大一下高等数学期末试题精确答案

1、单选题(共15每小题3分)1设函数f(x,y)在P(x0,y0)的两个偏导fx(x0,y0)，A.C.2若zInx|f(x,y)在P连续Blimf(x,y0)及limf(x0,y)都存在xx°yy0Inx，则dz等于(Inx|yIny)fy(xo,yo)都存在，则 f(x,y)在P可微 limf(x,y)存在(x,y)(xo,yo)C.ylnxInydxyInx.yIny.dyxInx|yInyB.-xInx.yIny,D.dxxInx.yInxdyy3设是圆柱面x22一y2x及平面z0,zf(x,y,z)dxdydz()02cos1dr002cosrdrf(rcos,rsin,z)

2、dz10f(rcos,rsin,z)dzB.02cosrdr01f(rcos0,rsin,z)dz2cosx1D.d0rdr0f(rcos0,rsin,z)dz1所围成的区域，贝U44若an(x1)n在x1处收敛，则此级数在x2处()n1A条件收敛B绝对收敛C发散D敛散性不能确定5曲线y2z22在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为().zxyA.(-1,3,4)B.(3,-1,4)C.(-1,0,3)D.(3,0,-1)二、填空题(共15分，每小题3分)1设x2y2xyz0，贝Hzx'(1,1).eInx2交换Iidxof(x,y)dy的积分次序后，I3设u2xyz2，则u在点M(

3、2,1,1)处的梯度为.n4. 已知ex，则xex.n0n!5. 函数zx3y33x23y2的极小值点是.三、解答题(共54分，每小题6-7分)1.(本小题满分6分)设zyarctan,求z，z.xxy2.(本小题满分6分)求椭球面2x23y22z9的平行于平面2x3y2z10的切平面方程，并求切点处的法线方程.3.(本小题满分7分)求函数zx22y在点(1,2)处沿向量I丄；3，j方向的方向导数。2214. (本小题满分7分)将f(x)展开成x3的幕级数，并求收敛域。x5. (本小题满分7分)求由方程2x22y2z28yzz80所确定的隐函数zz(x,y)的极值。6.（本小题满分7分）计算二

4、重积分（x2y2）d,D由曲线x,1y2,y1,y1及x2围成D7.（本小题满分7分）利用格林公式计算：Xy2dyx2ydx，其中L是圆周x2y2a2（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算xydxdydz，其中是由柱面x2y21及平面z1,x0,y0所围成且在第卦限内的区域.四、综合题（共16分，每小题8分）1.（本小题满分vn）2收敛。8分）设级数Un,Vn都收敛，证明级数（Unn1n1n12.（本小题满分8分）设函数f（x,y）在R2内具有一阶连续偏导数，且2x，x证明曲线积分(t,1)(0,0)2xydxl2xydxf（x,y）dy与路径无关若对任意的t恒有（1,t）f（x,y）d

5、y（oo）2xydxf（x,y）dy，求f（x,y）的表达式.一、单选题二、填空题（共（共1.-12.15分,15分,1edyy0ey参考答案每小题3分）:1.C2D3C4B5A每小题3分）f(x,y)dx3.2i4j(1)nxn12k4n0n!5.(2,2)三、解答题（共1解：x厶arctan丫+y54分，2y22xyxy22xy每小题6-7分)2.解:记切点(X。，y°,Z0)(3分).则切平面的法向量为n2（2忑,3%，6）满足:2x03y0(1,1,2)(3分），切平面：2x3y2z9or法线方程分别为：Zo2x，切点为:(1,1,2)或3.解:f(1,2)(2,4)(3分)

6、,4.解:f(x)(x3)1孕,<2因为(1)nxn1x3n1)3(T)(1)nn01n1J(x3)n,其中x6.(5当x0时，级数为1-发散；当x6时，级数为03(1)nn011一发散,故=(3xn0n/1、n1n1)(1)(x3)，x(0,6)，04xx5.解：由z12z8y4(y2z)1，得到x2z0,(22z8y再代入2x22y22z28yzz80,得到7z2z1,由此可知隐函数z（x,y）的驻点为(0,2）与（碍）。2由一2x412z8y在(0,2)点,1，因此2z-2y2z2x12z8y4,可知在驻点(0,2)与(0,16)有H0。(5分)715所以（0,2）为极小值点，极小

7、值为z1;在碍点,8，因此76.解：记D17.8.0D2:4152'0，所以（0,兰）为极大值点，极大值为7(x2Dy2)d(x2D1101y1yy2)d0，则DD1D2.(2分)D2L所围区(x2y2)d(4分)1dy2(x2yx2)dx3d22a,1r3dr0203(7分)xy2dyx2ydx(xy2)x)dxdy=(x2D选取柱xydxdydzn2d0；rcosy2)dxdy=面坐标rsinrdrn.a.(72n1=2sin2d02四、综合题(共1,n-,所以21,系:00(4rdrf（x,y）dy与路径无关.（4分）n11.(72UnVncos2）4）16分，每小题8分）0,13./0rdr=(1.证明：因为limun0,limvnnn(2分)故存在N,当nN时，（unVn)222UnVn2证明：因为2x，且x(2xy)2x，故曲线积分l2xydx因此设f(x,y)x2g(y)，从而(t,1)(0,0)2xydxf(x,y)dyt122100dx0tg(y)dyt0g(