离散傅里叶变换(DFT)试题汇总

1、第一章离散傅里叶变换(DFT)3.1填空题某序列的DFT表达式为X(k)二*如)匕，由此可以看出该序列时域的长n=0度为，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是.解：N；2)，由此可看出，该序列的时域长度某序列DFT的表达式是X(l)=丈x(k)WM'k=0是，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是。解：n2"M(3)如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件解：纯实数、偶对称(4)线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H(z)=8(z2-z-1)2z2+5z+2则系统的极点为；系统的稳定性为。系统单位冲激响应h(n)的初值为；终值h(乂)。解：

2、z1=-扌,z2=-2；不稳定；h(0)=4；不存在(5)采样频率为FsHz的数字系统中，系统函数表达式中z-1代表的物理意义是一，其中时域数字s序列x(n)的序号n代表的样值实际位置是；x(n)的N点DFTX(k)中，序号k代表的样值实际位置又是。if2兀解：延时一个采样周期T=1/F，nT=nF，®k=Nk则xn和(6)已知xn=£,2,3,2,1;k=0,1,2,3,4hn=£,0,1,-1,0;k=0,1,2,3,4)灿n的5点循环卷积为。解：xk®hk=xk备k+8k-2-5k-3=xk+x(k-2)-x(k-3)=£,1,3,3,2

3、;k=0,1,2,3,4557)已知xn=£,2,0,2;k=0,1,2,3hn=4,-2,1,-1;k=0,1,2,3则xn和hn4点循环卷积为h0h3h2h1h0h3h2h1h0h3h2h1解：h1-x0h2x1h3x2h0x34-21-1-14-211-14-2（8）从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（）；从频域角度看是（）。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断3.2选择题1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过即可完全不失真恢复原信号（）A.理想低通滤波器B.理想高通滤波器C.

4、理想带通滤波器D.理想带阻滤波器解：A2下列对离散傅里叶变换（DFT）的性质论述中错误的是（）A. DFT是一种线性变换B. DFT具有隐含周期性C. DFT可以看作是序列z变换在单位圆上的抽样D. 利用DFT可以对连续信号频谱进行精确分析解：D3序列x(n)=R«n),其8点DFT记为X(k),k=0,l,.,7,则X(0)为()。A.2B.3C.4D.5解：D4已知x(n)=5(n),N点的DFTx(n)=X(k)，贝VX(5)=()。A.NB.1C.0D.-N解：B5已知x(n)=1,其N点的DFTx(n)=X(k),则X(0)=()D.-NA.NB.1C.0解：A6.有限长序

5、列x（n）的DFT为X（k），则x（n）可表达为：A.C.X*(k)W-nk*NNk=0k=0nk*N1N-1B乙X(k)W-nk*B.NNk=01NN-1D.NNk=0解：C7离散序列x(n)满足x(n)=x(N-n)；贝康频域序列X(k)有：AX(k)=-X(k)B.X(k)=X*(k)D.X(k)=X(N-k)C.X(k)=X*(-k)解：D8已知N点有限长序列X(k)=DFTx(n),OWn,k<N,则N点DFT:Wnnlx(n)=()A.X(k+1)R(k)B.X(kl)R(k)NNNND.WkmNC.WkmN解：B9有限长序列x(n)二x(n)+x(n)0<n<N

6、1,e：A.x(n)+x(n)epopC.x(n)x(n)epop解：CepopB.x(n)+x(Nn)epopD.x(n)x(Nn)epop则x*(Nn)=10.已知x(n)是实序列，x(n)的4点DFT为X(k)=l,-j,-lj.则X(4-k)为()A.1，-j，-1，jB.l，j，-l，-jD.-l，j，l，-jC.j，-l，-j，l解：B11.X(k)=Xr(k)+jXi(k),0<k<N一1，则iDFTXR；k)是x(n)的()。A.共轭对称分量B.共轭反对称分量C.偶对称分量D.奇对称分量解：A12.DFT的物理意义是：一个的离散序列x(n)的离散付氏变换X(k)为x

7、(n)的付氏变换X(e妙)在区间0,2n上的。A.收敛；等间隔采样B.N点有限长；N点等间隔采样C.N点有限长；取值C.无限长；N点等间隔采样解：B13用DFT对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采样的点数N,即，分辨率越高。A.N越大B.N越小C.N=32D.N=64解：A14.对x1(n)(0WnWN1-1)和x2(n)(0WnWN2-1)进行8点的圆周卷积，其中_的结果不等于线性卷积。()A.N1=3，N2=4B.N1=5，N2=4C.N1=4，N2=4D.N1=5，N2=5解：D15对5点有限长序列13052进行向左2点圆周移位后得到序列(A13052B52130C05

8、213D00130解：C16对5点有限长序列13052进行向右1点圆周移位后得到序列(A.13052B.21305C.30521D.30520解：B17.序列x(n)长度为M，当频率采样点数N<M时，由频率采样X(k)恢复原序列x(n)时会产生()现象。A.频谱泄露B.时域混叠C.频谱混叠C.谱间干扰解：B18.如何将无限长序列和有限长序列进行线性卷积()。A.直接使用线性卷积计算B.使用FFT计算C.使用循环卷积直接计算D.采用分段卷积，可采用重叠相加法解：D19.以下现象中()不属于截断效应。A.频谱泄露B.谱间干扰C.时域混叠D.吉布斯(Gibbs)效应解：C20.若序列的长度为M

9、，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是()A.N>MB.N<MC.N<2MD.N>2M21.一个理想采样系统，解：A采样频率Qs=10：，采样后经低通G(j0)还原，15|。|<5:0阿>5:；设输入信号：x(t)=cos6：t，则它的输出信号y(t)为：()B.y(t)二cos4兀t；D.无法确定。A.y(t)=cos6：t；c.y(t)=cos6：t+cos4:t；解：B22.一个理想采样系统，采样频率0s=8兀,“弋畫4：采样后经低通G(jQ)还原,；现有两输入信号：x1(t)=cos2：tx2(

10、t)=cos7兀t，贝y它们相应的输出信号y1(t)和y2(t)：B.y1(t)有失真，y2(t)无失真;A.y1(t)和y2(t)都有失真；C.y1(t)和y2(t)都无失真；D.y1(t)无失真，y2(t)有失真。解：D23.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为fs,信号最高截止频率为fc,则折叠频率为()。A.fsB.fcC.fc/2D.fs/2解：D24在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期Ts与信号最高截止频率fh应满足关系()。A.Ts>2/fhB.Ts>1/fhC.Ts<1/fhD.Ts<1/(2fh)解：D25.设某连续信号

11、的最高频率为5kHz,采样后为了不失真的恢复该连续信号，要求采样频率至少为Hz。()A.5kB.10kC.2.5kD.1.25k解：B26如果使用5kHz的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的最高频率为Hz。()A.2.5kB.10kC.5kD.1.25k解：A27.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条()。(I)原信号为带限(II)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率(III)抽样信号通过理想低通滤波器A.I、IIB.II、IIIC.I、ID.I、I、I解：D3.3问答题(1) 解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？答：如果采样频率过低，

12、再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。(2) 在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故称之为“平滑”滤波器。(3) 用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？答：混叠失

13、真；截断效应(频谱泄漏)；栅栏效应(4) 画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。答：框图如下所示第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号(5) “一个信号不可能既是时间有限信号，又是频带有限信号”是信号分析中的常识之一，试论述之答：由傅里叶变换的尺度变换特性可知1wf(at)<F(j-)aa信号在时域和频域中尺度的变化成反比关系，即在时域中带宽越宽，在频域中带宽越窄；反之，在时域中带宽越窄，在频域中带宽越宽。所以不可能出现在

14、时域和频域都为无限宽或者有限宽的信号。(6) 试述用DFT计算离散线性卷积的方法。答：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT,并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。(7) 已知X(k)、Y(k)是两个N点实序列x(n)、y(n)的DFT值，今需要从X(k)、Y(k)求x(n)、y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意x(n)°X(k),y(n)OY(k)取序列Z(k)=X(k)+jY(k)对z(k)作n点IFFT可得序列Z(n)o又根据DFT性质IDFTX(k)+j

15、Y(k)二IDFTX(k)+jIDFTY(k)二x(n)+jy(n)由原题可知，x(n),y(n)都是实序列。再根据z(n)=x(n)+jy(n)，可得x(n)=Rez(n)y(n)=Imz(n)(8)设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为多少？解：由线性相位系统零点的特性可知，z=1的零点可单独出现，z=°-8的零点需成对出现，即=2z=1.25也是其零点之一，z1+j的零点需4个1组，其它三个z1一j,_1+j_1jz_-z_亍，所以系统至少为7阶。3.4计算题1)1.计算下列序列的N点DFTx(n)_8(n)2)x(n

16、)_8(nn)0<n<N00(3)x(n)an,0<n<N14)x(n)cos(2兀Anm,0<n<N,0<n<N,0<m<NVN丿5)x(n)_u(n)u(nn),0<n<N006)x(n)=(2兀)cos2nIN丿解：(1)X()_艺8(n)Wnk_8(0)1,0<k<N1Nn02)(nn)R(n)Wnk_Wn0k,0<k<N1N0NNn03)X(k)-迟anWnkNn_01aNWNkN1aWkN(4)x(k)_scos(2Nn0mnw_2迟沁mnn_0+e-j血mn)ej加nk+eN)eN(A

17、11ej2k(km)1ej2k(k+m)I+1。-jf-m)1。严C+m)V1eN1eN丿(1eje(m)ej兀«m)。一jN+1(k-mbeJnojf-m)-j(km)VeJneJn、z，-jN+1(k+mkeJn-j工«+m)eNej&+m)e+m)+<工(k+m)eN-牛-mk1sin(ksin(k-+导气生e-令+mksink+m加/N丿N,k=m或k=-m20,其它X(k)=Siu(n)_u(_n)Wnk0Nn=0=Wnk=Nn=01-Wkn0N1-WkNW-kCn-1)/2-WkCn-1)/2=WkCn0-1)/2以_丄NW_k/2_Wk/2NN&

18、quot;Cl)=12冗2冗214冗4冗4+-n.j-/nen+en4+-niCij-/nen+2+en442+4W-2N1W-(N-2)nN4Ne_-%2N)嚨解"I昊ej命2需代(N-2)nx(n)=S-1X(W-knN对照DFT逆变换公式N2K=0(9-N，2得到X(k)=<N,k=2或k=N20,其它2.令x(n)和X(ej)表示一个序列及其傅立叶变换，利用X(ej)表示下面各序列的傅立叶变换。(1)g(n)=x(2n)2)n为偶数n为奇数EyV-g(n)e-jnw=x(2n)e-jnw=x(k)e-j2wn=gn=-gk=sk为偶数=区丄lx(k)+(1)kx(k)!

19、-j2w2k=s=1另x(k)ejk2+1另x(k)(ejK)ejk222k=gk=g=1X(eJ2)+-区x(k)ejk(2K)22k=-g1 .w1./W、=X(ej2)+Xej(2")2 2=1=2.w.wX(ej2)+X(ej2)(2)G(ejw)=无g(n)ejnw=艺g(2r)e-j2rw=艺x(r)e-jr2w=X(ej2w)n=gr=gr=gr=g3.对有限长序列x(n)=,0,1,1,0,1的Z变换X(z)在单位圆上进行5等份取样，得到取样值X(k),X(k)=X(z)解：z=W一k'k=0,1,2,3,4，求X(k)的逆傅里叶变换x1(n)。X(z)=x(

20、n)z«=1+z2+z3+z-5n=0X(k)=X(z)z=W5k=1+W2+W3+W5=2+W2+W355555=x(l)Wkn15n=0X(n)=b,0,1,1,04.设x(n)=38(n)+28(n一2)+48(n一3)求x(n)的4点DFT。若y(l)是x(n)与h(n)=8(n)+58(n-1)+8(n-3)的4点循环卷积，求yC)及其4点DFT。1)2)解：(1)X(k)=x(n)Wnk=3+2W2k+4W3k444n=0(2)H(k)=工h(nWnk=1+5Wk+4W3k444n=0Y(k)=X(k)H(k)=(33+2W2k+4W3k)1(+5Wk+4W3k)4444

21、=3+2W2k+4W3k+15Wk+10W3k+20W4k+12W3k+8W5k+16W6k44444444=3+2W2k+4W3k+15Wk+10W3k+20+12W3k+8Wk+16W2k4444444=23+23Wk+18W2k+26W3k444由上式得到y(n)=235(n)+235(n-1)+185(n2)+265(n3)5.已知x(n)=5(n)+35(n1)+35(n2)+25(n3)h(n)=5(n)+5(n1)+5(n2)+5(n3)求x(n)与h(n)的5点循环卷积v(n)解：取Z变换可得X()=工x(nWnk=1+3Wk+3W2k+2W3k5555n=0H()=工h(n&

22、gt;¥nk=1+Wk+W2k+W3k5555n=0由卷积定理可知v(n)=x(n)*h(n)<dft>V(k)=X(k)H(k)V(k)=H(k)X(k)=1+3Wk+3W2k+2W3k+Wk+3W2k+3W3k+2W4k5555555+W2k+3W3k+3W4k+2W5k+W3k+3W4k+3W5k+2W6k55555555=1+4Wk+7W2k+9W3k+8W4k+5W5k+2W6k555555=6+6Wk+7W2k+9W3k+8W4k5555由上式得到v(n)=65(n)+65(n1)+75(n2)+95(n3)+85(n4)6.已知序列x(n)=25(n)+5(

23、n1)+5(n3)的5点dft为X(k)，求Y(k)=X2(k)的dft逆变换解：对x(n)进行傅里叶变换得X()=£x(nWnk=2+Wk+W3k555n=0Y(k)=X2(k)=4+2Wk+2W3k+2Wk+W2k+W4k+2W3k+W4k+W6k55555555=4+5Wk+W2k+4W3k+2W4k5555由上式进行逆变换得v(n)=48(n)+58(n1)+8(n2)+48(n3)+28(n4)7.已知一个有限长序列x(n)=8(n)+28(n5)求它的10点离散傅里叶变换X(k)。已知序列y(n)的10点离散傅里叶变换为Y(k)=W1JkX(k)，求序列y(n)。已知序列

24、m(n)的10点离散傅里叶变换为M(k)=X(k)y(k)，求序列m(n)1)2)3)解：(1)对x(n)取傅里叶变换得X()=Sx(nWnk-£ls(n)+28(n-5)WnkN10n=0n=0=1+2W5k=1+2e一j10551+2(1),k=0,1,910由Y(k)=(k)可以知道，y(n)是x(n)向右循环移位2的结果，即y(n)=x(n2)=8(n2)+28(n7)x的10点循环卷积。(3)由M(k)=X(k)Y(k)可以知道m的线性卷积一种方法是先计算xu(n)=x(n)*y(n)=兰xG)y(n一l)=4),0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4)l=-g然后

25、由下式得到10点循环卷积(n)=£u(n10l)R(n)=j,0,5,0,0,0,0,4,0,0)10=5乂2)+48(n7)另一种方法是先计算y()的io点离散傅里叶变换Y()=£y(nWnk=£kC2)+28(n7加必W2k+2W7kN101010n=0n=0再计算乘积M(k)=X(k)Y(k)=(1+2W5k)W(2k2W7k)101010=W2k+2W7k+2W7k+4W12k=5W2k+4W7k101010101010由上式得到m(n)=58(n一2)+48(n一7)(1)(2)8.若长为N的有限长序列x(n)是矩形序列x(n)=Rn。求x(n)白(Z变

26、换，并画出其极零点的分布图。求频谱X、加丿，并画出幅度X的函数曲线。(3)求x(n)的DFT的闭式表示，并与$加丿对照。解:(1)x(z)=无R(n)z-n=£zn丿Nn=8n=0=1-Z-N=ZN厂1、1-Z-1ZN-1(z-1)H(z-W-k)H(zW-k)HN'Zn-1(z-1)ZN-1、z-ejNk丿ZN-12兀/k极点：z0=0(N-1阶)；零点：Zpk=eN，k=1,2,N-1图(a)是极零点分布图.N.ej2-e.Ne一j2x(jw)=X(z)|(N)sinw丿12丿.N.-/w2z=ejw1e-jw、.-w.-wej2-e一j2sm.N-1e一j27e2w图(

27、b)所示的是频谱幅度lX(e/«)的函数曲线。1-JWNk1ej2兀=N=(jJIro=2XkN可见，nkN1-Wk3kN1-e-jNkX(k)=匸Rn(nn=0=还k(k=0,1,N-1!上的取样值N9.已知序列x(n)=48(n)-35(n-1)+28(n-2)+8(n-3)和它的6点离散傅里叶变换x(k)(1)若有限长序列y(n)(2)U(k)_Relx(k)(3)求v(n)若有限长序列u(n)，求u(n)。若有限长序列v(n)的3点离散傅里叶变换V(k)=x(2k)k=(0丄2),解：(1)2)由Y(k)=W64kX(k)知，y()是x(n)向右循环移位4的结果，即6y(n)

28、=x(n-4)=48(n-4)+38(n-5)+28(n)+8(n-1)6X(k)=fI48(n)+38(n-1)+28(n-2)+8(n-3)Wn6n=0=4+3Wk+2W2k+W3k666X*(k)=4+3W-k+2W-2k+W-3k666RelxQL1lx()+X*(2=1L+3Wk+2W2k+W3k+4+3W-k+2W-2k+W-3k2666666+3Wk+2W2k+W3k+3W5k+2W4k+W3k2666666+3Wk+2W2k+2W3k+2W4k+3W5k266666由上式得到u(n)=48(n)+8(n-1)+8(n-2)+8(n-3)+8(n-4)+8(n-5)223)由于所

29、以10.(1)(2)(3)X(2k)=£x(n)W2nk=£x(n)Wnk=£x(n)Wnk+£x(n)Wnk363n=0n=0n=0=£x(n)Wnk+£2x(n+3)Wk(n+3)n=0=£x(n)Wnk3n=0n=3n=0+W3k£x(n+3Wnk33n=0=£lx(n)+x(n+3)Wn,k=0,1,23n=0V(k)=£v(nWnk=X(2k)=£x(n)+x(n+3)Wn,k=0,1,233n=0n=0v(n)=x(n)+x(n-3),n=0,1,2v(0)=x(0)+x(

30、3)=5v(1)=x(1)+x(4)=3v(2)=x(2)+x(5)=2v(n)=58(n)+38(n-1)+28(n-2)设x(n)是长为N的序列，X(z)是它的Z转换。用x(n)构成下列3个长为2N的序列fx(n),0<n<N1x(n)=<10,N<n<2N-1x2(n)=x(n)-x(n-N)x3(n)=x(-),n为偶数0,n为奇数用X(z)的取样表示每个序列的2N点DFT.解：(1)因为X1(k)=111n=0吒'x(nWnk=£x(nWnk=£x(nW2N2Nn=0n=0kn2N=£N-1x(n)en=0.2k-j

31、nN2=£N-1x(n)(en=0-j比k)2N)-n2兀X(k)=X(e-j2Nk)1所以即X(k)等于在单位圆上等间隔的2N点上对X(Z)的取样值。2)X2(k)=艺,(nWnk=£IxCn)-x(n-N)Wn2N2n=02Nn=0=£x(nW；nNn=0因为x(n)的Z变换是X(z)，-込x(n-NW2nNn=0x(nN)的Z变换是z-nX(z)，所以迟x(nW2n二迟x(n衆Nn=0n=0.2兀k.2兀J2N2)-n=X(eJ2Nk)迟x(n-NW2nNn=0(eJ2Nk)-nX(eJ力)=(1)kX(cJ力)最后得到2X(eJlNk),k为偶数0,k为奇

32、数3)因X(z)=2£1x(n丄-n=£x(2r丄-2r=£x(r丄-2rX(2)33n=03r=0r=0所以.2k=X(eJ2n3.2k)=X(eJNk),k=0,l,.,2N-11Nn=0X(k)=2£(nWnk332Nn=0这意味着X3(k)是由两个X(k)衔接起来得到的。11、设hC)是一个N=8并关于n=3.5对称的序列。hC)是hC)的4点循环移位序列，即(n)=h(n-4)R(n)(1) 求h1()的DFT与h2(n)的DFT之间的关系。(2) 由hi(n)和h2(n)各构成一个FRI数字滤波器，试问它们是线性相关数字滤波器吗？为什么？如果

33、是，时延是多少？(3) 如果h1()对应于一个截止频率为n/2的低通滤波器，那么h2(n)也对应于一个截止频率为n/2的低通滤波器吗？为什么？解(1)因为hC)=h(N-1-n)和h2(n)=叫(N-1-N),所以当N=8时，有«)=£h(nhnk=£h(n)e-J:nk+工h(n)e-J:nk11=工h(n丄-J曽nk1+工h(7n)e-J亍nk1n=0n=4n=0n=4由于所以=h(n)1n=ke-j2Tnk+ejP讥2冗2冗e-j8nk+e-j8(7-n)kH(k)=工h(n丿22n=0h(n)=h(3-n)，n=0,1,2,312e-j2Tnk+ej2T(

34、n+1)ke-j2T(3-n)k+ej2T(4-n)k()=工h(3-n2n=0e十+1)k+e-j2Tnk=e-j冗kH(k)2=e-j2T4k工h(n2n=0由上式得|H(k)=|H(k)和6(k)=6(k)-兀(1)因为h1(n)和h2(n)都具有对称性，所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为n=(N-1)/2=3.5(2)由(1)的结果知道，h10和h2O的幅度响应相等，所以可以认为h2O也是一个截止频率为n/2的低通滤波器。12、某系统由两个LTI子系统并联而成，其中一个子系统的单位脉冲响应为件()=(3)nu(n)，并联后系统的频率响应为H(ej®)=-12+5e-j®12-7e-j®+e-j2®(1)求另一个子系统的单位脉冲响应h2(n)。假设系统的输入为x(n)=(2)nu(n)，用频域分析法分别求两个子系统的输出y1(n)和y2(n)。3) 在相同输入的情况下，求并联系统的输出y(n)。4) 写出并联系统联系输入和输出的差分方程，并画出模拟框图。解：(1)因为H1(ej®)=1，且h1(n)