第11章 选择权价格及其上下限

1、1第十一章第十一章 2買權的到期收益買權的到期收益 w 對買權來說，當標的資產在到期日其價格高於買權合約上所載明的履約價格時，買權在到期日的價值即為二者之差；而當標的資產在到期日的價格是低於或等於履約價格時，則買權價格為零。以數學式說明，假設以ST代表標的資產在選擇權到期日的價格，K為履約價格，則買權的履約價值(CT)為 KSKSKSCTTTT當當03買權到期價值 買入買權KS圖11-1：買權到期價值4賣權的到期收益賣權的到期收益w 賣權則與買權相反，當標的資產在到期日其價格高於或等於賣權合約上所載明的履約價格時，賣權在到期日的價值即為零；而當標的資產在到期日的價格是低於或等於履約價格時，賣權

2、價格即為二者之差。即： TTTTSKSKSKP當當05賣權到期價值 S買入賣權圖11-2：賣權到期價值K6影響選擇權價值的因素影響選擇權價值的因素 w 選擇權的市場價值或買方所支付的權利金(Premium)，其在任何時點的價值(尤其是美式選擇權)可以拆成兩部分，一為履約價值，另一為時間價值(Time Value) 。 :買權的市場價值 :買權的時間價值 :賣權的市場價值 :賣權的時間價值 tcttTVKSC),0max(tpttTVSKP),0max(tCtPctTVptTV7影響選擇權價值的因素影響選擇權價值的因素w 理論上，當離到期日愈遠，投資人等待獲利的時間愈長，因此時間價值也愈高；同理

3、，隨著距到期日愈來愈近，投資人等待獲利的時間愈來愈少，時間價值愈低，當到期時(或買方履約時)，時間價值將等於零，此時履約價值就等於市場價值。 w 選擇權的價值受此二部分(履約價值和時間價值)的影響，因此任何因素影響此二部分者，必影響選擇權的市場價值。一般而言，選擇權市場價值主要受下面五個因素影響。8:買權的市場價值:賣權的市場價值:標的資產的價格:選擇權履約價格 :標的資產的價格波動性:選擇權之有效期間:無風險利率)(2rTKSfC，)(2rTKSfP，CPSK2Tr9影響選擇權價值的因素影響選擇權價值的因素w 標的資產的價格： 買權對買方而言，當標的資產價格高過履約 價格愈多，投資人愈有誘因

4、去履行契約，亦 即履約價值越大，所以選擇權的價值也因此 提高；相反地，就賣權而言，因此一旦標的 資產價格愈高，其履約價值將越小，所以賣 權的價值自然也會較小。w 選擇權履約價格： 當履約價格增加，標的資產價格超過履約價 格的可能性降低，亦即履約價值越小，所以 買權的價值也會較小，因此賣權的價值增加。10w 標的資產的價格波動度： 當標資產的價格波動度增加，代表標的資產 價格高過履約價格的可能性高愈高，買權的 價值會增加。對賣權而言，標的資產價格波 動度增加，當價格上漲，賣權價值會下降， 但至多降到零，而若標的資產價格下跌則賣 權價值會上漲，最多可達到履約價格，以正 向的獲利潛力較大，故標的資產

5、價格波動愈 大，賣權價值愈高。w 選擇權的有效期間： 權利期間愈長，隱含著標的資產波動的可能 幅度愈大， 選擇權價值愈高。 11w 無風險利率： 無風險利率的影響主要是在折現的部份。由 於買權是約定買方能在特定期間內以履約價 格K買進標的資產。當無風險利率上升時， 意謂者折現率的升高，履約價格K的現值減 少，購買標的資產的成本降低，因此買權的 價值會上漲，賣權的價值會下跌。w 股利(D) ： 當股利發放時，持有買權者在未履約下，並 無法獲得股利，但股利的發放卻會使得股票 價格下跌，使買權價值下跌。而賣權價值增 加，因此股利與賣權價值是呈正向關係。 12買權的價格上下限 w 買權是以特定價格買入

6、標的資產，因此買權的價格必會小於等於標的資產價格，至於買權的下限，由於買權在未到期或未被履約時存在著時間價值，因此理論上，買權的價格至少是等於到期收益部分。由於買權是屬於有限責任負債(Limited liability)性質的資產，故其價值最低只能為零，故其下限值應為), 0(rTKeSMaxCS13賣權的價格上下限C=S-Ke-rTK買權價值(C)SCC=S14賣權的價格上下限w 賣權的持有者有權以履約價格(K)賣出標的資產，因此賣權的價格必小於或等於履約價格。至於賣權的下限，當在價內時，賣權未到期或未被履約時亦存在著時間價值的部分，因此賣權的價格至少等於履約價格的折現與標的資產價格二者之差

7、。由於賣權也是屬於有限責任性質的資產，故其價值最低只能為零，綜合上述分析，賣權的價格下限應為： ), 0(SKeMaxPKrT15賣權的價格上下限P=K-SSP=KP賣權價值(P)K16w 有幾項因素會影響時間價值，首先，隨著標的資產價格上漲，買權的時間價值會逐漸變小，這主要是因為隨著標的資產價格的上升，代表著未來上漲的空間亦有限，壓縮獲利的空間，因此時間價值自然也愈小。w 其次隨著標的資產價格下跌，賣權的時間價值會逐漸變小，其所持的理由與買權類似，當價格下跌，代表未來再下跌空間有限，對賣權而言，代表獲利難有大幅增加的機會，因此時間價值也愈小；最後，隨著選擇權到期日的接近，時間價值亦會逐漸變小

8、。 17賣權買權平價定理賣權買權平價定理(Put-Call Parity) w 賣權買權平價定理是指相同標的資產、履約價格、到期日的買權與賣權必存在一特定關係，否則會產生套利的機會。有下面四種賣權買權平價定理。w 歐式賣權買權平價定理(無現金股利) w 歐式賣權買權平價定理(有現金股利) w 美式買權與賣權之關係(沒有現金股利) w 美式買權與賣權之關係(有現金股利) 18歐式賣權買權平價定理歐式賣權買權平價定理(無現金股利無現金股利) w 在不發放現金股利的情況下，假設有下面二個投資組合： 投資組合投資組合 A A： 持有一單位歐式買權以及Ke-rT的現金部位 投資組合投資組合 B B： 持

9、有一單位歐式賣權以及一單位標的股票w 其中買權與賣權的標的資產(S)、履約價格(K)、到期日(T)皆相同，表11-1為此二投資組合的期初價值與到期時投資組合的價值。 19投資組合A、B之期初、到期價值比較 期初價值到期時之投資組合價值ST KST KST = K投資組合 AC + Ke-rT(ST - K) + K= ST0 + K= KST 或 K投資組合 BP + S0 + ST= ST(K - ST) + ST= KST 或 K20歐式賣權買權平價定理歐式賣權買權平價定理(無現金股利無現金股利)w 由上表可知，由於兩投資組合所包含的是歐式選擇權，在到期日前不能履約，因此我們可以推論，此二

10、投資組合的期初價值必相等，否則會存在套利機會，也就是 w 即為沒有現金股利下的歐式賣權買權平價定理 。 SPKeCrT21歐式賣權買權平價定理歐式賣權買權平價定理(有現金股利有現金股利) w 假設現在的時點為0，選擇權到期日為T，標的股票在t時發放現金股利D元，其中0t KST KST = K投資組合 CC + Ke-rT + De-rt (ST - K) + K + Der(T-t)= ST + Der(T-t)0 + K + Der(T-t)= K+ Der(T-t)ST + Der(T-t)或 K+ Der(T-t)投資組合 EP + S0 + ST + Der(T-t)= ST + D

11、er(T-t)(K - ST) + ST+ Der(T-t)= K+ Der(T-t)ST + Der(T-t)或 K+ Der(T-t)23歐式賣權買權平價定理歐式賣權買權平價定理(有現金股利有現金股利)w 由於兩投資組合所包含的是歐式選擇權，在到期日前不能履約，因此我們可以推論，此二投資組合的期初價值必相等，否則會存在套利機會，也就是 即為有現金股利情況的歐式賣權買權平價定理。 SPKeDeCrTrt24美式買權與賣權之關係美式買權與賣權之關係(沒有現金股利沒有現金股利) w 在沒有發放現金股利的情況下，美式買權不會提前履約，因為提早履約損失時間價值，卻沒有獲得任何補償，所以美式買權價值應

12、等於歐式買權價值。w 就美式賣權而言，提前履約是有可能的，因為提前履約可提早拿到權利金，當提早拿到權利金的投資報酬大於時間價值時，投資人即有誘因提早履約，因此美式賣權的價值應大於或等於歐式賣權的價值。美式買權與賣權之關係為SKeCPrT25美式買權與賣權之關係美式買權與賣權之關係(沒有現金股利沒有現金股利)w 我們以下列二投資組合說明： 投資組合投資組合 F F： 持有一單位美式買權以及現金部位K； 投資組合投資組合 G： 持有一單位美式賣權以及一單位標的股票。 w 若美式賣權如圖11-6所示在時間時提前履約，則此二投資組合的現金流量如表11-3所示： 0T現在提前履約到期日圖11-6：提前履

13、約情況下之投資期間26投資組合F、G價值比較 w 因美式賣權提前履約，故投資組合G於時點之價值為K；投資組合F之價值為C Ker，因為買權價值必大於或等於零，所以投資組合F於時之最低價值為Ker，故投資組合F於時間的價值必大於或等於投資組合G。期初價值時間投資組合 FC KC Ker投資組合 GP S(K S) + S = K27w 由上述說明可知投資組合F之期初價值必大於或等於投資組合G，也就是下式必成立，否則會存在套利機會。 w 結合之前 式，我們可知道相同標的資產、履約價格、到期日之美式買權與賣權的關係為 PCKSSKeCPrTrTKeSPCKS28美式買權與賣權之關係美式買權與賣權之關

14、係(有現金股利有現金股利) w 我們考慮下列二投資組合： 投資組合投資組合 H H： 持有一單位美式買權、現金部位KDe-rt 投資組合投資組合 I I ： 持有一單位美式賣權、一單位標的股票w 假設現在的時點為0，選擇權到期日為T，標的股票在t時發放現金股利D元，0t t投資組合 HC + K + De-rtC + Ker + Der(-t)C + Ker + Der(-t)投資組合 IP + SKK + Der(-t)30w 不提前履約的情況下，投資組合H必大於或等於投資組合I。另外由上表可知，若美式賣權在時間時提前履約，由於美式買權在提前履約時間的價值都大於或等於零，所以無論美式賣權提前

15、履約的時間是在發放股利前或發放股利後，投資組合H在時之價值必大於或等於投資組合I，在沒有套利機會的狀況下，投資組合H之期初價值也應大於或等於投資組合I。綜合上述分析可得PCKDeSrt31美式買權與賣權之關係美式買權與賣權之關係(有現金股利有現金股利)w 發放現金股利會降低買權價值、提高賣權價值，所以 式的關係在發放現金股利的情況下仍成立。 w 最後可得標的股票在投資期間發放現金股利情況下美式買權與賣權應存在的關係為SKeCPrTrTrtKeSPCKDS32應用一：買權、賣權價格可相互換算應用一：買權、賣權價格可相互換算 w 賣權買權平價定理是一簡單又實用的公式，只要歐式買權(或歐式賣權)價格

16、已知，即可求得相同條件的歐式賣權(或歐式買權)價格。w 當美式買權(或美式賣權)的價格已知，即可求得相同條件之美式賣權(或美式買權)的合理價格範圍。 33w 【例【例11-111-1】：假設某一股票選擇權，其標的股票現在價格為NTD42，有效期間為六個月，若履約價格為NTD40，年化之無風險利率為10%，如果該股票選擇權設計成歐式買權，價格為NTD4.76，求相同條件之歐式賣權價格。 w 【解】【解】： 在本例中S = 42、r = 0.1、T=0.5、K=40、C=4.76，根據(11-11)式沒有現金股利情況下之賣權買權平價定 理 = 4.76 + 40e-0.10.5-42 = 0.81

17、 相同條件之歐式賣權價格為NTD0.81 SKeCPrT34w 【例【例11-211-2】：同例11-1之條件，如果該股票選擇權為美式買權，求相同條件之美式賣權價格合理範圍。 w 【解】【解】： 例11-1中S = 42、r = 0.1、T=0.5、K=40、C=4.76，根據(11-17)式沒有現金股利情況之買權、賣權關係 rTKeSPCKS5 . 01 . 0404276. 44042eP76. 281. 0 P35應用二：違反賣權買權平價定理，將有套應用二：違反賣權買權平價定理，將有套利機會產生利機會產生w 【例【例11-311-3】：假設例11-1之歐式買權價格為NTD4.5，歐式賣權

18、價格為NTD0.81，則是否存在套利機會？若有應如何進行套利？ w 【解】【解】： 由例11-1之計算，我們知道歐式買權價格應為 NTD4.76，因此本例的歐式買權價格相對於歐 式賣權而言低估，進行套利應買低(買權)、賣 高(賣權)。 36在期初時買進一歐式買權、賣出一歐式賣權，並放空一標的股票，則可獲得 -4.5 0.81 +42 = 38.31將NTD38.31存入銀行或無風險債券，半年後本利合為 半年後若標的股票價格高於履約價格，則買權履約，用NTD 40買一標的股票歸還；若標的股票低於履約價格，則賣權將會被履約，同樣用NTD 40買一標的股票歸還。故到期時無論標的股票價格高於或低於履約價格，均可獲得NTD 0.27 (40.27-40)而沒有任何風險。27.4081.385 . 01 . 0e37應用三：複製買權、賣權或標的資產現金應用三：複製買權、賣權或標的資產現金流量流量 w 賣權買權平價定理的等式關係，說明買權、 賣權、標的資產之間可由其中二者加上