公式得：IPF1=a+ex,1PF1=a_ex1020 |FD|PF|i=iIFDIIPFI22 PD是ZFPF的平分线12 a=Ba+a，=90。=卩+卩，故可得a=poa，=B，证法二由证法一得切线1的斜率k=y'I=如，而PF的斜率k=丄,Fx=x0a2y11x+c200的斜率k=-22x_c01到PF所成的角a'满足1yb2x0+0k_kx+ca2ya2y2+b2x2+b2cxtana=i=0=o001+kkb2xy(a2_b2)xy+a2cy11_-0000(x+c)a2y00P(x,y)在椭圆C:匚+兰=1上00a2b2b2

9、tana=一cy0同理，PF到1所成的角0'满足tanB=匕=竺21+kkcy20 tana'=tan0'而a；卩'e(0,£) a'=0'证法三：如图，作点F，使点F与F关于切线l对称，连结F,F交椭圆C于33213点P'下面只需证明点P与P'重合即可方面，点p是切线l与椭圆C的唯一交点，则IPFI+IPFI二2a，是l上的点12到两焦点距离之和的最小值（这是因为l上的其它点均在椭圆外）另一方面，在直线l上任取另一点p''丁IP'FI+IP'FI=IP'FI+IP'FI=

10、IFFI<IP''FI+IP''FI12131312即P'也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P'重合即a=卩而得证定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；已知：如图，双曲线c的方程为乂-21=1,f,F分别是其左、右焦点，l是a2b21200求证：a=0证明：C:兰-兰=1a2b212图2.2过双曲线C上的一点p（x,y）的切线，交x轴于点D,设ZFPD二a,ZFPD=0两焦点为F(-c,0),F(c,0)(c2=a2+b2)12P(x,y)在双曲线上00则过点p的切线翠-寻=1a

11、2b2切线l与x轴交于D（巴,0）。x0由双曲线的焦半径公式得ccIPFI=I-x+aI,IPFI=I-x-aI1a02a0双曲线的两焦点坐标为f(c,0),F'(-c,0)故|DF|=|±|£x+a1,1DF1=1II-x-al,|PFH1xa02xa0|PF|002I-x+aIa0Ix-aIa0IDFI1IDFI211故a=Boa'=B'切线l为ZFPF'之角分线。定理3拋物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线C的方程为为y2=4cx，拋物线在点P处法线平分(图2.3)。直线/是过抛物线上一点P(x,y)的切线，00

12、交x轴于D，ZDPF=a,ZPDF=y，反射线PQ与/所成角记为B，求证：a=B证明：如图，抛物线C的方程为C:y2=4cx，在该拋物线上，00则过点P的切线为yy=p(x+x)00切线l与x轴交于D(-x,0)0焦点为F(c,0),B=y(同位角)TIPFI=(x-c)2+y2=Ix+cI,IDFI=Ix+cI¥0000'IPFI=IDFIa=Ba=y通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？三、圆锥曲线的光学性质的应用31解决入射与反射问例1.设拋物线C:y2二x,光线从点A(5,2)射出，平行C的对称轴，射

13、在c上的P点，经过反射后，又射到c上的Q点，则P点的坐标为Q点的坐标为解：如图，直线ap平行于对称轴且A(5,2),则P点的坐标为(4,2)反射线PQ过点F(,0)4设Q(t2,t)，则宀=吕=512-4-1544图3.解得：t一例2.已知椭圆方程为兰+22=1,若有光束自焦点2516点为B,C，如3.1.2所示，则ABC的周长A(3,0)射出,经二次反射回到A点,设二次反射图3.2解：椭圆方程为§+2=1中，c2=25-16=9A(3,0)为该椭圆的一个焦点自A(3,0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点a，(-3,故ABC的周长为AB+BA'+A'C

14、+CA二4a二4x5二20例3双曲线y-?=1，又AeC，已知A4,图3.1.32方),F(4,0)，若由F射至A的光线被双曲线c反射，反射光通过P(8,k),则k解：入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点F'(-4,0)土二辽nk二3迈12832解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下,光线在传播过程中,总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论,但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向,从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明,这种“经验、感觉”

15、依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章,深受启发,并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。例4.已知椭圆C：§+于=1图3.2.2图3.2.1P是C上的动点，求IMF'+IMQI的取值范围。,片、F2为分别是其左右焦点，点Q(2,1),一）分析猜想：（1）经计算，Q（2,2）点在椭圆内，由于椭圆是封闭图形，因此|MF1|+|MQ|应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根据光线的“最近传播法则，”结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（

16、如图3.21，光线从片-P1tQ）,二是被下半椭圆反射（如图322，光线从F1tP2tF2tQ）,究竟哪种情况距离之和更小呢？显然根据椭圆定义，图321中的|片片|+卫|<23（2玄为椭圆长轴长），而图3.2.2中的尸2片|+尸2|>23，可见图3.21所示的情况距离之和更小。但是,最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？将图321和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.23，由于|P2Q|+|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值4a（a为椭圆长半轴长），而IPgl+IPfl由前面知最小，由此猜测|P2Q|+|P2F1|可能就是最大值。（二）证明|片片|+尸2

17、|是最小值。如图3.2.2，连接QF2，延长交椭圆于P2，在椭圆上另取一点p，由222椭圆定义知：|P2Q|-|QF2|+|PF1|=|pF1|+|pF2|（*）,因为|pF2|2|Q|-|QF2|，代入（*）式得|P2Q|-|QF2|+|P；F1|2|pF1|+|Q|-|QF2|所以,|P2Q|+|P2F1|P；F1|+|p，Q|。猜想得证。''（三）计算：综上所述，只需求出|FQ1=J(4-2)2+42=210可得最小值为2a-1fjQ1=10-2J1017最大值为2a+1F2Q1=10+2丽例5已知双曲线C:x2-兰=1,片、为分别是其左右焦点点Q（4,?）,32M是C上

18、的动点，求|MF2|+|MQ|的取值范分析猜想：经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然|MF2|+|MQ|可以无限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范键是求出|MF2|+|MQI的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从F1射出经双曲线反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从F1射出被双曲线反射后经过点Q的光线：连接F1Q，与双曲线的交点即为使得|MF2|+|MQ|最小的点，设为P点，光线从F2-PtQ。（见2）（二）证明：如图2:按猜想作出点P，由于

19、所求点P显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点p，由双Fi|-|P反|，即|PFp'曲线定义知：|PF1卜|PF2|=为|PF1|+|PQ|p<Q|+|pF；两边同加|PF+F2I=|PFi|+|PF,得：所以|PF1|+|PQ|+|PF2|-52OF-2-4图3.2.5P'5P'Q|+|P'Fi|+|PF2|=|P'Q|+|PFi|+|p，F?|，故IPQI+IPF?#|p，Q|+|p，F2|，猜想得证。(三)计算：由题意知9邙-2,0),Q(4，mlPQI+IPF1=1FQI-1FPI+IPFI2112=IFQI

20、(IFPI-1PFI)112=IFQI2A1=11T例6已知拋物线C:y2二4X,F是其焦点，点Q(2,1),M是C上的动点，求|MF|+|MQ|的取值范OO分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见图3.2.6）可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF|+|PQ底333圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲