导数压轴题之极值点偏移归纳总结

1、极值点偏移问题一、问题指引f(2mx),那么函数f(x)关于直线xm对极值点偏移的含义众所周知,函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且假设f(x)为单峰函数,那么xm必为f(x)的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0,假设f(x)c的两根的中点为人心2x0,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移.2假设相等变为不等,那么为极值点偏移：假设单峰函数f(x)的极值点为m,且函数f(x)满足定义域内xm左侧的任意自变量x都有f(x)f(2mx)或f(x)f(2mx),那么函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同.故

2、单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1)f(x2),那么x1x2与极值点m必有确定2的大小关系：什xix2,八4xi义2一一.,八右m,那么称为极值点左偏；假设m2,那么称为极值点右偏.22叶X1例二二6如函数g(x)x的极值点xo1刚好在方程g(x)c的两根中点色22的左边,我们称之为极值点左偏e22以函数函数yx为例,极值点为0,如果直线y1与它的图像相交,交点的横坐标为1和1,我们简单计算:1.x假设函数fx存在两个零点Xi,X2且XiX2,求证：XiX22x0X.为函数fx的极值点；0.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处,此时我们称极值点相对中点不偏移2 .假

3、设函数fX中存在X1,X2且X1X2满足fX1fX2,求证：XiX22x.X.为函数fX的极值点；.,、X1x23 .假设函数fx存在两个零点Xi,X2且XiX2,令X.,求证：f'x.0;2xiX24.假设函数fx中存在Xi,X2且XiX2满足fXifX2,令X.,求证：fX.0.2二、方法详解一根本解法之对称化构造例i是这样一个极值点偏移问题：对于函数fxxeX,fxfx2,xix2,证实xx22.再次审视解题过程,发现以下三个关键点：iXi,X2的范围0x1ix2；2不等式fxf2xxi；(3)将X2代入(2)中不等式,结合fx的单调性获证结论.小结：用对称化构造的方法解极佳点偏

4、移问题大致分为以下三步：stepl：求导,获得fx的单调性,极值情况,作出fx的图像,由f%fX2得x1,X2的取值范围(数形结合)；2step2：构造辅助函数(对结论x1x22x),构造Fxfxf2x0x；对结论x1x2比,2构造Fxfxf),求导,限定范围(xi或x2的范围),判定符号,获得不等式；xstep3：代入xi(或x2),利用fxifx2及fx的单调性证实最终结论.下面给出第(3)问的不同解法【解析】法一：f(x)(1x)ex,易得f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,x时,1f(x),f(0)0,x时,f(x)0,函数f(x)在x1处取得极大值f(1),且f(1)

5、-,e如下图.由f(x1)f(x2),x1x2,不妨设x1x2,那么必有0x11x2,构造函数F(x)f(1x)f(1x),x(0,1,一x2x那么F(x)f(1x)f(1x)(e2x1)0,所以F(x)在x(0,1上单调递增,F(x)F(0)0,e也即f(1x)f(1x)对x(0,1恒成立.由0x11x2,那么1x1(0,1,所以f(1(1x1)f(2x,)f(1(1x,)f(x1)f(x2),即f(2x)f(x2),又由于2x,x2(1,),且f(x)在(1,)上单调递减,所以2x1x2,即证x1x22.法二：欲证x1x22,即证x22x1,由法一知0x11x2,故2x,x2(1,),又由

6、于f(x)在(1)上单调递减,故只需证f(X2)f(2%),又由于f(xjf(X2),故也即证f(x)f(2X),构造函数H(x)f(x)f(2x),x(0,1),那么等价于证实H(x)0对x(0,1)恒成立.1x由H(x)f(x)f(2x)-(1e2x2)0,那么H(x)在x(0,1)上单调递增,所以eH(x)H(1)0,即已证实H(x)0对x(0,1)恒成立,故原不等式x,x22亦成立.-xcx2Xx2法二：由f(x,)f(x2),得xex?e,化简得e,x1不妨设x2x1,由法一知,oX1x2.令tX2X,那么t0,x2tx1,代入式,得ettx1x反解出x1,贝Ux1x22x1te12

7、t2t一t,故要证：x1x22,即证：一te1e12,又由于e10,等价于证实:2t(t2)(et1)0-,构造函数G(t)2t(t2)(et1),(t0),那么G(t)(t1)et1,G(t)tet0,故G(t)在t(0,)上单调递增,G(t)G(0)0,从而G(t)也在t(0,)上单调递增,G(t)G(0)0,即证式成立,也即原不等式x1x22成立.法四：由法三中式,两边同时取以e为底的对数,得x2x1In上Inx2Inx1,也即Inx2Inx1X2x1从而X1,、Inx2Inx1X2(X1X2)X2X1X2X2,nX2X1X1上1In,&1X1X1t(1,)上单调递增,由洛比塔法

8、那么知:IimM(t)Iim也X1X11)Intt1Iimx1(t1)令tjX2-(t1),那么欲证：X1X22,等价于证实：-11nt2,Xt1即证M(t)2,即证式成立,也即原不等式X,x22成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来到达消元的目的,方法三、四那么是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,从而到达消元的目的.【类题展示】函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点x,?.证实：Xx22.【解析】由工十仪工得/口5二(工a/十如可知co在?td.D上单调递减,在Q：上单调递幅要使国薮有两个零点再f,那么

9、必须白'0.法一：构造局部对称硝卜妨设甬由单调性知X1H一双D町2口田),所以2一巧又7FC0在170.D单调速城j故要证：瓯+$<2_,等价于证实：=0又巧)+«、一目,(/):(吃一2"叼+应三一1尸=0二/Q%)=石31一(电2"%构造的敌泰力三-Y(l2)/,*«L也以由单调性可证,此处咯法二：参变别离再构造差量函数,由得：fxifx20,不难发现x11,x21,故可整理得:xi2e,1x22ex2a-,设gxX1x21x2ex,贝UgXgx2x1那么g'xx221V-e,当x1时,g'X0,gx递减；当x1时,g&

10、#39;Xx10,gx递增.设m0,构造代数式：g1mg1mm11m1m1mm12meee1mmm1设hmm-e2m1,m0那么h'mm122m2m2em10,故hm单调递增,有hm因此,对于任意的m0,g1mgx可知不、x2不可能在gx的同一个单调区间上,不妨设Xx2,那么必有X1x2令m1X0,那么有g11xig2XigXigX2,而2xi1,x21,gx在1,上单调递增,因此：g2xigX22xiX2整理得：XiX22.法三：参变别离再构造对称函数x2ex由法二得gX厂,构造G(x)g(x)g(2x),(x(,1),利用单调性可证,此处略.x1注血7丽造增强蹒【分析说明】由于原函

11、数的不又措,故磊望构造一个关于直线宣=1对称的函物奴只,使得当X时,时,式上"结合图象,易证序不等式成立【解答】由6)=(兀-2)十火工一1)0Ax)=(x-1X+2),故希望构造一个函数使得尸G)+2G(工1)(察+20=31)(/助,从而F(盼在(rcj)上单调递噜J在a十上单调递增,从而构造出虱哥=+警f+c(仁为任意常班储R由于物门希望FQ)=O,而D=引故取.=三,从而到达目的.故g二色立誓-设双X)的两个零点为均鼻J结合图象可知：西M的1%知所以为+均V均+%=2,即原不等式得证一法五：利用时数平均不等式参变别离得：a(2Xi耳(2乂2)/,由a0得,x11x22,(Xi

12、1)2(X21)212r,(2Xi).(2X2)将上述等式两边取以e为底的对数,得lnj笠Xiln-fX2,(Xi1)(X21)化简彳导:ln(x11)从而X1X2elnX1lnX22u1U2法二：利用参数a作为媒介,换元后构造新函数:不妨设X1X2,lnx1ax10,lnx2ax20,1-lnx1lnx2a(x1x2),1nxilnx2a(x1x2),ln(x21)2ln(2x1)ln(2x2)x1x2,22_故1ln(x1D1n(X2Dln(2X1)1n(2x2)X1X2X1X2(Xi1)(X21)22ln(x11)2ln(x21)2ln(2X)ln(2x2)由对数平均不等式得:(X11)

13、2(x21)2(2Xi)(2X2)ln(Xi-1)2-ln(X2-1)2(X11)2(X21)2221(X11)2(X21)2ln(2-Xj-InQ")(2X1)(2X2)(2X1)(2X2)'从而12(x1x22)2(X1X22)等价于:由(X122(X11)(X21)(2x.(2X2)(X1221)(X21)4(X1X2)X1X224(X1X2)(X12(X1X22)11)2(X21)21X1X224(X1X2)1)22(x142)22(X11)(X21)2(X21)20,4(X1xx224(X1X2)(X1X22)22(X11)(X21)4(X1X2)X2)0,故X1X

14、22,证毕.(二)含参函数问题可考虑先消去参数【例2】函数f(x)lnxax,a为常数,假设函数f(x)有两个零点X1,X2,.、一2试证实：X1X2e.【解析】法一：消参转化成无参数问题:f(x)0lnxaxlnxaelnx,x,X2是方程f(x)0的两根,也是方程lnxae1nx的两根,那么lnx/nx?是xaex,设ulnx1,U2lnX2,g(x)xex,那么g(u1)g(u2),2,此问题等价转化成为例1,下略.Inx1Inx22a,欲证实XX2e,即证Inx1Inx22.x1x221nxiInx2a(x1x2),.即证ax1x2八一Inx11nx22,xi2(xx2)人xx1原命题

15、等价于证实,即证：1n令t一,(t1),构造x1x2x1x2x2x1x2x2g(t)Int2t_1,t1,此问题等价转化成为例2中思路二的解答,下略.t1法三：直接换元构造新函数：1nx11nx2xx21nt1nx11nx11nx2x2,x2,1ntx1,设x1x2,t一,(t1),贝Ux2tx1,t1nx1xx11nx11nt.反解出：1nx1,1nx2t11ntx11nt1nxi1nt1ntt1ntt1t1故x)x2e21nx11nx22t1一-1nt2,转化成法二,下同,略t1【点评】含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元X,x2的根底上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想尽一

16、切方法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.1【类题展本】设函数f(x)a2x-2a1nax(a0),函数f(x)为f(x)的导函数,且x&."为),B(x2,f(x2)是f(x)的图像上不同的两点,满足f(x1)f(x2)0,线段AB中点的横坐标为xo,证实：axo1.【解析】:ax01x-x2-x1-x2,又依题意f(x)(a-)20,2aax2得f(x)在定义域上单倜递增,所以要证ax01,只需证f(x2)f(x1)f(-x2),a-2111即f(x2)f(x2)0,不妨设Xx2,注意到f(一)0,由函数单调性知,有x1-

17、,x2-,aaaa3224(ax1)3构造函数F(x)f(-x)f(x),那么F(x)f(x)f(x)2,aax(2ax)1_当x时,Fa1,一F(-)0,从而不等式式成立,故原a1,(x)0,即F(x)单调递减,当x时,F(x)a不等式成立_X1【类题展本】函数f(x)xe(a0),假设存在为2(为X2),使f(x1)f(X2)0,求证：一ae.X2InrIny【解析】国蓟,在)的零点等价于方程M=巴士的实根,令冢切=巴士；.?0)XX求导可知,虫灯在上单调速憎,在g的)上里调递;吼g(戏外二冢包)二、&(力下证：当o口?工时,方程"=叱4二也有两个实根一exx当KE(Q叁

18、时,g是减图数,.鼠1人."»=Lge,当x匕0)=g(x)为僧函数,回=0.00)L鼠D?日?政欧eIri工,当工£(0*)时启=一有一解,记为/一X当工十刈时I晨冷为减函数,式4)=-%aa先证tg(-lr)?口,即证；alna,h(a)=-nlna=(q>0)>日2求导由m冷的单调性可得Jg)的=应3=2>L故不等式.m即证：疹包22也即原不等式虱4)?口成立.a*,当XW(金+土)时,门有一解,记为吃.Xx1x1ax1ax1x1ax1ae再证一ae一一,而0xiex2,lnx21,.-.-ae.证毕.x2x2ax2Inx2x2Inx21【

19、类题展示】函数f(x)xaex有两个不同的零点xi,x2,求证：x1x22.【解析】由于函数f(x)有两个零点xi,x2,所以x1aexi(1)x2aex2(2)由(2)得：x1x2a(ex1e'2),要证实xx22,只要证实a(e"ex2)2,xxex1ex2ex1x21由(1)得：X1x2a(e1e),即a1-xr,即证(x1x2)f-x22(x1x2)x1x22,eeeee1不妨设%X2,记tX1X2,那么t0,et1,因此只要证实：t"eT2t2e一D0,et1et1再次换元令etx1,tinx,即证Inx2(x10x(1,)x1构造新函数F(x)Inx4(

20、x1)22x_n,F(1)0,求导F'(x)7ab12x1x(x1)220,得F(x)在(1,)x(x1)ab即调和平均数小于等于几何平均数小于等于算术平均值小于等于等号成立的条件是ab.递增,所以F(x)0,因此原不等式x1x22获证.(三)对数平均不等式我们熟知平均值不等式:a,bR2-2ab平方平均值2ab(2)我们还可以引入另一个平均值：对数平均值:abInaInb那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式:b,aababb,vatK<InaInb2以下简单给出证实:lnxx1x/2(x1)bx,那么原不等式变为：x1,x1【例3】设函数f(x)exaxa(aR),其图

21、象与x轴交于&.0),B(x2,0)两点,且为网.(D求实数a的取值范围；(I)证实：f(Jx1x2)0(f(x)为函数f(x)的导函数)；【解析】(I)f(x)exa,xR,当a0时,f(x)0在R上恒成立,不合题意当a0时,易知,xlna为函数f(x)的极值点,且是唯一极值点,故,f(x)minf(lna)a(2Ina)当f(x)min0,即0ae2时,f(x)至多有一个零点,不合题意,故舍去；当f(x)min0,即ae2时,由f(1)e0,且f(x)在(,lna)内单调递减,故f(x)在(1,lna)有且只有一个零点；由f(lna2)a22alnaaa(a12lna),“一22_

22、22令ya12lna,ae,那么y10,故a12lnae14e30所以f(lna2)0,即在(lna,21na)有且只有一个零点(I)由(I)知,f(x)在(,1na)内递减,在(lna,)内递增,且f(1)e0Inax221na,由于f(x1)ex1ax1a0,f(x2)_x?eax2a0ex1ax11ex2x2x11ex11ex21彳(x11)(x21)-一,所以1-x211n(x1)1n(x21)J(xJ1)右1)所以xx2(x1x2)0,要证:f(jxjX")0,只须证eEa,即Jx1x21na故,J为x2x11n(x11),Jx1x2x21n(x21)所以2jx1x2x1x

23、21n(x11)(x21),所以1n(x1x2(x1x2)1)x1x22jx1x2由于x1X2(x1x2)0,所以1n(xx2(x1x2)1)1n10,而x1x22j%x20所以1n(x1x2(x1x2)1)x1x22x1x2成立,所以f(.x1x2)01nx【类题展示】函数fxX-(aR),曲线yfx在点1,f1处的切线与直线xy10xa垂直.(1)试比拟20212021与20212021的大小,并说明理由;(2)假设函数gxfxk有两个不同的零点x1,x2,证实：X1?X2e2.1解析】试题分析:CI)求出f的导数由两直线垂直的条件：斜率相等,艮国得到切的斜率和切点坐标进而式式)的解析式和

24、导数,求出单调区间,可得M2021)>f(20213即可得到Ml#5与2CLP的大小JCII)运用分析法证实,不妨设X>X2>0,由根的定义可得所以化简得Inx.-kK=0*1阅-皿=0,可得lnxi-nxz=k1却-位),Inxi-lnx2=k(mi-xz),要证实,w叱>囱,.即证实LnxlHt>上也就是k(苴+出)>2.求出匕即证期二星,令五二/,那么t>l,即证nf方出1.令五(.二改一乂二西一时河+向均r+1r十1Ct>l).求出导氮.判断单调性,即可得证.试题解析：(1)依题意得f"x1nx,所以1a12-一,又由切线方程可

25、得f11,1a1a令fx0,即11nx0,解得0xe;令fx0,即11nx0,解得xe所以fx的增区间为0,e,减区间为e,所以f2021f2021,即包那么2021202120211n202120211n2021,2021202120212021(2)证实：不妨设x1x20由于gxgx20所以化简得1nxikx10,1nx2kx20可得1nxi1nx2kx1x21nxi1nx2kx12.要证实x1x2e,即证实1nx11nx2xx2由于k1nx11nx2Xx21nx1x11nx22X2x1X2r.x1即1n又2x1x2X2x1令一X2即证1nt1nt2101故函数h1,是增函数,所以0,即1

26、ntxx2【类题展示】函数f(x)1nx2ax(2a)x.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设a0,证实：当0时,1f(一x)a1f(一a(iii)假设函数yf(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x°,证实:f(%)0.【解析】(I)(II)略,(III)由f(X)f(x2)021nx1ax1(2a)x11n2、cax2(2a)x201nx11nx22(xx2)a(x；2x2x2)a1nx)2x)1nx22(x1x2)2x2故要证f(x0)x0又222x12x2x1x2x1x211nx11nx22(x1x2)1nx1nx21nx11nx2xX2根据对数平均不等,

27、此不等式显然成立,故原不等式得证四极值点偏移之一题多解12【例4】fxxlnxmx22x,mR.假设fx有两个极值点不,*2,且XX2,求证：xX2ee为自然对数的底数.解法一：齐次构造通解偏移套路2.证法1：欲证x1x2e,需证lnx1lnX22.假设fX有两个极值点X1,X2,即函数X有两个零点.又fxlnxmx,所以,X2是方程fx0的两个不同实根.于是,有lnlnx1mX|x2mx2lnx1lnx2X1X2另一方面,由lnx1lnx21mxim&0/日,0,得lnX2InXimX2Xi,从而可得lnx2lnx1X2X1lnx1lnx2X1X2是,1nxilnx2lnx2lnX1

28、x2X1X2.X2-ln-X1X1又0X1X2,设t要证lnX1lnt所以,X221X1x2,贝UtX1InX1InX2lnX22,即证：-1Int2,t即:1时,有2t1lnt为1.1时,有0,上的增函数.注意到,0,因止匕,0.2t1lnt.所以,t1有lnX1lnX22成立,X1X2解法二变换函数能妙解2证法2：欲证x1x2e,需证lnx1lnx22.右fx有两个极值点X,X2,即函数X有两个零点.又fxlnxmx,所以,X,X2是方程fx0的两个不同实根.显然m0,否那么,函数fX为单调函数,不符合题意.由.x：鼠oinx1inx2mx1x2,即只需证实m%+丐?2即可.即只需证实巧斗

29、9、一.室遽：删影xt号中用理搬增渚'm设营=*刈三2(附一1)x(2mjc-1,、(2g二0r故(X)<f由于广=!一鹏=,故r但在q.t<XQ,令苒=马.那么/'叼=/'五v/；五解法三构造函数现实力证法3:由x1,x：是方程x0的两个不同实根得minx人,令gxxinx由于1inx因此,在1,e设1x1x：需证实x1x2：一e,只需证实x1x：0,e,只需证实fx1：er一,即x：x：x：x：2fex：0.来源:微信公众号中学数学研讨部落1,ee,0,即ffx：x12fex1由于x：e,所以x：e一,即x1xx：x1：inxex解法四巧引变量一证法4：

30、设力1nxi0,1,t：inx：1,ininx：mx1mx：0/日tc得0tmet1t1t：7"met：kekk八2ktit20,那么t1r一,t2一.欲证X1X2e,e1e1蔻证In演+Lnx；2.即只需证实彳*%2r即->2es>jt(l+et)<2(e*-1)o出14门-29-1)<0.设=耳1+¥)-2卜*一1)出<0),£(妇=H-J+1,£*(>)=te*<0.故/(上,在(Y.0",故/住)?r(0)=0,故g在(YT,因此以灯以0)=0.命眼傅解法五巧引变量(二)【解析】证实:法一二S/

31、(x)=X1-(a-2)x-anx,X1x2f(T)0.得r(x)=2-(-2)-=X七分七二二工一人"-1)Jxx2故且有门;o时,方程F3=C才有两个不相等的夹鸵根X-,巧不妨设看V七,那么0巧不巧,化蔺得；口二卫4二支二士二再+1口毛一毛一In%et1t2,设lnX22,即只需证实Lt22,0,设gk【类题展示】函数f(x)x2(a2)xalnx,假设方程f(x)c有两个不相等的实数根x1,X2,求证:两式相标得:当“一3-2)&一右1口jc.十(口一2)巧十口111巧=00,1,t2lnx21,那么由lnx1mx1Inx2mx200t1t1k0,1,那么Gklnk?k

32、1t22,需证lnX1k1lnk.欲证x1x2e2lnklnk2k1kk10,1,g2k1k2kk1g10,命题得证.证法5:设Llnx1t1t2t1me一t2me2k1lnkk12k1k1lnk0,故gk在0,1,因此gk2k1k1欲证：f(xX22a(-),结合f(x)的单调性,2等价于证实:XiX22X12Xx222x2x1In%x2Inx2x1Inx2282x2x1x2cx1八22x231x2令t',(0x21),构造函数g(t)2t_Int,(0t1t1),求导由单调性易得原不等式成立,略x1八法二：接后续解：由得：(Xx2)(x1x2)(a2)(Xx2)aIn0x2an即；

33、("+心)(1一2)-邑=0网一巧«ln)=(为+为)-02)2d2(A-1)-On至4F)二巴-三)jqXy西+电工取取心构造函数m(t)Int1),求导由单调性易得m(t)0在t(0,1)恒成立,又由于a0,x1x2c,x10,故f(x2,)0成立.法三：接后续解：视X1为主元,2(xx9)1设g(x)InxInx2,g(x)一Xx24X2(xX2)2072,720(XX2)(xX2)那么g(x)在x(0,X2)上单调递增,故g(x)g(X2)0,X1X20,故f(2)0成立.2法四：构造函数h(x)f(-x)2f(ax),(0x2a、),2那么h(x)aaf(-x)f

34、(-x)4x2,a.,a(x)(22X)从而h(x)在(0,a)上单调递增,故2a、对x(0,一)恒成立,从而f(x)2h(X)h(0)f(ax),(00,呜x)a、x-),2那么f(X2)由X2,aXi(,2a),且f(x)在(-,2x)f(Xi)f(aXi),)单调递增,故"aX|,即ar,一,从而f(2)0成立.三、跟踪练习1、函数2axxee为自然对数的底数.(1)讨论g的单调性;(2)假设函数xIngx2ax的图象与直线ymmR交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为证实：fX00(fx为函数fx的导函【斛析】(1)由题可知,(幻=/51+M$而(20,+口,当日<2时

35、,今力之0,贝1(2-口)无+1之口,-彳之a-2令那么.x<口一2日二2时F>0j当口)2时,令/2r+x令式力<6那么(句工十1±0?二工之?,口-2二单谪递管.当口:2时综上：邕口<2时,在皿一；上单调嘘减,在1:宜&)在於上里调掳增.当白>2时,T=式力在;二工1卜单词逆憎,在上里调谟减.(2)fx2axInxe2aX2,Inx2axax(x0),/.fx2x1ax15当a0时,0,y0,上单调递增,与直线ym不可能有两个交点,故a0.单调递减.不妨设Xi,mX2,mXiX00,X2a2ax需证aX0,所以只需证.设F2afX122ax1

36、x2ax0,那么XXiX2,XqXiX2X2即证:InaXInaX0,1在0-上单调递增,在af-X1a时,1,、x在0,上单倜递减,a0,原不等式成立.2、函数fXXlnX2_axxaaR在其定义域内有两个不同的极值点1求a的取值兀范围.2设fx的两个极值点为X1,X2,证实X1X2e2.【解析】试题分析；?1?极值点转化为导曲数零点,即M注+2亚=.在0,2有两个不同根.变量别离为口=-学,利用导数可得函数尸=竽在oq上单调温,在值收上单调增,根据趋势可得函数2x2x?二位在0.司上范围为lx,在公+®上范围为|,oL因此要有两解,1人必/.利用导教证实不等式关键是构造恰当的国幼

37、：岑士?/等份=nx1+lu三20口为+七2口直_12而由零点可得S一代人化简得向工卫国,令五=h那么Sr,因此构造函数刎山一假设！,利用导数求苴最小值为通血由于川,船潞题得证试题解析：1依题意,函数fX的定义域为0,所以方程fXQ在0,有两个不同根.即方程Inx2ax0在0,有两个不同根lnx转化为,函数gx与函数yp1lnxr一一又gx,即0xe时,x2a的图象在所以gx在0,e上单调增,在,e,上单调减,0,从而上有两个不同交点e时,gx0,又gx有且只有一个零点是1,且在0时,g的图象,lnx要想函数gx与函数x一一11八帝02a-,即e2e2a的图象在0,2由1可知xi,x2分别是方

38、程lnxaxx10,作差得,lnax1x2x23、ln-x22x1x2x1x21nt1,gt函数0,即不等式1ntxlnx2ax1求gx的单调区间;2假设函数fxgx的导函数,证实:xx22【解析】试题分析:递增,当a0时,gx极大=9时,gx0,所以由g上有两个不同交点,0的两个根,即lnxiaxi,lnx2ax2,x1令一X22t12tt1ln-x2.原不等式x1&0,函数2,e等价于1nxi1nx22lnx2成立,故所证不等式xx2x,aR.2x,x1,x2xx2是函数f0.2Kx2Int1,上单调递增,x的两个零点,f是函数f1先求函数导数,根据导函数是否变号进行讨论,当a0时

39、,g导函数有一零点,导函数先正后负,故得增区间为10,一,减区间为ax0,g利用分析法先等价转化所证不等式：要证实fXiX22一r20,只需证实XiX21nxi1nX2XiX2(0XiX2),即证实2X1X21nxilnx2,即证实二iX2XX2XlilnX2Xit0,1,构造函X2X2ht在0,i上递增,所以数htItInt2t2,利用导数研究函数ht单调性,确定其最值:hthi0,即可证得结论试题解析：当a0时,gx当a0时,gXgx的定义域为0,i-2ax2ax0x(；g0,gx递增I-一2ax2axx)0,gx递增;22ax2axix2xiaxixix-,gxa0,gx递减一,&quo

40、t;、,ii综上：,当a0时,gX的单调增区间为0-,单调减区间为-,aa当a0时,gx的单调增区间为0,由句是函数f(x)=lLX+X-OJC的防个零点有再)=1吗+0Kl=0巧)=lux,+aXj=0,相减得&=y无_1rLic,+七+七2Injq-Inx.%十三三一毛所以要证实'岁只需证实二一-幽心殳0(04巧巧)2J玉+与西一过即证实2Xix2XiX22土i1nxi1nx2,即证实x21n二*XiiX2X21tlnt2t2,那么ht111lnt-1,ht一二0ttt2x1-,令t0,1,那么htX2.ht在0,1上递减,hth10,.ht在0,1上递增,hth10所以*

41、成立,即fx乜024.设aR,函数f(x)Inxax,(1)讨论f(x)的单调性；(2)假设f(x)有两个相异零点x1,x2,求证1nxilnx22.1ax【解析】由题意,得f(x)a-x(0,),x当a0时,f'(x)0,那么f(x)在定义域上单增,1,1当a0,那么函数在(0,一)上单增,在(一,)上单减.aa(2)由得,1n为ax10,1n飞ax20,x1lnx1lnx2lnx1lnx2所以a=xx2所以Inx1Inx22等价于xx2xx2,x1Inx2即工1-1n8x22,x2设为x2,令t上x21,g(t)Int2(t1)那么g(t)14(t1)2(t1)2t(t1)20,所

42、以g(t)g(1)0,即Int2(t12,所以原题得证.r-t1即是lntt15.函数xxlnx的图像与直线m交于不同的两点Ax"x2,y2xx2证实：(i)fx上Z;当0x1时,fx0；f10；当x1时,fx0；当x0时,fx0(洛必达法那么)；当x时,fx,于是fx1的图像如下,得0x1x21.e(ii)均通函=f(M-£,那么r(x)=r(x)=l+lnjf+-S-f-(1+1ft.Y)-10<x<-fl+】n£40.1-e工N.那么广(算)7.,得F(/)在±Z,有F(x)<F,即沙/白0<jc<-(iii)椅&am

43、p;代入(ii)中不等式得了|百)</；I型一,又图)二了(马).敬,g26.函数f(x)Inxax(2a)x.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设a0,证实：当0工时,a,1,1f(x)f(x)；(ill)假设函数yf(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证实：f(x0)0.【解析】(i)易得：当a0时,1f(x)在(0,)上单调递增；当a0时,f(x)在(0,)上单调递增,在a1,(-,)上单调递减.a(11)法一：构造函数g(x)1.1f(x)f(x),(0法二：构造以a为主元的函数,1设函数h(a)f(ax)1一x-),利用函数单调性证实,方法上同,略；

44、a.,1f(x),那么h(a)ln(1ax)ln(1ax)2ax,ah(a)1ax1ax2x1.一一1.-1.一,解得0a,当0a一时,h(a)0,而axxh(0)0,所以h(a)1,0,故当0x时,af(一x)f(x).1、(III)由(I)知,只有当a0时,且f(x)的最大值f(_)0,函数yf(x)才会有两个零点,不妨设aA(xi,0),B(x2,0),0Xix2,那么0xi1,1小1x2,故一x1(0,一),由(II)得:aaaf(|x1)2x2一x1,于是x0a_111x1)f(-(一x1)f(x1)f(xi),又由f(x)在(-,aaax1x21一,由(I)知,f(x0)0.2a)

45、上单调递减,所以7.函数fx2lnxx2x,假设正实数x1,x2满足fx1+fx2=4,求证：x1x22.2证实：注意到f1=2,fx1+fx2=2f1,fx1+fx2=2f1,fx=-+2x10x2fx=2,f1=0,那么(1,2)是fx图像的拐点,假设拐点(1,2)也是fx的对称中央,那么x有xx2=2,证实xx22那么说明拐点发生了偏移,作图如下想到了极值点偏移,想到了对称化构造,类似地,不妨将此问题命名为拐点偏移,仍可用对称化构造来处理.不妨设0x11x2,要证x,x22x22x11fx2f2x14ff24fx1f2x1Fxfxf2x,x0,1,那么2-,2,1Fxfxf2x-2x12

46、2x141x10,x2xx2x得Fx在0,1上单增,有FxF1214,得证.1xx8.函数f(x)2e1 x(I)求函数f(x)的单调区间；(I)当f(Xi)f(X2),XiX2时,求证：XiX20【解析】(I)函数f(X)的定义域为Rf(X)(1X2)2X(1X)11Xyx(x1)22122e2e2-2e(1X)1X(1X)由f(x)0,得X0,由f(x)0,得函数的递增区间(,0),由f(x)0,得函数的递减区间(0,),所以f(x)maxf(0)1(I)解法一、利用函数的单调性求解“1X1X,令h(x)f(x)f(x)2e2e,x01X1X那么h(x)(x22x3)e2x(x22x3)XZ2T2X(1X)e令H(x)2_2x2_(x2x3)e(x2x+3),x0那么H(x)22x一.2(x2x2)e(x1),x0,那么H(x)一一2_2x_2(2x23)e1,x0由X0得,H(x)2(31)40,故H(X)在(0,)内单调递增故H(x)H(0)20,故H(x)在(0,)内单调递增由(1)及f国)故H(x)H(0)0,