运筹(第二章对偶与灵敏度分析)

1、2022-5-61运筹学运筹学OPERATIONS RESEARCH2022-5-62第二章第二章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论 ( Dual Linear Programming, DLP)n原问题与对偶问题原问题与对偶问题n对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质n影子价格影子价格n对偶单纯形法对偶单纯形法n灵敏度分析灵敏度分析n参数线性规划参数线性规划2022-5-631 1 对偶问题的提出对偶问题的提出1 1.1 .1 线性规划单纯形法的矩阵描述线性规划单纯形法的矩阵描述设有线性规划问题的标准形式设有线性规划问题的标准形式0.maxXbAXtsCXz),(INBA将系数矩阵表示成：

2、将系数矩阵表示成：2022-5-64初始单纯形表初始单纯形表bBNIjN初等行变换后初等行变换后b1BNIjNmyy., 1ICBC初始表中是初始表中是 I 的位置，经变换后成为的位置，经变换后成为 .1B2022-5-65其中其中),.,(21myyyY 10BCYB1BCYB则则 YNCNBCCNBNN1例：书例：书 P36 P36 例例1010，验证上述公式。，验证上述公式。 jjPBPNBN11,或;1bBb上述公式对于灵敏度分析很有帮助上述公式对于灵敏度分析很有帮助 。 记记2022-5-66例例 甲方生产计划问题：甲方生产计划问题： 能力能力 设备设备A 2 2 12 设备设备B

3、4 0 16 设备设备C 0 5 15 利润利润 2 3，各生产多少各生产多少, , 可获最大利润可获最大利润? ?1 1.2 .2 对偶问题的提出对偶问题的提出 设有原问题设有原问题 2022-5-67现在现在乙方乙方租借设备租借设备, ,甲方以何种价格将设备甲方以何种价格将设备A A、B B、C C租借给乙方比较合理？租借给乙方比较合理？ 请为其定价。请为其定价。思路思路： 就甲方而言就甲方而言， 租金收入应不低于将设备用租金收入应不低于将设备用于自己生产时的利润。于自己生产时的利润。而就乙方而言而就乙方而言，希望甲方的租金收入在满足约束的，希望甲方的租金收入在满足约束的条件下越小越好，这

4、样双方才可能达成协议。条件下越小越好，这样双方才可能达成协议。解：解： 假设假设A A、B B、C C的单位租金分别为的单位租金分别为 。321,yyy2022-5-68于是得到下述于是得到下述 的线性规划模型：的线性规划模型：生产产品生产产品的资源用于出租时，租金收入应满足：的资源用于出租时，租金收入应满足：24221yy类似的，生产产品类似的，生产产品的资源用于出租时，租金收入的资源用于出租时，租金收入应满足：应满足：35231 yy总的租金收入：总的租金收入：321151612yyy321151612minyyyW242.21 yyts0,35232131yyyyy2022-5-690,

5、15 5 16 41222212121xxxxxx2132maxxxZ321151612minyyyW0,352242213121yyyyyy原问题原问题 对偶问题对偶问题 2022-5-610原问题原问题 对偶问题对偶问题 用矩阵将上述原问题对偶问题写出用矩阵将上述原问题对偶问题写出0151612500422) 3 , 2(max2121XbxxAXxxCXZ032502042)15,16,12(min321321YcyyyYAyyyYbWTTT2022-5-611即：即：原原问问题题 0maxXbAXCXZ0minYCYAYbWTTT对对偶偶问问题题 2022-5-6120,2122112

6、22222121111212111nmmnmnmmnnnnxxxybxaxaxaybxaxaxaybxaxaxannxcxcxcz2211max2 2 原问题与对偶问题原问题与对偶问题对于一般的线性规划问题对于一般的线性规划问题2022-5-613类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对应一个应一个“ 对偶变量对偶变量”，它就相当于给各资源的单，它就相当于给各资源的单位定价。于是我们有如下的位定价。于是我们有如下的对偶规划对偶规划：0,212211222222112111221111mnnmmnnnmmmmyyyxcyayayaxcyayayaxcy

7、ayayammybybybW2211min2022-5-614对偶问题与原问题的关系：对偶问题与原问题的关系：原原问问题题 对对偶偶问问题题 目标函数：目标函数：MAXMAX约束条件：约束条件：m m个个变量变量 ： n个个目标函数：目标函数：MINbAX 0X约束条件：约束条件：n个个变量变量 ： m个个CXZ maxYbWTminTTCYA0Y2022-5-615这是规范形式这是规范形式 的原问题，由此写出其对偶问题如的原问题，由此写出其对偶问题如右方所示，那么，当原问题不是规范形式时，应右方所示，那么，当原问题不是规范形式时，应如何写出其对偶问题？如何写出其对偶问题？可以先将原问题化成规

8、范的原问题，再写出对偶可以先将原问题化成规范的原问题，再写出对偶问题。问题。2022-5-616例例 写出下述规划的对偶问题写出下述规划的对偶问题321151612minyyyW242.21 yyts0,35232131yyyyy于是对偶问题即为：于是对偶问题即为：321151612)max(yyyW2-4-2-.21yyt s0,35232131yyyyy0,15- 5- 16- 4-12-2-2-212121xxxxxx2132)(inxxZm解解 先将该问题化为规范形式先将该问题化为规范形式也即为：也即为：0,15 5 16 41222212121xxxxxx2132maxxxZ互为对偶

9、互为对偶2022-5-617如何写出非规范的原问题相应的对偶问题：如何写出非规范的原问题相应的对偶问题：目标函数目标函数MIN MAX 约束条件约束条件约束条件约束条件 = ? 4. 变量变量 ? 无约束或 0例：例：P55 例例2，写出下，写出下面规划的对偶规划面规划的对偶规划0, 030351546324624347min32132321321321xxxxxxxxxxxxxxz无约束，2022-5-618解：解：将原问题模型变形将原问题模型变形,0, 030351546324624347min32132321321321xxxxxxxxxxxxxxz无约束，321yyy11xx令则对偶问

10、题是则对偶问题是无约束32132132121321, 0,33464562734301524maxxyyxyyyyyyyyyyw321xxx2022-5-619小结：小结：对偶问题与原问题的关系：对偶问题与原问题的关系：原原问问题题 对对偶偶问问题题 目标函数：目标函数：MAX约束条件：约束条件：m个约束个约束变量变量 ： n个变量个变量目标函数：目标函数：MIN)(无约束0)(0约束条件：约束条件：n个约束个约束变量变量 ： m个变量个变量无约束0)(0)(约束条件右端项约束条件右端项价值系数价值系数价值系数价值系数约束条件右端项约束条件右端项2022-5-6203 对偶问题的基本性质对偶问

11、题的基本性质2、无界性、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则如果原问题（对偶问题）有无界解，则其对偶问题其对偶问题(原问题）无可行解。原问题）无可行解。就上节所讨论的一般的线性规划问题及其对偶问题，就上节所讨论的一般的线性规划问题及其对偶问题，有如下的性质：有如下的性质：1、弱对偶性、弱对偶性 如果如果 分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有考虑利用考虑利用 及及 代入。代入。miiinjjjybxc11,jxnjmiyi,.1,.,1,miiijjyac1injjijbxa12022-5-6213、最优性、最优性如果如果 分别是原问题和对分别是原问

12、题和对偶问题的可行解，且有偶问题的可行解，且有则则 分别是原问题和对分别是原问题和对偶问题的偶问题的最优解。最优解。,jxnjmiyi,.1,.,1,miiinjjjybxc11,jxnjmiyi,.1,.,1,2022-5-622证明证明 设设 分别是原分别是原问题和对偶问题的最优解，则由弱对偶性，问题和对偶问题的最优解，则由弱对偶性，又又 ，所以，所以,jxnjmiyi,.1,.,1,miiimiiinjjjnjjjybybxcxc1111miiinjjjybxc11miiimiiinjjjnjjjybybxcxc11112022-5-6234、强对偶性、强对偶性 如果原问题有最优解，则其

13、对如果原问题有最优解，则其对偶问题也必有最优解，且两者最优目标函数值相偶问题也必有最优解，且两者最优目标函数值相等，即等，即 。wzminmax证明证明 设有线性规划问题设有线性规划问题经单纯形法计算后，令经单纯形法计算后，令 ,最终表中最终表中0,;maxssXXbXAXCXZ01BCYB2022-5-624b1BNIjNBCCBNN11BCYBBBCCBB10所以所以 ,即：即：由此可知由此可知 是对偶问题的是对偶问题的可行解可行解 ,又又 由最优性知由最优性知 就是最优解。就是最优解。0YACCYAYYbbBCCXB1Y2022-5-6255、互补松弛性：、互补松弛性：在线性规划的最优解

14、中，如果对在线性规划的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值非零，则该约束条应某一约束条件的对偶变量值非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对偶变量一定为零。即式，则其对偶变量一定为零。即若若 若若;,01injjijibxay则.0,1iinjjijybxa则2022-5-626证明证明 由弱对偶性知：由弱对偶性知：又因在最优解中又因在最优解中 ，于是上式，于是上式应为等式，即有应为等式，即有而而 故要使得上式成立，必有故要使得上式成立，必有miiimiijnjijnjjjybyxaxc1111miiinjjjybxc

15、110)(11111 imiijnjijmiiimiijnjijybxaybyxa; 01ijnjijbxa0 iy2022-5-627; 01ijnjijbxa.1ijnjijbxa后半部分是前一命体的逆否命题，自然成立。后半部分是前一命体的逆否命题，自然成立。互补松弛性还可写为互补松弛性还可写为对偶问题的相应的互补松弛性见书对偶问题的相应的互补松弛性见书 P58。例例 书书P76 ，习题，习题2-4;0SXY0SYX 即即2022-5-6286、设原问题与对偶问题分别是：设原问题与对偶问题分别是：则原问题的检验数行对应对偶问题的一个基解则原问题的检验数行对应对偶问题的一个基解（不一定是可行

16、解）（不一定是可行解），对应关系如下表，对应关系如下表 。0,maxssXXbXAXCXZ0,minSTSTTYYCYYAYbWbNBN11 BIjNBCCBN1BXNXSX1BCB1SY2SYYIB 2022-5-629说明：说明：原问题与对偶问题存在一对互补基解，原原问题与对偶问题存在一对互补基解，原问题的松弛变量与对偶问题的变量对应；原问题问题的松弛变量与对偶问题的变量对应；原问题的变量与对偶问题的剩余变量对应。互补的基解的变量与对偶问题的剩余变量对应。互补的基解对应的目标函数值相等。对应的目标函数值相等。2022-5-630例例 书书P59 例例3 0,.,15x 5 16x 4122

17、2515241321xxxxxxx2132maxxxZ321yyy1y2y3y5y4y1x2x3x4x5xBCbBX1x4x2xj2022-5-631321151612minyyyW242.421yyyts0,.,35251531yyyyy1x2x1y2y3y4y5y1y3yb1x2x3x4x5xj2022-5-6321、 对偶变量对偶变量 可理解为对一个单位第可理解为对一个单位第 种资源种资源的估价，称为的估价，称为影子价格影子价格，但并非市场价格。，但并非市场价格。2、 对偶变量对偶变量 的值（即影子价格）表示第的值（即影子价格）表示第 种资种资源数量变化一个单位时，目标函数的增量。源数量

18、变化一个单位时，目标函数的增量。因为因为4 4 影子价格影子价格0maxXbAXCXZ0minYCYAYbWTTT假设有假设有原问题原问题和和对偶问题对偶问题如下：如下：iyiiibzyiiy2022-5-6332132maxxxz资源增加一个单位时，最优解及目标函数值的变化资源增加一个单位时，最优解及目标函数值的变化1,132221zxx0,1741zx2 . 0,1652zx2x1xO1Q2Q3Q4Q342132xxZ目标函数等值线2022-5-6343、 影子价格可用于指导资源的购入与卖出。影子价格可用于指导资源的购入与卖出。当当 影子价格影子价格 市场价格时市场价格时，买入；，买入；

19、影子价格影子价格 市场价格市场价格 时，卖出时，卖出.4、 由互补松弛性可知，由互补松弛性可知， 即影子价格为零。即影子价格为零。经济解释：资源未用完，再增加对目标函数也无贡经济解释：资源未用完，再增加对目标函数也无贡献。献。反之，反之， 表明该种资源用表明该种资源用尽，再购进用于扩大生产可增加总利润。尽，再购进用于扩大生产可增加总利润。 .0,1iinjjijybxa则;,01injjijibxay则2022-5-6355 5 对偶单纯形法对偶单纯形法在单纯形表中，在单纯形表中， 列对应原问题的基可行解，列对应原问题的基可行解， 行行对应对偶问题的一个对应对偶问题的一个基解基解（不一定可行）

20、，当（不一定可行），当 时，在检验数行就得到对偶问题的时，在检验数行就得到对偶问题的基可行解基可行解，此时，此时两个问题的目标函数值相等两个问题的目标函数值相等 ，由由最优性条件最优性条件知，两个问题都达到了最优解。知，两个问题都达到了最优解。j0b0jYbbBCCXB1单纯形法：单纯形法：找一个初始基可行解，保持找一个初始基可行解，保持b列为正，通列为正，通过迭代找到下一个基可行解，使目标函数值不断增大，过迭代找到下一个基可行解，使目标函数值不断增大，当当检验数行全部小于等于零检验数行全部小于等于零时，达到最优解。时，达到最优解。2022-5-636对偶单纯形法思想：对偶单纯形法思想：找一个

21、对偶问题的基可行解（保持找一个对偶问题的基可行解（保持 行非正），原行非正），原问题的解为基解（问题的解为基解（ b列可以为负），通过迭代，当列可以为负），通过迭代，当b列全部为正（原问题也达到了基可行解）列全部为正（原问题也达到了基可行解），即找到最，即找到最优解。优解。j2022-5-6373、检查是否达最优、检查是否达最优 ：b列列 非负非负时达最优，否则继时达最优，否则继续续1、2。对偶单纯形法计算步骤：对偶单纯形法计算步骤：1、确定出基变量、确定出基变量 ：选择选择b列中负值最小者对应变列中负值最小者对应变量出基，即量出基，即 对应的对应的 为出为出基变量。基变量。2、确定进基变量、

22、确定进基变量 ：最小比值规则，即以最小比值规则，即以 对应的对应的 为进基变量，为进基变量， 为主元素进行迭代为主元素进行迭代。0miniirbbbrxsjsrjrjjaaa0minsxrsa2022-5-6381、 为何只考虑为何只考虑 行中行中 的元素对应的变量的元素对应的变量进基？进基？为使迭代后的基变量取正值。为使迭代后的基变量取正值。rx0rja2、为何采用最小比值规则选择进基变量？、为何采用最小比值规则选择进基变量？为了使得为了使得迭代后的多偶问题解仍为可行解（检验数行仍为非迭代后的多偶问题解仍为可行解（检验数行仍为非正）正）2022-5-6393、 原问题无可行解的判别准则：原问

23、题无可行解的判别准则：当对偶问题存在可当对偶问题存在可行解时，若有某个行解时，若有某个 ，而所有，而所有 ，则原问，则原问题无可行解，对偶问题目标值无界。题无可行解，对偶问题目标值无界。因为第因为第r r行的约束方程即为：行的约束方程即为： 其中其中 ， ，因此不可能存在，因此不可能存在 使上使上式成立。也即原问题无可行解。式成立。也即原问题无可行解。0rb0rjarnnrmmrrbxaxax,11,.0rja0rb0X2022-5-640例例、用对偶单纯形法求解下述问题、用对偶单纯形法求解下述问题321151612minyyyW242.21yyts0,35232131yyyyy解解 将问题改

24、写为目标最大化，并化为标准型将问题改写为目标最大化，并化为标准型321151612)max(yyyW242.421yyyts0,.,35251531yyyyy2022-5-641列单纯形表列单纯形表 1y2y3y4y5yBCbBX4y5y4y3y1y3y达到最优达到最优 2022-5-642注意：注意：1、 使用对偶单纯形法时，使用对偶单纯形法时，当约束条件是当约束条件是 时，可时，可以不必添加人工变量。以不必添加人工变量。 2、使用对偶单纯形法时，、使用对偶单纯形法时，初始单纯形表中要保证对初始单纯形表中要保证对偶解为可行解常难以做到，偶解为可行解常难以做到， 所以一般不单独使用，所以一般不

25、单独使用，常与灵敏度分析结合使用。常与灵敏度分析结合使用。 2022-5-6436 6 灵敏度分析灵敏度分析灵敏度分析：灵敏度分析：线性规划问题中的某些参数发生变线性规划问题中的某些参数发生变化，对解的影响。（化，对解的影响。（C C，A A，b b）灵敏度分析的一般步骤：灵敏度分析的一般步骤：1 1、 将参数的改变经计算后反映到最终单纯形表中；将参数的改变经计算后反映到最终单纯形表中；2 2、 检查原问题和对偶问题是否仍为可行解；检查原问题和对偶问题是否仍为可行解； 3 3、 按照下表对应情况，决定下一步骤。按照下表对应情况，决定下一步骤。2022-5-6446.6.1 C 1 C 的变化分

26、析的变化分析 C C 的变化只影响检验数。的变化只影响检验数。例例1 1 设有如下的线性规划模型设有如下的线性规划模型试分析试分析 分别在什么范围变化时，最优解不变？分别在什么范围变化时，最优解不变？ 0,15 5 16 41222212121xxxxxx2132maxxxZ21,cc2022-5-6451x2x3x4x5xBCbBX1x4x2xj解：解：问题的最终单纯形表如下：问题的最终单纯形表如下：1x2x3x4x5xBCbBX1x4x2xj1c1c121c53511 c2022-5-6461 1、当、当 变化时，假设变化时，假设 ，则要使得问题的，则要使得问题的 最优解保持不变，则检验数

27、行最优解保持不变，则检验数行 即可，即要求即可，即要求1c11cc00535115c02113c01 c31 c301 c02 2、当、当 变化时，假设变化时，假设 ，则要使得问题的，则要使得问题的 最优解保持不变，则检验数行最优解保持不变，则检验数行 即可，即要求即可，即要求2c22cc0515225c01322 c2022-5-6476.6.2 b 2 b 的变化分析的变化分析b b的变化将只影响原问题的基可行解，即最终表的变化将只影响原问题的基可行解，即最终表中的中的b b列数值。列数值。例例2 设有如下的线性规划模型设有如下的线性规划模型试分析试分析 分别在什么范围变化时，最优基分别在

28、什么范围变化时，最优基不变？不变？ 0,15 5 16 41222212121xxxxxx2132maxxxZ321,bbb2022-5-648解：解：将将 重新计算后填入问题的最终单纯形表：重新计算后填入问题的最终单纯形表：1 1、当、当 变化时，假设变化时，假设 ，则问题的解变为，则问题的解变为填入下表，得填入下表，得1bbB111bb328b23b211516b5/1005/4125/102/1bBX11111x2x3x4x5xBCbBX1x4x2xj328b23b21112022-5-6490要使得最优基保持不变，则要使得最优基保持不变，则b b列数值列数值 即可，即即可，即要求要求0

29、1bB同理可得同理可得 的变化范围是：的变化范围是： 的变化范围是：的变化范围是：2b3b212b30103 b028b203b211114b6b1114b616.6.3 3 增加一个变量的变化分析增加一个变量的变化分析 增加一个变量，在方程组（矩阵增加一个变量，在方程组（矩阵A A）中就要增）中就要增加一个系数列，在原来的最终表中也要添加一加一个系数列，在原来的最终表中也要添加一列列 ，检验数也要计算，其余部分不受影响。，检验数也要计算，其余部分不受影响。如果检验数行仍如果检验数行仍 ，则最优解不变，否则继，则最优解不变，否则继续迭代寻找最优。续迭代寻找最优。一般分析步骤：一般分析步骤： 1

30、 1、计算增加的新变量系数列、计算增加的新变量系数列 在原最终表中的在原最终表中的结果结果 ； 2 2、计算新变量对应的检验数、计算新变量对应的检验数 ； 3 3、根据、根据 的符号判断是否仍是最优解，若是，的符号判断是否仍是最优解，若是，最优解不变；若不是，继续求解。最优解不变；若不是，继续求解。2022-5-650jP0jjPjPjj2022-5-6510,15 5 16 41222212121xxxxxx2132maxxxZ例例3 3 设有如下的线性规划模型设有如下的线性规划模型, ,现增加变量现增加变量 ，其，其对应系数列为对应系数列为 ，价值系数，价值系数 ，请，请问最优解是否改变？

31、问最优解是否改变？ TP)5 , 4 , 2(66x46C2022-5-652解：解：最终表最终表1x2x3x4x5xBCbBX1x4x2xj2022-5-6531405425/1005/4125/102/1616PBP1140)3 , 0 , 2(466jBPCc新变量的检验数及系数列分别为：新变量的检验数及系数列分别为：填入表中，易知未达最优，继续迭代求解。填入表中，易知未达最优，继续迭代求解。2022-5-6541x2x3x4x5xBCbBX1x4x2xj6x1x2x6x已达最优。最优解为已达最优。最优解为 最优目标值最优目标值1, 2, 3621xxx16z2022-5-6556.6.

32、4 4 增加一个约束条件的变化分析增加一个约束条件的变化分析 增加一个约束条件，相当于增加一道工序。增加一个约束条件，相当于增加一道工序。一般分析步骤：一般分析步骤： 1 1、先将原最优解带入此新约束，若满足条件，、先将原最优解带入此新约束，若满足条件，说明此约束未起作用，原最优解不变；说明此约束未起作用，原最优解不变； 2 2、否则，将新约束加入到最终表中，继续分析。、否则，将新约束加入到最终表中，继续分析。例例4 4 在上例中添加新约束在上例中添加新约束 ，分析，分析最优解的变化情况。最优解的变化情况。 解：解：因为将原最优解因为将原最优解 带入此约束，带入此约束，不满足约束，原解已不是最

33、优，继续分析。不满足约束，原解已不是最优，继续分析。142321 xx141532333, 321xx2022-5-6561423621xxx1x2x3x4x5xBCbBX1x4x2xj6x6x1x4x2x6x2022-5-6571x4x2x3x已达最优。最优解为已达最优。最优解为 最优目标值最优目标值316,32, 3,384321xxxx343z2022-5-6587 7 参数线性规划参数线性规划参数线性规划：参数线性规划：研究参数连续变化时最优解的变化研究参数连续变化时最优解的变化以及目标函数值随参数变化的情况。以及目标函数值随参数变化的情况。注：注：当多个参数同时变化时，可以引入一个参

34、数当多个参数同时变化时，可以引入一个参数 来表示这种变化。来表示这种变化。如：如：b b列多个值发生变化时，可表示成列多个值发生变化时，可表示成miabbiii,.,2 , 1,2022-5-659求解参数线性规划的步骤：求解参数线性规划的步骤：1 1、 令令 求解得最终单纯形表；求解得最终单纯形表；2 2、 将参数的变化反映到最终单纯形表中；将参数的变化反映到最终单纯形表中；3 3、 找到使得最优解不变的参数变化范围，在临界找到使得最优解不变的参数变化范围，在临界点处令参数增加或减少，分析最优解的变化，并分点处令参数增加或减少，分析最优解的变化，并分析目标函数值随参数变化的情况。析目标函数值

35、随参数变化的情况。02022-5-660例例5 5 求解下述参数线性规划问题求解下述参数线性规划问题: :0,15 5 16 41222212121xxxxxx21)3()22()(maxxxZ2022-5-661解：解：求得求得 时最终单纯形表并将参数的变化填时最终单纯形表并将参数的变化填入表中入表中 ： 0j1x2x3x4x5xBCbBX1x4x2x22322315512022-5-6621 1、由表可知，当、由表可知，当 时，即时，即 最优解不变最优解不变 目标函数值是：目标函数值是： 0551, 01111593)3(3)22()(z)3, 3(21xx2022-5-6632 2、 是

36、临界点，当是临界点，当 时，时， 所以选择所以选择 作为进基变量，迭代一步得到：作为进基变量，迭代一步得到：110551, 013x31x2x3x4x5xBCbBX3x4x2x223553222022-5-6640553, 0223 3、由上表可知，当、由上表可知，当 时，即时，即 最优解不变最优解不变 目标函数值是目标函数值是 13933)3(0)22()(z)3, 0(21xx2022-5-6654 4、 是临界点，当是临界点，当 时，时， 所以选择所以选择 作为进基变量，迭代一步得到：作为进基变量，迭代一步得到：335x0553, 0222231x2x3x4x5xBCbBX3x4x5x2

37、232022-5-6665 5、由上表可知，当、由上表可知，当 时，最优解不再变化。时，最优解不再变化。目标函数值是目标函数值是 315,16,12, 0, 055421xxxxx00)3(0)22()(z6 6、 是临界点，当是临界点，当 时，时， 所以选择所以选择 作为进基变量，迭代一步得到：作为进基变量，迭代一步得到：110551, 015x2022-5-6671x2x3x4x5xBCbBX1x5x2x223223223441此时无论此时无论 如何增加，检验数始终为负，最优解不如何增加，检验数始终为负，最优解不再变化。目标函数值是再变化。目标函数值是 14102)3(4)22()(z2022-5-66893)(z159)(z1524341410)(z)(z1-12-2-3341410)(z)(z2022-5-669例例6 6某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日某文教用品厂利用原材料白坯纸生