导数题型总结

1、导数题型总结(解析版)体型一：关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x)0得到两个根;第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见

2、处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-(已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x)，f(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上,3x243g(x)0恒成立，则称函数yxmxf(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x)126(1)若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足m2的任何一个实数m，函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大值43232xmx3x/xmx解：由函数f(x)得f(x

3、)3x126232g(x)x2mx3(1)Qyf(x)在区间0,3上为“凸函数”则g(x)x2mx30在区间0,3上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)分离变量法:g(0)g(3)解法二:-当x0时，g(x)2xmxx3时，g(x)x2mx等价于mx233的最大值x93m3030恒成立,0恒成立(0x3)恒成立,3而h(x)x-(0x3)是增函数，贝yhmax(x)h(3)2x/当m2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当m2时g(x)mx30恒成立变更主元法2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)再等价于F(m)mxx2F(F(2)2)例2:设函数f(x)(

4、i)求函数f132x2ax3(x)的单调区间和极值;3a2xb(0c22xx2x2xR)(n)若对任意的xa1,a2,不等式f(x)a恒成立，求a的取值范围(二次函数区间最值的例子)x3axa22解：(I)f(x)x4ax3a令f(x)0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)令f(x)0,得f(x)的单调递减区间为(一，*和(3a,+)当x=a时，f(x)极小值=a3b；当x=3a时，f(x)极大值=b.4(n)由|f(x)|wa,得：对任意的xa1,a2,ax24ax3a2a恒成立厶gmax(x)a22则等价于g(x)这个二次函数g(x)x24ax3a2的对称轴x2agmin(x)aQ0a

5、1,a1aa2a(放缩法)即定义域在对称轴的右边,g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x)x24ax3a2在a1,a2上是增函数于是,对任意xa1,a2,不等式恒成立，等价于g(a2)4a4a,解得-a1.g(a1)2a1a5又0a1,4a1.25g(x)maxg(a2)2a1.g(x)ming(a1)4a4.点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1b)处的切线斜率为3,3t62g(x)

6、x3x2(t1)x3(t0)2(i)求a,b的值；1,4时，求f(x)的值域;(出)1,4时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围。解:/2f(x)3x2axf/(1)3b1a'a解得b(n)由(i)知,f(x)在1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16f(x)的值域是4,16(川)令h(x)f(x)g(x)fx2(t1)x31,4思路1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0,即t(x22x)2x6分离变量思路2:二次函数区间最值、参数问题题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f

7、'(x)0或f'(x)0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集13a12例4:已知aR，函数f(x)xx(4a1)x122(i)如果函数g(x)f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值;(n)如果函数f(x)是()上的单调函数，求a的取值范围.1 2解：f(x)X312例5、已知函数f(x)x(2a)x(1a)x(a0).32(I)求f(x)的单调区间；(II)若

8、f(x)在0,1上单调递增，求a的取值范围。子集思想(I)f(x)x2(2a)x1a(x1)(x1a).1 、当a0时，f(x)(x1)20恒成立，(a1)x(4a1).41312(I)：f(x)是偶函数，a1.此时f(x)x当且仅当x1时取“=”号，f(x)在(，)单调递增。2 、当a0时，由f(x)0,得x-i1,x2a1,且x1x2,单调增区间：(，1),(a1,)单调增区间：(1,a1)(II)当Qf(x)在0,1上单调递增，贝U0,1是上述增区间的子3x,f(x)x23,124令f(x)0,解得：x2/3.列表如下:x(,2角243(2犬,273)2(2，+g)f(x)+00+f(x

9、)递增极大值递减极小值递增可知：f(x)的极大值为f(2.3)4_3,f(x)的极小值为f(2,3)4,3.()函数f(x)是(，)上的单调函数，12-f(x)X2(a1)x(4a1)0,在给定区间R上恒成立判别式法41贝V(a1)24-(4a1)a22a0,解得：0a2.4综上，a的取值范围是a0a2.集:1、a0时，f(x)在()单调递增符合题意2、0,1a1,a10综上，a的取值范围是0,1。三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还

10、是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；1(k1)1例6、已知函数f(x)x3x2，g(x)kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数.3 23(1) 求实数k的取值范围；(2) 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解:(1)由题意f(x)x(k1)x/f(x)在区间(2,)上为增函数，-f(x)x(k1)x0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k1x恒成立，又x2,k12，故k1k的取值范围为k1(2)设h(x)f(x)()x3(kg(x)3x2kx213，2h(x)

11、x(k1)xk(xk)(x1)令h(x)0得xk或x1由(1)知k1,当k1时，h(x)(x1)20,h(x)在R上递增，显然不合题意当k1时，h(x),h(x)随x的变化情况如下表:x(,k)k(k,1)1(1,)h(x)0一0h(x)/极大值极小值/32k1kk1_2623k1由于0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)0有三个不同的实根,2k3612-0,即(k1)(k22k2)3k1一0,，解得k13k22k20综上，所求k的取值范围为k1,3根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数f(x)ax3x22(1)若x1是f(x)的极值点且2xcf(x)的图像过

12、原点，求f(x)的极值;1(2)若g(x)bx2xd，在(1)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2图像恒有含x1的三个不同交点若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。解：(1)vf(x)的图像过原点，贝Uf(0)又x1是f(x)的极值点，贝yf(1)0c02f(x)3axx2,3a120a13x2x2(3x2)(x1)0f(3£/、2、221)f极小值(x)f()237等价于f(x)g(x)有含x1的三个根，即：f(1)g(1)d1-(b1)23x】X22xIbx222x2(b1)整理得：即：x3i(b1)x2x2(b1)0恒有含x1的三个不等实根(

13、计算难点来了:)h(x)3xi(b1)x2x1-(b1)0有含x21的根，(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x1的三个不同交点,则h(x)必可分解为(x1)(二次式)0,故用添项配凑法因式分解,十字相乘法分解:等价于12-(b1)xx2x2(b1)x21 2(b1)2442 11)2尹1)x3x2x2(b2x2(xx2(x1)1)1)x1x尹1)x2(x1(b2(b1)1)1)(xi(b1)x2x(b21)12(b1)x22x(b1)12(b1)x(b1)x12111)x尹1)x尹1)0恒有含x1的三个不等实根0有两个不等于-1的不等实根。1(b1(b1)1)0b(,1)(

14、1,3)(3,0题2:切线的条数问题=以切点X0为未知数的方程的根的个数例7、已知函数f(x)ax32bxcx在点Xo处取得极小值4,使其导数f'(x)0为(1,3)，求：(1)f(x)的解析式;(2)若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线,的x的取值范围求实数m的取值范围.(1)由题意得:f'(x)3ax22bxc3a(x1)(x3),(a0)在(，1)上f'(x)0；在(1,3)上f'(x)0；在(3,)上f'(x)0因此f(x)在X。1处取得极小值4abc4，f'(1)3a2bc0,f'(3)27a6bc0由联立得:(2)设

15、切点Q(t,f(t),2y(3t12tx36x29xyf(t)9)(xt)22(3t12t9)xt(3tf(t)(xt)32(t6t9t)212t9)t(t6t9)(3t212t9)xt(2t26t)过(1,m)m(3t212t9)(1)2t36t2g(t)2t32t212t9m022令g'(t)6t6t126(tt2)0,求得：t1,t2，方程g(t)0有三个根。击g(1)023129m0m16需：g(2)01612249m0m11故：11m16;因此所求实数m的范围为：(11,16)题3:已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、-(m

16、.+3)x2+(m+6)兀样(砒为常数.已知函数/(对=y?(I)当肌=4时，求函数只幻的单调区间；(II)若函数y=/(x)在区间(1,+a)上有两个极值点,求实数皿的取值范围.1372解：函数的定义域为R(I)当m=4时，f(x)=3X-x+10x,f(x)=x27x+10,令f(x)0,解得x5,或x2.令f(x)0,解得2x5可知函数f(x)的单调递增区间为(，2)和(5,+)，单调递减区间为2,52(n)f(x)=x(m+3)x+m6,要使函数y=f(x)在(1,)有两个极值点3)x+m6=0的根在(1,+)根分布问题：f(x)=x2(n+(m3)24(m6)0;则f1(m3)m60

17、;,解得m>3m31.2a31214例9、已知函数f(x)尹-x,(aR，ao)(1)求f(x)的单调区间；(2)令g(x)=-x+(xR)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.'2解：(1)f(x)axxx(ax1)1'1当a0时，令f(x)0解得x或x0,令f(x)0解得x0,aa1 1所以f(x)的递增区间为(，)(0,)，递减区间为(一,0).aa11当a0时，同理可得f(x)的递增区间为(0,丄)，递减区间为(,0)(-,).aa1a1(2)g(x)x4x3x2有且仅有3个极值点4 323222g(x)xaxxx(xax1)=0有3个根，则x0或xax10,a2方

18、程x2ax10有两个非零实根，所以a240,而当a2或a2时可证函数yg(x)有且仅有3个极值点其它例题：2,11、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b(a0)在区间上的最大值是5,最小值是11.(I)求函数f(x)的解析式;(n)若t1,1时，f(x)tx0恒成立，求实数x的取值范围解：(I)Qf(x)ax(I)若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行，求f(x)的解析式；(n)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时，设点M(b2,a1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为

19、1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I).由f(x)2x22axb,函数f(x)在x1时有极值,2ab20f(0)12ax2b,f(x)3ax24axax(3x4)4令f(x)=0,得X!0,X22,13因为a0，所以可得下表:x2,0f'(x)+f(x)/00,10-极大因此f(0)必为最大值，f(0)5因此b5,Qf(2)1635,f(1)a5,f(1)f(2),即f(2)16a511,a1,f(x)x32x25.(n)vf(x)3x24xf(x)tx0等价于3x24xtx0,令g(t)xt3x24x，则问题就是g(t)0在t1,1上恒成立时，求实数x的取值范围,2为此只需g(1

20、)0，即3x25x0,g(1)o'x2x0解得0x1，所以所求实数x的取值范围是0,1.2(1)已知函数f(x)x3ax2bxc2、(根分布与线性规划例子)又f(x)在(0,1)处的切线与直线3xy0平行,0f(0)f(x)*x23x(n)解法一：由f(x)22x2axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,易得同时f(0)f(1)fA(2,2a4a令M(x,y),0)，2y4y故点M所在平面区域S为如图ABC,B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,2)SABC2ABC的中位线，DEC四边形abed3所求一条直线L的方程为：另一种情况设不垂直于x轴的

21、直线L也将S分为面积比为与AC,BC分别交于F、G,k0,S四边形DEGF由2；kx得点F的横坐标为Xf22k14yx60二S四边形DEGFSOGESOFD121解得：k或k5-(舍去)28综上，所求直线方程为：x0或y1x2n)解法二：由f(x)2x22axb及f(0)0b0-f(1)0即2ab2'f04ab8(kxG的横坐标为得点3(由yXg64k124k12故这时直线方程为1:3kx,它2k1即16k22k50.12分f(x)在x(0,1)取得极大值且在xx令M(x,y),贝Uy(1,2)取得极小值,ay12yx2bx24yx6易得A(2,0),B(2,1),SABC0故点M所在

22、平面区域S为如图ABC,0C(2,2),D(0,1),E(0,3),2同时DEABC的中位线,SDEC3四边形ABED所求一条直线L的方程为：x01另一种情况由于直线B0方程为：yx,设直线B0与AC交于H,21由y-x2得直线L与AC交点为：H(2yx20111SABC2,SDEC2,SABH222所求直线方程为：X0或ylx23、(根的个数问题)已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd(a0)的图象如图所示。解：由题知:(i)求c、d的值;(n)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为求函数f(x)的解析式;(川)若X05,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数f(x)3ax22bx+c-3a-2b3xy110,a的取值范围。(i)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且f得d3a2b3a2b0c(n)依题意12a4b3a2b3解