圆锥曲线求最值方法总结及典型例题

1、圆锥曲线最值问题一5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。.求距离的最值B、M准+>4例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4,则AB的中点M至U直线y+1=0的最短距离解析：抛物线y=x2的焦点为F(0,1)，准线为y=1,过A、441线y=的垂线，垂足分别是Ai、Bi、Mi,4则所求的距离d=MMi+3=-(AAi+BBi)+3=1(AF+BF)42421ab+3=1x4+3=2424ii当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值4评注：

2、灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。.求角的最值.x2例2.M,N分别是椭圆一42i的左、右焦点，I是椭圆的一条准线，点P在I上，则/2MPN的最大值是解析：不妨设I为椭圆的右准线，其方程是x2<2，点P(2%'；2,y0)(y00),直线PM和PN倾斜角分别为和.M(2,0),N(2,0)kpMtany00222y°,kPN32tanV。0222V。2y0y0于是tanMPNtan()tantan_£23、21tantany0y01、23、222y0222236y26263y0V。MPNQ)2MPN即/MPN的最大值

3、为一.66评注：审题时要注意把握/MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值2例3.点M和F分别是椭圆252y-1上的动点和右焦点，定点B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值.95求一|MF|+|MB|的最小值.4解析：易知椭圆右焦点为F(4,0),左焦点F'(-4,0),离心率|MF|+|MB|=10一|MF'|+|MB|=10(|MF'|一|MB|)>故当M,B,F'三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10-2710.过动点M作右准线*=空的垂线，垂足为H,4则明|MH|Hn174|MH|MF|.5曰5是一|MF|+|

4、MB|=|MH|+|MB|>|HB|=4可见，当且仅当点B、M、H共线时，5|MF|+|MB|取最小值17.44评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系,是解决此类问题的常见思路。2例4.点P为双曲线y21的右支上一点，M,N分别为(x晌之y21和4(xJ5)2y21上的点，则PMPN的最大值为.解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点F1(J5,0)和右焦点F2(5,0).对于双曲线右支上每一个确定的点P,连结PFi,并延长pfi交OFiPNo为适合条件的最小的PN.于是于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM,连结PF2,交。F2于点No.

5、PMPNPM0PN0(PR1)(PF21)(PRPF>)2426故PMPN的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识,沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.例5.已知01,e2分别是共轲双曲线2x-2a2yr1的离心率，则01+02的最小值b2解析:2012,2ab2ab22，a202b22(e02)2401022a)b"2a2)4228b2考虑到61020,故得0102即01+02的最小值为2册.评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解,并注意基本不等式等代数知识的合理应用四、求面积的最值FG/3,0)的距离之比为例6.已知平面内的一个动点P到直线l：x4

6、3的距离与到定点32、311、，点A(1,),设动点P的轨迹为曲线C.32求曲线C的方程;过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点.求MAN面积的最大值.解析：设动点P至山的距离为d,由题意PF弓根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.3,e-32可得a2,b2a2c2故椭圆C的方程为:若直线l存在斜率,设其方程为kx,l与椭圆C的交点M(x1,y1),N(x2,y2)2x2将y=kx代入椭圆C的万程y1并整理得(14k2)x240Xix20,XiX24714k2是|MN|,(1k2)(XiX2)2.(1k2)(XiX2)24x1X2(1k2)1164k24上1k214k2又点A到直线l的距离

7、1|k2|.1k21故MAN的面积S-|MN|2从而s2_2(2k1)14k14k214k2当k=0时，S2=1得S=1当k>0时，S2<1得S<1244_当k<0时，S1-112得S72(1)(4k)24k若直线1不存在斜率,1八,则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2.于是MAN的面积S-2121.综上，MAN的最大值为J2.评注：本题将MAN的面积表不'为1的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由0求得面积S的最大值。五.求最

8、值条件下的曲线方程例7.已知椭圆的焦点F1(一3,0)、F2(3,0)且与直线xy+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.22解法1:设椭圆为W=1与直线方程x-y+9=0联立并消去y得：aa9(2a29)x2+18a2x+90a2a4=0,由题设=(18a2)24(2a29)(90a2-a4)>0a454a2+405>0a2>45或a2W9.a29>0,-1a2>45,故amin=375,得(2a)min=6V5,22此时椭圆方程为匕1453622解法2：设椭圆、2=1与直线xy+9=0的公共点为M(acosa,Va29sin),aa9则acosa<'a29sin+9=0有解.2a29cos()=9cos(+)=-9,/.|一9一i2a292a29V2a29>9a2>45,amin=35,得(2a)min=655,22此时椭圆的方程上匕1.4536解法3:先求得Fi(-3,0)关于直线x-y+9=0的对称点F(-9,6),设直线xy+9=0与椭圆的一个交点为M,贝U2a=|MF1|+|MF2|=|MF|+|MF2|>|FF2|=65,于是(2a)min=65,此时易得：a2=45,b2=36,22于是椭圆的方程为821.4536评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理