FORTRAN数值方法及其在物理学中应用2ppt课件

1、 第二章 物理图形、图象与计算机模拟 2.1 简谐振动及其合成曲线模拟简谐振动及其合成曲线模拟2.2 阻尼运动和阻尼振动的模拟阻尼运动和阻尼振动的模拟 2.3 驻波的模拟驻波的模拟 2.5 波的干涉和衍射图形模拟波的干涉和衍射图形模拟 2.4 点电荷与点电荷系的等势线和电场模拟点电荷与点电荷系的等势线和电场模拟 2.1 简谐振动及其合成曲线模拟简谐振动及其合成曲线模拟一、简谐振动的一、简谐振动的 曲线和曲线和 曲线曲线tx tv 例例1：画出：画出 曲线及对应的曲线及对应的 曲线，其中曲线，其中)cos(tAxtv 0 , , 0 . 2A周期）(0 )2cos( )2cos()sin(Ttt

2、vtAtAdtdxvm等分）秒，取NNTtT( / 2/2 Implicit real*8(a-h,o-z) open(1,file=x-t.dat) open(2,file=v-t.dat) write(*,*)input A,w,phi,N read(*,*)A,w,phi,N pi=3.1415926 do 10 I=1,N t=2.*pi/w t=t*float(I)/N x=A*cos(w*t+phi) v=A*w*cos(w*t+phi+pi/2.) write(1,*)t,x10 write(2,*)t,v end计算程序计算程序cos()xAtcos()2vAt0.00.20.

3、40.60.81.01.21.41.61.82.0-8-6-4-202468 t x=Acos(*t+) v=Acos(*t+/2)图形模拟图形模拟Origin简介简介二、简谐振动的合成二、简谐振动的合成1.同方向简谐振动的合成同方向简谐振动的合成 同频率情况同频率情况 )cos(111tAx)cos(222tAx)cos(21tAxxx其中其中 2/112212221)cos(2AAAAA11221122sinsintgcoscosAAAA减弱（反相）（加强（同相） ,12 |,| ,2 ,12211221KAAKAAA例例2：试给出两个同方向同频率简谐振动的合成程序：试给出两个同方向同频率

4、简谐振动的合成程序 open(1,file=x1.dat) open(2,file=x2.dat) open(3,file=x.dat) write(*,*)input A1,A2,w,phi1,phi2=? read(*,*)A1,A2,w,phi1,phi2 pi=3.1415926 do 10 I=1,1000 t=2.*pi/w t=t*float(I)/1000 x1=A1*cos(w*t+phi1) x2=A2*cos(w*t+phi2) x=x1+x2 write(1,*)t,x1 write(2,*)t,x210 write(3,*)t,x end )cos(111tAx)co

5、s(222tAx0.000.050.100.150.20-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20 t x1=0.05cos(10t+0.6) x2=0.1cos(10t+0.6) x=x1+x2 (同相)0.000.050.100.150.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15 t x1=0.05cos(10t+0.6) x2=0.1cos(10t+1.6) x=x1+x2 (反 相)图形模拟图形模拟两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向同频率简谐振动的合成 0.000.050.100.150.20-0.15-0.10-0.

6、050.000.050.100.15 t x1=0.05cos(10t+0.6) x2=0.1cos(10t+0.2) x=x1+x2 EX2-1: 编程完成例编程完成例2。 两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向同频率简谐振动的合成 不同频率情况不同频率情况 假设假设 ，会出现拍的现象。，会出现拍的现象。 21, )cos(1111tAx)cos(2222tAx合振动不再是简谐振动，利用旋转矢量法可以求得合振动的振幅为合振动不再是简谐振动，利用旋转矢量法可以求得合振动的振幅为 2/11212212221)()cos(2tAAAAA|212v 中间经历的时间中间经历的时间 称为周期，显然称为

7、周期，显然 ，v v 频率：频率：|2|121221AAA|21AAAv 振幅在振幅在 和和 间周期性地变化，属振动调制。间周期性地变化，属振动调制。v 合振动振幅从一次极大到相邻的另一次极大。合振动振幅从一次极大到相邻的另一次极大。假设两个分振动振幅都为假设两个分振动振幅都为 ，圆频率，圆频率 相差较小，取它们的初相位相差较小，取它们的初相位1A21,tAx111costAx212cos此时合成运动的位移可写成：此时合成运动的位移可写成： )(21cos)(21cos21212121ttAxxx)(21cos12tAx 变化主要取决于变化主要取决于 ，振幅按变化，振幅按变化 。)(21cos

8、12t)(21cos2121tA都是零，则可以分别表示为：都是零，则可以分别表示为：)(21cos2121tAA其中其中。)(2112)(2112由于圆频率由于圆频率 远大于圆频率远大于圆频率 ，0510152025303540-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.5 tx x=x1+x2=cos10t+cos11t图形模拟图形模拟两个同方向频率近似的简谐振动的合成两个同方向频率近似的简谐振动的合成 2. 两个相互垂直方向简谐振动的合成两个相互垂直方向简谐振动的合成111222cos()cos()xAtyAt假设假设 ，则有合振动方程：，则有合振动方程： 2

9、1)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxAAyAyAx1221120 :0 （一、三象限直线方程）（一、三象限直线方程） xAAyAyAx1221120 : （二、四象限直线方程）（二、四象限直线方程） （椭圆方程）（椭圆方程） 1 :222221212AyAx质点轨迹曲线质点轨迹曲线n下图所示为两个频率相同、振幅相等、相互垂直而相位差下图所示为两个频率相同、振幅相等、相互垂直而相位差-1.0-0.50.00.51.0-1.0-0.50.00.51.02-1= xy-1.0-0.50.00.51.0-1.0-0.50.00.51.02-1= xy-1.0-0.50.

10、00.51.0-1.0-0.50.00.51.02-1= xy两个频率相同、振幅相等、相互垂直简谐振动的合成两个频率相同、振幅相等、相互垂直简谐振动的合成 4/3 , 2/ , 4/为为 下的质点轨迹曲线。下的质点轨迹曲线。假设假设 ，但满足一定整数倍数比关系时，则会，但满足一定整数倍数比关系时，则会 21下图所示为两个频率不同满足下图所示为两个频率不同满足 ）、振幅相等、）、振幅相等、 2/3/21-1.0-0.50.00.51.0-1.0-0.50.00.51.02-1= xy-1.0-0.50.00.51.0-1.0-0.50.00.51.02-1= xy-1.0-0.50.00.51.

11、0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52-1=0 xy利萨如图形示意图利萨如图形示意图 出现利萨如图形：出现利萨如图形：4/ , 8/相互垂直而相位差为相互垂直而相位差为0， 下的质点轨迹曲线。下的质点轨迹曲线。2.2 阻尼运动和阻尼振动的模拟阻尼运动和阻尼振动的模拟 一、阻尼情况下物体运动的一、阻尼情况下物体运动的 曲线曲线tv 例例3：质量为：质量为 的摩托快艇以速度的摩托快艇以速度 行驶，它受到的摩擦阻力行驶，它受到的摩擦阻力 与速度成正比，设比例系数为与速度成正比，设比例系数为 ，那么，那么 ，试求，试求关关 闭发动机后，对闭发动机后，对 的变化规律。的变化规律。 （取（取

12、 m0vKKvFvt)/004. 0250/1 ,/100skgK/msmv解：物理分析与数学模型解：物理分析与数学模型)( or 00mKAevvevvAttmKKvdtdvmmaFvmKdtdv可用函数作图法可用函数作图法 方法方法1:n方法方法2：用：用 （差商法）（差商法）n n n n dtdvtv替代AvvmKtvdtdvtAvv )( 1tAvvvii函数近似值作图法函数近似值作图法 open(1,file=vt.dat) write(*,*)input a,v0,t=? read(*,*) a,v0,t v1=v0 t0=0. v10=v0 write(1,*)t0,v0,v1

13、0 dt=t/1000. do 10 j=1,1000 tt=t*float(j)/1000. v=v0*exp(-1.)*a*tt) v1=v1-a*v1*dt 10 write(1,*)tt,v,v1 end05001000150020000246810K/m=1/250, v0=10m/s阻尼运动曲线 tv模拟程序模拟程序1()iivvAv t 0 ()AtKvv eAm二、阻尼振动二、阻尼振动n问题：弹簧振子阻尼振动的方程为问题：弹簧振子阻尼振动的方程为n 阻尼因子阻尼因子n 弹簧振子的角频率弹簧振子的角频率)( 0202022xdtdxdtxd0试用函数近似法作出位移与时间的函数变化

14、曲线。试用函数近似法作出位移与时间的函数变化曲线。问题分析问题分析:n解：将二阶微分方程化为一阶微分方程解：将二阶微分方程化为一阶微分方程22dtxddtdvdtdxv20 2( , )dvvxf x vdt tvxfv*),(tvxfvviii*),(1即即tvx*而而tvxxiii*1 tv实例说明：实例说明：n例例4 4：画出当：画出当 ， ， 时，时， ， ，n ， 秒下的秒下的 曲线。曲线。1 . 0100t0 . 1x0 . 0v250t1000/25ttx 计算程序：计算程序： open(1,file=v-t.dat) open(2,file=x-t.dat) write(*,*

15、)input B,w0,x0,v0,t=? read(*,*)B,w0,v0,x0,t dt=t/1000. v=v0 x=x0 tt0=0.0 write(1,*)tt0,v0 write(2,*)tt0,x0 do 10 j=1,1000 tt=float(j)*dt f=-2.*B*v-w0*2*x v=v+f*dt x=x+v*dt write(1,*)tt,v10 write(2,*)tt,x end0510152025-1.0-0.50.00.51.0 t (s) Y x-t曲 线 v-t曲 线阻尼振动曲线示意图阻尼振动曲线示意图 图形模拟图形模拟0510152025-1.0-0.

16、50.00.51.0 tx =0.1, =1, 小阻尼 情 况 =1, =1，临 界 阻尼 情 况 =1.5, =1，大阻尼 情 况不同阻尼情况振动曲线示意图不同阻尼情况振动曲线示意图 图形模拟图形模拟EX2-2: 编程完成例编程完成例3。BvAdtxd22EX2-3:一石子从空中静止下落，知一石子从空中静止下落，知BA ,tx 式中式中为常数，试绘制石子下落的为常数，试绘制石子下落的, 8 . 9A, 5 . 0B,10|0tx曲线。其中曲线。其中, 0|0tv20t。作业作业2.3 驻波的模拟驻波的模拟 定义：两列振幅、振动方向和频率都相同而传播方向相定义：两列振幅、振动方向和频率都相同而

17、传播方向相 反的两列同类波相干叠加形成驻波。反的两列同类波相干叠加形成驻波。 设有两列振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波，设有两列振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波，, )(2cos1xtAy)(2cos2xtAy按叠加原理，合成的驻波的波函数为按叠加原理，合成的驻波的波函数为: : )(2cos)(2cos21xtxtAyyytxAy2cos2cos2轴的正、负方向传播。轴的正、负方向传播。X分别沿分别沿n在在 值满足下式的各点，振幅为零驻波波节处值满足下式的各点，振幅为零驻波波节处x, 2, 1, 0,4) 12(2) 12(2kkxkx相邻两波节的距离为半波长，即：相

18、邻两波节的距离为半波长，即： 24) 12(41) 1(21kkxxkk讨论讨论:tt2cosp 因子因子是时间是时间 的余弦函数，说明形成驻波后，的余弦函数，说明形成驻波后，各质点都在作同频率的谐振动。各质点都在作同频率的谐振动。p 另一因子另一因子xA2cos2是坐标的余弦函数，说明各质点是坐标的余弦函数，说明各质点的振幅按余弦函数规律分布。的振幅按余弦函数规律分布。 txAy2cos2cos2x在在 值满足下式的各点，振幅最大驻波波腹处值满足下式的各点，振幅最大驻波波腹处, 2, 1, 0,22kkxkx相邻两波腹间的距离也为半波长，即：相邻两波腹间的距离也为半波长，即： 222) 1(

19、1kkxxkk l l 波节处的质点振动的振幅为零，始终处于静止；波节处的质点振动的振幅为零，始终处于静止； l l 波腹处的质点振动的振幅最大，等于波腹处的质点振动的振幅最大，等于 。 l l 其他各处质点振动的振幅则在零与最大之间。其他各处质点振动的振幅则在零与最大之间。 l l 两相邻波节或两相邻波腹之间相距半波长。两相邻波节或两相邻波腹之间相距半波长。 l l 波腹和相邻波节间的距离为波腹和相邻波节间的距离为 ，波腹和波节交替作等，波腹和波节交替作等距离排列。距离排列。 A24/特征特征: :讨论讨论:驻波模拟程序流图驻波模拟程序流图 implicit real*8(a-h,o-z)

20、open(1,file=zhubo.dat) open(2,file=zhubo1.dat) open(3,file=zhubo2.dat) write(*,*)input A,x,wavelength read(*,*)A, x, wa pi=3.1415926 T=2.*pi time=0.5*T dx=x/1000 do 10 I=1,1000 x=dx*float(i) y1=A*cos(2*pi)*(time/T-x/wa) y2=A*cos(2*pi)*(time/T+x/wa) y=2*A*cos(2*pi*x/wa)*cos(2*pi*time/T) write(1,*)x,y

21、 write(2,*)x,y110 write(3,*)x,y2 end模拟程序模拟程序txAy2cos2cos2, )(2cos1xtAy02- 202t = 0 入射波、反射波 合成波11232344D*D*D*D*CCCCX02- 202t = T / 8 入射波 反射波 合成波 11232344D*D*D*D*CCCCX图形模拟图形模拟， )2/(1, 1A02- 202t = T / 4 入射波 反射波 合成波 11232344D*D*D*D*CCCCX02- 202t =3T/ 8 入射波 反射波 合成波 11232344D*D*D*D*CCCCX02-202 入射波,反射波 合成

22、波 t =T/ 211232344D*D*D*D*CCCCX每一时刻，驻波都有一定的波形，此波形既不向右移，也每一时刻，驻波都有一定的波形，此波形既不向右移，也不向左移，各点以各自确定的振幅在各自的平衡位置附近不向左移，各点以各自确定的振幅在各自的平衡位置附近振动，没有振动状态或相位的传播，因而称为驻波。振动，没有振动状态或相位的传播，因而称为驻波。又沿相反方向同时通过平衡位置。又沿相反方向同时通过平衡位置。 在驻波进行过程中，没有振动状态相位和波形的定在驻波进行过程中，没有振动状态相位和波形的定向传播，可以证明也无能量的定向传播，这也是行波和向传播，可以证明也无能量的定向传播，这也是行波和驻

23、波的重要区别所在。驻波的重要区别所在。 将相邻两波节之间的各点称为一段，每一段各点将相邻两波节之间的各点称为一段，每一段各点 具具x2cos有相同的符号，而相邻的两端符号总是相反的，这说明在驻有相同的符号，而相邻的两端符号总是相反的，这说明在驻波中同一段上各质点的振动相位相同，而相邻两段中的各点波中同一段上各质点的振动相位相同，而相邻两段中的各点振动相位相反。振动相位相反。l 同一段内各点沿相同方向同时达到各自振动位移的最大值，同一段内各点沿相同方向同时达到各自振动位移的最大值，又沿相同方向同时通过平衡位置；又沿相同方向同时通过平衡位置；l 波节两侧各点同时沿相反方向达到振动位移的正、负最大值

24、，波节两侧各点同时沿相反方向达到振动位移的正、负最大值， 当波在自由端反射时，则无相位突变，形成驻波时，在当波在自由端反射时，则无相位突变，形成驻波时，在 半波损失半波损失 在弦线上进行的驻波实验，反射点处弦线是固定不动的，在弦线上进行的驻波实验，反射点处弦线是固定不动的， 这一点只能是波节。这说明反射波和入射波的相位在反射这一点只能是波节。这说明反射波和入射波的相位在反射点正好相反，即入射波在反射点反射时相位有点正好相反，即入射波在反射点反射时相位有 的突变。的突变。 根据相位差根据相位差 与波程差的关系（与波程差的关系（ ），相位差为），相位差为 2说，反射波和入射波之间存在着半个波长的波

25、程差，这种说，反射波和入射波之间存在着半个波长的波程差，这种相位突变相位突变 称为称为半波损失。半波损失。就相当于半个波长的波程差，这说明对固定端的反射点来就相当于半个波长的波程差，这说明对固定端的反射点来自由端出现波腹。自由端出现波腹。)53(2cos21xtyXEX2-4:一沿一沿方向传播的入射波的波函数为方向传播的入射波的波函数为0 x在在处发生反射，反射点为一节点。处发生反射，反射点为一节点。1t求求1反射波的波函数及在反射波的波函数及在时的图形。时的图形。（2合成波驻波的波函数及在合成波驻波的波函数及在1t 时的图形。作业作业2.4 点电荷与点电荷系的等势线和电场模拟点电荷与点电荷系

26、的等势线和电场模拟 一、等势线方程一、等势线方程要求：作出满足等势线方程要求：作出满足等势线方程 的等势线。的等势线。0),(VyxV例例5：一个点电荷：一个点电荷 在在 处产生的电势处产生的电势 ),(yxq等势线方程为：等势线方程为： 02/122)()(),(VbyaxqrqyxV2022)()()(Vqbyax 即即 圆心在圆心在 ，半径为，半径为 的圆。的圆。 ),(ba0Vq2/1220)()(axVqby由上式可得：由上式可得：画图时可采用参数方程：画图时可采用参数方程： tVqbytVqaxsincos00)2 , 0(t例例6：两个点电荷的电势分布。：两个点电荷的电势分布。0

27、2211),(VrqrqyxV等势线方程为：等势线方程为：2/122222/12211)( ,)(yxxryxxr ! 0)(),(0的显示形式不易给出xyVyxV二、隐函数曲线的绘制（二、隐函数曲线的绘制（ ）0),(VyxV0),(0dVdyyVdxxVyxdVdtdtyVxVdxdy（这里引入参数（这里引入参数 ）tdtxVdydtyVdxn指定指定 (如如 )，计算出，计算出 和和 ，由上式可得，由上式可得 和和 。 dt310dtyV xV dxdy),(yx0V),(dyydxx0Vn若点若点 处电势为处电势为 ，那么，那么 处的电势也为处的电势也为 。编程步骤编程步骤:把上述点把

28、上述点 连起来，就是连起来，就是 的等势线。的等势线。),(yx0V0 x,0V0y输入输入给定给定 （或（或）Step1:00),(VyxV0 x求求的根的根,0 xx ,0yy 令令310dt如取如取,dtyVxxdtxVyyStep2:三、三、 等势线作图步骤等势线作图步骤21qq 02211),(VrqrqyxV2/122222/12211)( ,)(yxxryxxrn1 1),(),(yxVyxVx关于关于 轴对称。轴对称。2. x,0V对于给定的对于给定的其等势线的出发点选在其等势线的出发点选在 轴上，轴上，0)0 ,(VxV, x即由即由给出给出)0 ,(x由由点出发。点出发。作

29、图步骤作图步骤:n3.)1()1(2211rxqrxqxV32223111)()(rxxqrxxqxV而而同样有：同样有：322311ryqryqyV3123213122321132231132223111)()(/ )(/ )(yrqyrqrxxqrxxqryqryqrxxqrxxqdxdy因此有：因此有：dtrqrqydx)(312321dtrxxqrxxqdy)()(31223211取：dtdtyVxVdxdy12012|qqVxxxx*0 xx , 00y解：令解：令则有：则有：, 11q12q, 2 , 221xx例例7：(异号异号)，画出画出5 . 0 , 1 , 2 , 30V0

30、41时的等势线。时的等势线。(忽略忽略)留意若求得初值若求得初值0 x有多个，需对每一个初值进行迭代有多个，需对每一个初值进行迭代计算才会保证曲线的完整性。计算才会保证曲线的完整性。 open(1,file=a1.dat) write(*,*)input q1,q2,x1,x2=? read(*,*)q1,q2,x1,x2 x=x* y=0.0 write(1,*)x,y dt=0.005 do 10 j=1,100 r1=(x-x1)*2+y*2 r1=sqrt(r1) r2=(x-x2)*2+y*2 r2=sqrt(r2) dx=y*(q1*r2*3+q2*r1*3)*dt x=x+dx

31、dy=(-1.)*(q1*(x-x1) *r2*3+ q2*(x-x2)*r1*3)*dt y=y+dy10 write(1,*)x,y enddtrqrqydx)(312321dtrxxqrxxqdy)()(31223211模拟程序模拟程序图形模拟图形模拟-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 012345678-4-3-2-101234(b) y x v0=3 v0=2 v0=1 v0=0.5 , （异号） 11q12q 两个点电荷电势等势线示意图两个点电荷电势等势线示意图 1 , 121qq（同号）-4-3-2-101234-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5

32、2.0(a)电势从内向外依次为：3,2,1,0.5y x电势从内向外依次为：-3,-2,-1,-0.5 -4-2024-4-202400.51-4-2024q1=1,q2=1, x1=-2, x2=2 -4-2024-4-2024-1-0.50-4-2024q1=-1,q2=-1, x1=-2, x2=2同号情况同号情况-4-2024-4-2024-0.500.5-4-2024q1=-1, q2=1, x1=-2, x2=2 -4-2024-4-2024-0.500.5-4-2024q1=1, q2=-1, x1=-2, x2=2异号情况异号情况四、点电荷系电场线的图像模拟四、点电荷系电场线的

33、图像模拟单个点电荷的电场：单个点电荷的电场：020041rrqqFE点电荷系的电场：点电荷系的电场：kkkkkrrqEqFE020041kkk 例例8：如下图，：如下图，A、B、C三个点电荷组成一个点电荷系，其中三个点电荷组成一个点电荷系，其中A(0,0)点带点带电为电为 ， B(0,1)点带电亦为点带电亦为 ，最后，最后C(0,-1)点带电点带电 ，试模拟，试模拟 平平面内电场线分布。面内电场线分布。 qqq2XOY点电荷系在某点产生的电场强度等于各点电荷单点电荷系在某点产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这称为电场独在该点产生的电场强度的矢量和，这称为电场强度叠加原

34、理。强度叠加原理。所以，在所以，在XOY平面内电场强度为：平面内电场强度为：jxyyqxyqyxyyqixyqxxyqxxyqxyxE2/32202/32202/32202/32202/32202/322014141412144142),(电场线上每一点的切线方向反映了该点的场强方向，有：电场线上每一点的切线方向反映了该点的场强方向，有：),(),(yxEyxEdxdyxy解上述方程可得：解上述方程可得： Cxyyxyyxyy2/1222/1222/12211112Cxyyxyyxyy2/1222/1222/12211112此超越方程等值线即为这个点电荷系的电场线方程，此超越方程等值线即为这个

35、点电荷系的电场线方程，-505-505xy点电荷系的电场线模拟点电荷系的电场线模拟常数常数C选取不同的值对应不同的电场线。选取不同的值对应不同的电场线。(C=0.13,间隔间隔0.1）例例9：电偶极振子电场的模拟：电偶极振子电场的模拟 设电偶极子的电偶极矩为：设电偶极子的电偶极矩为：Ztieepp0在球坐标系下，任意时刻在球坐标系下，任意时刻t空间任意处空间任意处r的辐射电场为：的辐射电场为： 02cos1cos11sin42cos1cos1cos422303023030EkrtkrkrtkrkrkpEkrtkrkrtkrkpEr辐射的电场线满足方程辐射的电场线满足方程:EErddrr解上述方

36、程即可得电场线满足的方程：解上述方程即可得电场线满足的方程： Ckrkrtkrarctancossin1122/12当当C 取不同值时可得到不同的辐射电场线。取不同值时可得到不同的辐射电场线。 -1-0.500.51-1-0.500.51xy电偶极子辐射电场线模拟电偶极子辐射电场线模拟 2/122)/(/sin , 1 . 0, 5 . 0, 1yxxrxC五、带电粒子在电磁场中的运动五、带电粒子在电磁场中的运动 在均匀磁场中带电粒子受洛伦茨力的作用在均匀磁场中带电粒子受洛伦茨力的作用 Bqfm vBfqvBv时：时： RmBq22sinvvqBmRv粒子回转周期与频率分别为：粒子回转周期与频

37、率分别为： qBmRT22vmqBf2当粒子速度与磁场夹角为当粒子速度与磁场夹角为 时：时：B/vvhv带电粒子作螺旋运动：带电粒子作螺旋运动：qBmqBmRsinvvqBmThcos2/vv其轨迹为一圆柱螺旋线，参数方程为：其轨迹为一圆柱螺旋线，参数方程为：2sincoshzRyRx其中其中 ,2tTt为角速度，为角速度， h为螺距。 均匀磁场中带电粒子运动轨迹模拟均匀磁场中带电粒子运动轨迹模拟 -1.0-0.50.00.51.0024-1.0-0.50.00.51.0Z AxisY AxisX Axis设原子核的电量为设原子核的电量为 Ze，位置坐标为，位置坐标为 00, yx，其质量远大

38、于，其质量远大于 22/2RZeF 其中：其中：2020yyxxR在直角坐标系下：在直角坐标系下：30230222RyyZeFRxxZeFyx粒子的质量粒子的质量m。 粒子的电量为粒子的电量为2e，其位置用，其位置用 yx,表示，表示，那么那么 粒子受斥力为：粒子受斥力为： 六、六、 粒子散射实验粒子散射实验对应的加速度对应的加速度a：30230222mRyyZeamRxxZeayx粒子速度为：粒子速度为：taVVtaVVyyyxxx1212所以所以 粒子坐标为：粒子坐标为：tVyytVxxyx212212散射粒子运动轨迹模拟散射粒子运动轨迹模拟 0 x y粒子由粒子由位置入射，选取不同的位置

39、入射，选取不同的 对应不同的粒子轨迹对应不同的粒子轨迹2.5 波的干涉和衍射图形模拟波的干涉和衍射图形模拟 一、波的干涉图形模拟一、波的干涉图形模拟 物理分析在均匀介质中传播）：物理分析在均匀介质中传播）：)cos()cos(22021101tAytAyn波源：波源： )/2cos()/2cos(22221111rtAyrtAyPn 点：点： 22021101/ ,/rAArAA这里这里 *),(yxP1r2r1S2S*点的合振动：点的合振动： P)cos(21tAyyy其中其中 / )(2cos212122122212rrAAAAA/ )(2cos2122122212rrAAAAA（相干减弱

40、）时，（相干加强）时， | )21( 21122112AAAkrrAAAkrr, 2 , 1 , 0 12kkrr (隐函数等值线方程隐函数等值线方程)假设假设,12则有则有设有两列相干波，如果初相相等，则干涉条件可简化为用设有两列相干波，如果初相相等，则干涉条件可简化为用波程差波程差 来表示，即当满足：来表示，即当满足：处的空间各点，合振幅最大，这时合振幅处的空间各点，合振幅最大，这时合振幅 ，21AAA强度加强；强度加强；当满足：当满足：, 2 , 1 , 0 ) 12(2112kkrr 处的空间各点，合振幅最小，这时合振幅处的空间各点，合振幅最小，这时合振幅|,|21AAA当波程差界于上

41、述两者之间，则合振幅也处于上述两者当波程差界于上述两者之间，则合振幅也处于上述两者-8-6-4-202468-10-50510 x干涉 相 长干涉 相 消 y 波的干涉图象波的干涉图象(两波源相距为两波源相距为4m, =1.5m， )m121 AA(隐函数等值线方程隐函数等值线方程)大小之间。大小之间。强度减弱；强度减弱；二、等厚干涉牛顿环）二、等厚干涉牛顿环） 如下图所示：如下图所示：d表示入射点处膜的厚度表示入射点处膜的厚度, 当垂直入射的单当垂直入射的单色平行光透过平凸透镜色平行光透过平凸透镜B后后, 在空气层的上、下表面发生在空气层的上、下表面发生反射形成两束向上的相干光。这两束相干光

42、在平凸透镜反射形成两束向上的相干光。这两束相干光在平凸透镜下表面相遇而发生干涉。下表面相遇而发生干涉。等厚干涉实验及牛顿环干涉图样等厚干涉实验及牛顿环干涉图样 dCABRrO两束相干光的光程差为：两束相干光的光程差为：22 d其中：其中： 222222()2RrRdrRRdddR Rdr22Rrd22两束相干光的相位差为：两束相干光的相位差为： /2牛顿环干涉光强分布为：牛顿环干涉光强分布为： /2/cos220RrIrI直角坐标系中直角坐标系中 22yxr2200000422cos2(1cos)21cos()4sindrIIIIIIR半波损失半波损失模拟牛顿环干涉图样光强分布模拟牛顿环干涉图

43、样光强分布 3000mm, 589.3nmR 明纹位置：明纹位置： , 3 , 2 , 1,222222kkRr暗纹位置：暗纹位置： , 2 , 1 , 0,2) 12(2222kkRr暗纹明纹, 2 , 1 , 0, 3 , 2 , 12) 12(kRkrkRkr讨论：讨论：(1) 测透镜球面的半径测透镜球面的半径R：知：知，测，测m、rk+m、rk，可得，可得R(2) 测波长测波长：已知：已知R，测出，测出m、rk+m、rk，可得，可得 (3) 检测透镜的曲率半径误差及其表面平整度。检测透镜的曲率半径误差及其表面平整度。(4) 透射图样与反射图样互补。透射图样与反射图样互补。三、波的衍射图

44、形模拟三、波的衍射图形模拟 均匀光源的夫琅禾费多缝衍射，其衍射场强度分布为：均匀光源的夫琅禾费多缝衍射，其衍射场强度分布为： )sin)(sin(22220vNvuuII 式中式中 ， ，其中，其中 是狭缝宽度，是狭缝宽度， 是光栅常数，是光栅常数， 是是sinau sindv ad参数的选择是任意的，但必须服从物理规律：参数的选择是任意的，但必须服从物理规律： 缝宽缝宽 必须大于波长必须大于波长 ；光栅常数光栅常数 与与 同数量级；同数量级； adad aN衍射角，衍射角， 是入射波长，是入射波长， 是狭缝的有效数目。是狭缝的有效数目。单缝衍射单缝衍射)sin(220uuII 显然当衍射角显

45、然当衍射角 时，时， ，01sinuu在衍射屏上某一点在衍射屏上某一点 处的强度为处的强度为P-12-10-8-6-4-20246810120.00.20.40.60.81.0uI/I0单缝衍射强度分布曲线单缝衍射强度分布曲线 其中其中 ， 为为 点合振动的振幅。点合振动的振幅。20021AI 0AP0I0II 此时此时 ，光强最大，光强最大， 为中央明纹中心处强度。为中央明纹中心处强度。单缝衍射图样模拟单缝衍射图样模拟讨论讨论: 当当 时，时， ，kausinkasin) , 3 , 2 , 1(k0)sin(2uududn由此得由此得 ，解得：，解得：uutg43. 11u43. 1sin1a010472. 0II 46. 22u46. 2sin2a020165. 0II 47. 33u47. 3sin3a030083. 0II 次极大的光强比中央明纹中心的强度