长记忆时间序列模型及应用

1、长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用王明进王明进 博士博士北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院商务统计与经济计量系商务统计与经济计量系 教授教授金融风险管理中心金融风险管理中心 主任主任20102010年年6 6月月主要内容主要内容nARMA模型的回顾；n长记忆的概念；n长记忆的检验方法；nARFIMA模型；n一些应用；1. ARMA模型的回顾模型的回顾时间序列研究的主要任务时间序列研究的主要任务n描述时间序列中的动态（Dynamic）关联性，用于理解其变化的规律或对其进行预测；n自相关性（autocorrelation）的刻画0, 1, 2,0, 1, 2, cov(,),

2、corr(,), ktt kktt kkkRy yy yARMA模型的形式模型的形式nARMA(p,q)模型n其中 是白噪声 11 ( )1,( ) ( )()( )1,qtptpqBBBByaBBBB 22()0, (),()0, for tttsE aE aE a ats taARMA模型的平稳性条件模型的平稳性条件n如果 ，那么ARMA模型定义了唯一的二阶平稳解( )0, for | 1zz0( )( )ttjtjjByaaBARMA模型的可逆性条件模型的可逆性条件n如果 ，那么ARMA模型能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归模型的形式( )0, for | 1zz0( )()()( )t

3、tjtjjBayyBARMA模型的自相关特征模型的自相关特征n任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数都是呈指数递减的，即n因此自相关函数绝对可和，, kkc eas k|kk 平稳过程的平稳过程的谱函数谱函数n谱密度函数是定义在 上的偶函数且满足n如果自协方差函数绝对可加，, 0, 1, 2,( )( )cos(), i kkkRfedfk d1( ), 1 2(0) 2i kkkkkffR eR ARMA模型的谱密度函数模型的谱密度函数n于是22*22*()( ), ;2()(1)(0)02(1)iaiaefefARMA模型的估计模型的估计n条件极大似然估计；n极大似然估计；n最小二乘估计；

4、单位根过程单位根过程n如果如果 ，那么，那么 称为称为单位单位根根过程，此时为非平稳过程。过程，此时为非平稳过程。n比如如下的比如如下的I(1)过程：过程：(1)0 ty11 ( )(1)( ) , ( )0, for | 1ptqtpBB yB azz 单位根的检验单位根的检验nAugmented Dickey-Fuller(ADF)检验(Said & Dickey 1981);nPhillips-Perron(PP)检验(Phillips & Perron 1988)；nPerron-Ng (PN)检验(Perron & Ng 1996)；nKwitkowski-Phillips-Schm

5、idt-Shin（KPSS）检验 (Kwitkowski et al. 1992)；上证指数日全距序列上证指数日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)19971999200220052007201000.020.040.060.080.10.12取对数之后的全距序列取对数之后的全距序列199719992002200520072010-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2单位根检验的结果单位根检验的结果RangelnRangeADF-t(10)-8.5557*-7.3599*ADF-t(20)-5.8614*-5.4457*PP-t-30.9954*-27.875

6、*PN-t-5.4938*-5.0333*KPSS3.9385*4.6528*自相关函数图形自相关函数图形0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6(a) Range 0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6(b) Log Range 估计的谱密度函数估计的谱密度函数00.511.522.533.50.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2估计的估计的ARMA模型模型n经过模型选择阶数得到2(10.9623 )(4.0875)(10.7248 )0.1

7、849AIC3743.20, BIC3761.46ttByB aARMA(1,1)残差的残差的Box-Ljung检验检验StatStatp-p-ValuValue eQ(10)Q(10)31.431.455554 40.00030.0003Q(20)Q(20)43.543.570701 10.00170.0017Q(50)Q(50)69.469.481818 80.03550.0355138.138.101016162. 长记忆的概念长记忆的概念基于自相关函数的定义基于自相关函数的定义n如果存在常数 ，使得n此时自相关函数不再绝对可和，01/2d21, as kdckk lim|njnjn 基

8、于谱函数的定义基于谱函数的定义n如果存在常数 ，使得n基于自相关函数和基于谱函数的定义是等价的。01/2d2 0( ) , dfaGs短程关联和长程关联短程关联和长程关联*n强相合过程（strong mixing）被称为短程关联（short range dependency）过程(Rosenblatt 1956);n不满足强相合性的过程称为长程关联（long range dependency）过程(Lo 1991, Guegan 2005)n长记忆过程属于这里的长程关联过程。3. 长记忆的检验长记忆的检验重新标度极差统计量重新标度极差统计量n重新标度极差（rescaled-range）统计量n

9、其中/TTTQRs11111/221max()min()1 () kkTtTtTk Tk TttTTtTtRyyyysyyT 重新标度极差统计量的性质重新标度极差统计量的性质n对于短期关联过程，n对于长记忆过程，n其中 称为Hurst指数1/2()TpQO T()HTpQO T1/2HdR/S 分析分析n在 对 的散点图上，短期记忆过程的点应分布在斜率1/2的直线附件，长记忆过程的点对应的直线斜率大于1/2.n根据回归方法得到对Hurst指数的估计。logTQlogT对对数全距序列的对对数全距序列的R/S分析分析45678933.544.555.566.577.5对应的斜率估对应的斜率估计为计

10、为0.8987，因此因此d 的估计的估计为为0.3987R/S分析方法的不足分析方法的不足nR/S分析方法其实对时间序列当中的短程记忆比较敏感，模拟结果显示，即便对于自回归系数为0.3的AR(1)过程，经R/S方法得到的Hurst指数也有近乎一半的情形超过1/2. （Davies & Harte, 1987; Lo 1991）修正的修正的R/S统计量统计量111122111011max()min() ;12( )()( )()() 2)( () kkTjTjTk Tk TjjqTTTtTjtTtjTtjtjqjjTjQyyyyqyyqyyyyTTqq 修正的修正的R/S统计量的渐近分布统计量的

11、渐近分布对于短期过程其中V是定义在0,1上的布朗桥的全距1/2TTQVE( )/21.25Std( )(3)/60.27VV 对长记忆性的判断对长记忆性的判断n对于长记忆过程n因此利用该统计量可以对长记忆过程进行单边的检验。1/2pTTQ 对数全距序列的修正的对数全距序列的修正的R/S分析分析V-statV-statp-Valuep-Valueq=14q=144.26724.26720.00000.0000Newey-West (1994)Newey-West (1994)6.60496.60490.00000.0000Andrew(1991)Andrew(1991)3.46533.46530

12、.00000.0000对对ARMA(1,1)残差的残差的R/S分析分析V-V-ststatatp-p-ValuValue eq=14q=142.472.4786860.00020.0002Newey-Newey-West West (1994)(1994)2.162.1661610.00300.0030Andrew(1Andrew(1991)991)2.202.2072720.00220.00224. ARFIMA模型模型模型的形式模型的形式n分数次整合ARMA模型n或者n称之为I(d)过程，记为( )(1) ()( )dttBByB a ( )(1) ()( )dtttuBByaB ARFI

13、MA( , , )typ d q分数次差分算子分数次差分算子n其中n当 时该过程可逆。0(1) djjjBB011()(1)(1)11, !() () (1)jjdjddjdcjdjjdjjjd 1/2d 平稳解的存在性平稳解的存在性n当 时，该过程存在着平稳解，能够写成n其中1/2d 0(1)dttkt kkyBuu1()( ) (1)dkkdc kdk平稳解的自相关函数特征平稳解的自相关函数特征n对于平稳的情况，自相关函数满足n显然自相关函数呈双曲（hyperbolic）律递减（Sowell 1992; Chung 1994)21, 0dkc kd平稳解谱密度函数的性质平稳解谱密度函数的性

14、质n所以，2*2*( )1( ) 4sin ( 1/2,(/2)( ), ,1 ;/2)diwdfeffd 2( ) , 0dfasG记忆参数记忆参数d取不同值时取不同值时n当 时对应的是二阶平稳的长记忆过程，谱密度函数在0点奇异；n当 时对应的过程称为反持续（anti-persistent）过程，谱密度函数在0点处等于0；n当 时，对应的是短记忆ARMA过程,谱密度函数在0点处为正数；n当 时，对应的过程非平稳，方差无穷大，包含了单位根过程。01/2d1/20d0d 1/2d 模拟分数次白噪声的数据模拟分数次白噪声的数据0.3 . . .(0,1)(1),tttai i d NByaARFI

15、MA模型的估计模型的估计n条件极大似然估计；n极大似然估计；n非线性最小二乘估计；nBaillie (1996)对对数全距序列的估计对对数全距序列的估计0.44032(1)(4.0173)(10.1646 )0.1826AIC1193.711, BIC1211.972ttByB a对残差的检验对残差的检验StatStatp-Valuep-ValueQ(10)Q(10)6.1816.1814 40.79980.7998Q(20)Q(20)17.2217.2265650.63820.6382Q(50)Q(50)45.4545.4511110.65620.6562Q(100)Q(100)98.959

16、8.9563630.51070.5107q=14q=141.4251.4252 20.24520.2452Newey-West Newey-West (1994)(1994)1.4101.4101 10.26070.2607Andrew(199Andrew(1991)1)1.4141.4147 75. 一些应用一些应用对宏观经济变量的实证研究对宏观经济变量的实证研究nBaillie & Bollerslev (1994): 汇率nCrato & Rothman (1994), 多个宏观变量；nDiebold & Rudebusch (1989): GNP;nDijk et al. (2000): 失业率nHassler & Wolters (1995): CPI;nTsay （2000）