图形变换及齐次坐标

1、P(x,y)P(xy)mnXYyxP(x,y)P (x ,y )mnyxxy2 旋转变换(x,y)(x,y)一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。c o ss inxycos()cos cossin sincossinsin()sin coscos sinsincosxxyyxy yyxxy x P(x,y)P(x,y)P (x ,y )P (x ,y )3 比例变换P(x,y)P(x,y)x = x*sxy= y*sySx = Sy： 均匀缩放。Sx = Sy 1，放大Sx = Sy 1，缩小Sx 不等于Sy时，沿坐标轴方向伸展和压缩YX5 错切变换 (SHEAR)(1) 沿x方向产生错切x

2、= x + y*tag()y = y(2) 沿y方向产生错切x = xy = y +x * tag()(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)YXYX1. 齐次坐标 齐次坐标就是一个n维矢量的(n+1)维矢量表示。 例如：二维坐标点P(x,y)的齐次坐标为：(H*x, H*y, H)。 二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规格化的齐次坐标，即取H=1。(x,y) 的规格化齐次坐标为 (x,y,1)。 齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为常数的一平面上的二维向量。二维图形变换的矩阵表示多个变换作用于多个目标多个变换作用于多个目标变换合成变换合成变换合成的问题变换合成的问题引入

3、齐次坐标引入齐次坐标 变换的表示法统一变换的表示法统一1 0 0 1 10 1 00 0 1xyx y 0 0 1x y 10 b 00 0 1xaxybyaxy1 0 0 1 10 -1 00 0 1xyx y1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1xyx y1 0 0 1 1 0 -1 0 0 0 1xyx ycos sin 0 y 1 y 1 -sin cos 0 0 0 1xx(x,y)(x,y) 1n m0 1 00 0 11y x 1n y mx1 y xnyymxxP(x,y)P(xy)mnXY(m,n)(x,y)(x, y)(x1,y1)(x2,y2)mn123(x,y)7.

4、 绕任一点的旋转变换绕任一点的旋转变换 假定该任一点为假定该任一点为P(m,n),旋转旋转角为角为1 0 01 y 1 1 x y 10 1 0-m -n 1c o s s in 02 y 2 1 x 1 y 1 1 -s in c o s 0 0 0 11 0 0 x y 1 x 2 y 2 1 0 1 0m n 1xx123 y 1 x y 1 T T TxT1T2T3(,; )(,)( )(,)rrrrrrR xyTxyRT xy(,;,)(,)( ,)(,)rrxyrrxyrrS x y s sTxyS s sT x yTranslate2D(1,0);Rotate2D(45);Hou

5、se();Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();sdy dx q d c p b as dzdy dx r j ih q f e dp c b a 1 0 0 00 j 0 00 0 e 00 0 0 a1 zy 1 z y xxs 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1- 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1- 00 0 0 11 dzdy dx 0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 zy x XYZ(x,y)(xy)YZ

6、OO(xy)(x,y) 1 0 0 00 cos sin- 00 sin cos 00 0 0 11 zy x 1 z y xXYZ(x,y)(xy)XZOO 1 0 0 0 0 cos 0 sin0 0 1 0 0 sin- 0 cos1 zy x 1 z y x矩阵表示为XYZ(x,y)(xy)XYOO 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin-0 0 sin cos1 zy x 1 z y x(l,m,n)(x,y,z)(x,y,z)XYZONON21XYZ1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin-0 0 sin cos 1 0 0 0 0 cos 0 sin

7、0 0 1 0 0 sin- 0 cos1 1 0 01n m l22221111zxyBCALL（1）将空间直线平移，使之通过坐标原点T=0 1 0 0 0 0 1 0-X1 -Y1 -Z1 11 0 0 0（2）绕x轴旋转角使之位于XOZ平面内 直线段L在YOZ平面上的投影L L2= B2+ C2 Sin=B/L cos=C/LzxyBCALL0 cos sin 0 0 -sin cos 00 0 0 11 0 0 0Rx=(3) 绕y轴顺时针旋转角(使之与Z轴重合) 由于绕x轴旋转时，x坐标不变ALLSin =A/L cos =L/LL2-A2= B2+ C2=L2 0 1 0 0 -sin 0 cos 0 0 0 0 1cos 0 sin 0Ry=-sin cos 0 0 0 0 1 00 0 0 1cos sin 0 0Rz=(4)绕z轴旋转角(5)绕y轴逆时针旋转角(使之位于XOZ平面内)sin 0 cos 00 0 0 1Ry=cos 0 -sin 00 1 0 0(6)绕x轴顺时针旋转(使之恢复通过原点的直线)0 sin cos 00 0 0 1Rx=1 0 0 00 cos -sin 0(7)平移使坐标原点返回到它原始位置0 0 1 0X1 y1 z1 1T =1 0 0 00 1 0 0因此，绕空