八年级因式分解难题附答案及解析

1、2017年05月21日数学(因式分解难题)2一.填空题(共10小题)1,已知x+y=10,xy=16,Wy+xy2的值为.2.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x-2)(x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：.3,若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是.4 .分解因式：4x2-4x-3=.5 .利用因式分解计算：2022+202X196+982=.6 .ABC三边a,b,c满足a2+b2+c?=ab+bc+ca,则ABC的形状是.7 .计算：1222+3242+5262+

2、1002+1012=.8 .定义运算ab=(1-a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论：2*(-2)=3a*b=b*a若a+b=0,则(a*a)+(b*b)=2ab若ab=0,则a=1或b=0.其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号).9 .如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=.10 .若多项式x2-6x-b可化为(x+a)2-1,则b的值是.二.解答题(共20小题)11.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.12 .因式分解：4x2y4xy+y.13 .因式分解(1) a3-ab2(2) (x-y)2+

3、4xy.14 .先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n26n+9=0,求m和n的值.解：:m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n2-6n+9=0(m+n)2+(n-3)2=0 m+n=0,n3=0 .m=-3,n=3问题：(1)若x2+2y22xy+4y+4=0,求正的值.(2)已知4ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,请问ABC是怎样形状的三角形？15 .如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为和谐数”.如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都

4、是和谐数.(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)介于1到200之间的所有和谐数”之和为.16 .如图1,有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及边长为b的大正方形的纸片.(1)如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式.(2)已知小正方形与大正方形的面积之和为169,长方形的周长为34,求长方形的面积.(3)现有三种纸片各8张，从其中取出若干张

5、纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，求可以拼成多少种边长不同的正方形.17 .(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;由此，你可以得出的一个等式为：(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.18 .已知a+b=1,ab=-1,设s1=a+b,S2=a2+b2,S3=a3+b3,，Sn=an+bn(1)计算瓯;(2)请阅

6、读下面计算S3的过程:ath'十遍+(厅y-b：4=(/+犷(7)+百+1占)-宙i+口%)=g-4汇绍+(/4玳»-白帅十©=g+5°)一口及。+切一因为a+b=1,ab=-1,所以S3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)-ab(a+b)=1Xs2-(-1)=S2+1=你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3)试写出Sn2,Sn-1,Sn三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算生.19 .(1)利用因式分解简算：9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a(a-1)2(1-a)20 .阅读材料

7、：若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值.解：m2-2mn+2n2-8n+16=0,(m22mn+n2)+(n28n+16)=0(m-n)2+(n-4)2=0,(m-n)2=0,(n-4)2=0,.n=4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求xy的值.(2)已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求ABC的最大边c的值.(3)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,贝a-b+c=.21 .仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以

8、及m的化解：设另一个因式为(x+n),得x24x+m=(x+3)(x+n),贝Ux24x+m=x2+(n+3)x+3nn+3=4m=3n解得：n=-7,m=-21丁另一个因式为(x-7),m的值为-21.问题：(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),贝Ua=;(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),贝Ub=;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值.22 .分解因式：(1) 2x2-x;(2) 16x2-1;(3) 6xy2-9x2y-y3;(4) 4+12(x-y)+9(x-

9、y)2.23 .已知a,b,c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),试确定三角形的形状.24 .分解因式(1) 2x4-4x2y2+2y4(2) 2a3-4a2b+2ab2.25 .图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.(1)图中的阴影部分的面积为；(2)观察图请你写出三个代数式(m+n)2、(m-n)2、mn之间的等量关系是.(3)若x+y=7,xy=10,贝U(xy)2=.(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图，它表小了.(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3

10、n)=m2+4mn+3n2.26 .已知a、b、c满足ab=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值.27 .已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积.28 .(x2-4x)2-2(x2-4x)-15.29 .阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是,共应用了一次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+-+X(x+1)2004,则需应用上述方法次，结果是(3)

11、分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+-+x(x+1)n(n为正整数).30 .对于多项式x3-5x2+x+10,如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3-5x2+x+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x-2)(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x-a),于是我们可以把多项式写成：x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n),(1)求式子中m、n的值；(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3-2x2-13x-10的因式.2017年05月21日数学(因式分解难题)2参考答案与试题解析1 .填空题(共10小题)1. (2016

12、秋？望谟县期末)已知x+y=10,xy=16,贝Ux【分析】根据多项式的乘法将2(x-1)(x-9)展开得到二次项、常数项；将2(x-2)(x-4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.【解答】解：二匕(x-1)(x-9)=2x2-20x+18;(x-2)(x-4)=2x2-12x+16;原多项式为2x2-12x+18.2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次y+xy2的值为160.

13、【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解：=x+y=10,xy=16,x2y+xy2=xy(x+y)=10X16=160.故答案为：160.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2. (2016秋？新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x-2)(x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2(x-3)2.项正确.3. (2015春？昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4.【分析】利用完全平方

14、公式(a+b)2=(a-b)2+4ab、(a-b)2=(a+b)2-4ab计算即可.【解答】解：x2+mx+4=(x±2)2,即x2+mx+4=x2±4x+4,m=±4.故答案为：士4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.4. (2015秋？利川市期末)分解因式：4x2-4x-3=(2x-3)(2x+1).【分析】ax2+bx+c(aw0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数ai,a2的积ai?a2,把常数项c分解成两个因数ci,C2的积ci?c2,并使aic2+a2ci正好是一次项b,那么可

15、以直接写成结果：ax2+bx+c=(aix+ci)(a2x+c2),进而得出答案.【解答】解：4x2-4x-3=(2x-3)(2x+i).故答案为：(2x-3)(2x+i).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.5. (20i5春?东阳市期末)利用因式分解计算：2022+202Xi96+982=90000【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=(202+98)2=3002=90000.【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.6. (2015秋？浮梁县校级期末)ABC三边a,b,c满足aZ+bZ+d=ab+

16、bc+ca,则ABC的形状是等边三角形.【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2,再化简得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,得出：a=b=c,即选出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c2=0,即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,解得：a=b=c,所以，ABC是等边三角形.故答案为：等边三角形.【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c,由三边相等判定ABC是等边三角形.7. (2015秋？鄂托

17、克旗校级期末)计算：12-22+32-42+52-62+-1002+1012=5151.【分析】通过观察，原式变为1+(32-22)+(52-42)+(1012-1002),进一步运用高斯求和公式即可解决.【解答】解：12-22+32-42+52-62+-1002+1012=1+(3222)+(52-42)+(1012-1002)=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+(101+100)=(1+101)X101+2=5151.故答案为：5151.【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.8. (2015秋？乐至县期末)定义运算ab=(1-a)b,下面给出了关于这种

18、运算的四个结论：2*(-2)=3a*b=b*a若a+b=0,则(a*a)+(b*b)=2ab若ab=0,则a=1或b=0.其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号).【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.【解答】解：2*(-2)=(1-2)X(-2)=2,本选项错误；a*b=(1-a)b,ba=(1-b)a,故a*b不一定等于b*a,本选项错误；若a+b=0,贝(a*a)+(bb)=(1a)a+(1b)b=a-a2+b-b2=-a2-b2=-2a2=2ab,本选项正确；若ab=0,即(1-a)b=0,则a=1或b=0,本选项正确，其中正确的有.故答案为.【点评】此题考

19、查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.9. （2015春？张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0_.【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.【解答】解：=1+a+a2+a3=0,a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,=a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.10. (2015春？昆山市期末)若多项式x2-6x-b可化为(x+a)2-1,则b的值是-8.【分析】利用配

20、方法进而将原式变形得出即可.【解答】解：x2-6x-b=(x3)2-9-b=(x+a)2-1,a=-3,-9-b=-1,解得：a=-3,b=-8.故答案为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.2 .解答题(共20小题)11.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展开(n+7)2(n-3)2,看因式中有没有20即可.【解答】解：(n+7)2(n-3)2=(n+7+n3)(n+7-n+3)=20(n+2),.(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2-b2=(

21、a+b)(a-b).12. (2016秋？农安县校级期末)因式分解：4x2y-4xy+y.【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解：4x2y-4xy+y=y(4x2-4x+1)=y(2x-1)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.13. (2015秋？成都校级期末)因式分解(1) a3-ab2(2) (x-y)2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；(2)原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式=a(a2

22、b2)=a(a+b)(ab)；(2)原式=W-2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.14. (2015春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n26n+9=0,求m和n的值.解：:m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n2-6n+9=0(m+n)2+(n-3)2=0 m+n=0,n3=0 .m=-3,n=3问题：(1)若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求*的值.(2)已知4ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-6b+18

23、+|3-c|=0,请问ABC是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把x2+2y2-2xy+4y+4=0,配方彳4至U(x-y)2+(y+2)2=0,再根据非负数的性质得到x=y=-2,代入求得数值即可；(2)先把a2+b26a6b+18+|3c|=0,配方彳4至U(a-3)2+(b-3)2+|3一c|=0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.【解答】解：(1)x2+2y2-2xy+4y+4=0x2+y2-2xy+y2+4y+4=0,(x-y)2+(y+2)2=0x=y=-2二二'；(2) va2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,a2-6a+9+b2-6b+

24、9+|3-c|=0,(a-3)2+(b-3)2+|3-c|=0a=b=c=3三角形ABC是等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题.15.(2015秋？太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为和谐数”.如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因止匕4,12,20这三个数都是和谐数.(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？

25、(3)介于1到200之间的所有和谐数”之和为2500.【分析】(1)禾I用36=102-82;2016=5052-5032说明36是和谐数”，2016不是和谐数”；(2)设两个连续偶数为2n,2n+2(n为自然数),则和谐数”42n+2)2-(2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1),然后利用整除性可说明和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1到200之间的所有和谐数”中，最小的为：22-02=4,最大的为：502-482=196,将它们全部歹出不难求出他们的和.【解答】解：(1)36是和谐数”，2016不是和谐数”.理由如下：36=102-82;201

26、6=50g-5032;(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(n为自然数)，V(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=(4k+2)x2=4(2k+1),4(2k+1)能被4整除,和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1至IJ200之间的所有和谐数”之和，S=(2202)+(42-22)+(62-42)+(502-482)=502=2500.故答案是：2500.【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化.16.（2015春?兴化市校级期末）如图1,有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及边长为b的大正方形的纸片.却图2

27、（1）如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式.（2）已知小正方形与大正方形的面积之和为169,长方形的周长为34,求长方形的面积.（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形.【分析】（1）根据小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形的周长为34,得出a+b=17,由题意可知：小正方形与大正方形的面积之和

28、为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb）,其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2,因为现有三种纸片各8张，n2<8,m2<8,2mn<8（n、m为正整数）从而可知n02,m<2,从而可得出答案.a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）;（2）.长方形的周长为34,a+b=17.,小正方形与大正方形的面积之和为169,a2+b2=169.将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172,整理得：a2+2ab+b2=289,.-2a

29、b=289-169,ab=60.，长方形的面积为60.（3）设正方形的边长为（na+mb）,其中（n、m为正整数）正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2.现有三种纸片各8张，n2<8,m2<8,2mn<8（n、m为正整数）n<2,m<2.共有以下四种情况；n=1,m=1,正方形的边长为a+b;第17页（共31页）n=1,m=2,正方形的边长为a+2b;n=2,m=1,正方形的边长为2a+b;n=2,m=2,正方形的边长为2a+2b.【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式.17. （2014秋

30、？莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式;（2）要能根据等式画出合适的拼图.【解答】解：(1)长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=(a+1)2a2+2a+1=(a+1)2；(2)如图，

31、可推导出(a+b)2=a2+2ab+b2;2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.18. （2013秋？海淀区校级期末）已知a+b=1,ab=-1,设si=a+b,S2=a2+b2,S3=ai3+b3,，Sn=aTl+bn（1）计算S2；（2）请阅读下面计算S3的过程：atb'=彳'+造+（石?-b+S%一值=3+3力+。口+占姆-宙口%）=（4-4斤）+（/+玳»-白她十©=+*）-口&7+切一因为a+b=1,ab=-1,所以

32、S3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）-ab（a+b）=1XS2（1）=S2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.（3）试写出Sn2,Sn-1,Sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算生.【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b,ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出sn2+sn1=sn；（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S=&+8=2&+9.【解答】解：(1)&=a2+b2=(a+b)2-2ab=3；(2) (a?+b2)(a+b)=a3+ab2+a2

33、b+b3=a3+b3+ab(a+b),3x1=aP+b3-1,a3+b3=4,即Ss=4；S4=(ab2)2-2(ab)2=7,S4=7;(3) .03,Ss=4,Si=7,§2+毯Sn2+Si1=Si；(4) Sh2+Sni=Si,&=3,Sb=4,Si=7,-S5=4+7=11,.S6=7+11=18.【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出a=3,Sb=4,&=7,分析归纳出规律：Sn2+S1=&.19. (2013春？重庆校级期末)(1)利用因式分解简算：9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a(a-1

34、)2-(1-a)【分析】(1)利用完全平方公式因式分解计算即可；(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可.【解答】解：(1)原式=9.82+2X0.2X9.8HI22=(9.8+0.2)2=100;(2) 4a(a-1)2-(1-a)=(a-1)(4a2-4a+1)=(a-1)(2a-1)2.【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键.20. (2013春？惠山区校级期末)阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值.解：.m22mn+2n28n+16=0,(m22mn+n2)+(n28n+16)=0(m-n)2+(n-4

35、)2=0,(m-n)2=0,(n-4)2=0,.n=4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求xy的值.(2)已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求ABC的最大边c的值.(3)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,贝a-b+c=7.【分析】(1)将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值;(2)将已知等式25分为9+16,重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a与b的值，根据边

36、长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a-b+c的值.【解答】解：(1),x2+2xy+2y2+2y+1=0(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0(x+y)2+(y+1)2=0,x+y=0y+1=0解得x=1,y=-1x-y=2;(2) va2+b2-6a-8b+25=0(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0(a-3)2+(b-4)2=0 a-3=0,b-4=0解得a=3,b=4.三角形两边之和>第三边 c

37、<a+b,c<3+4 c<7,又c是正整数，；c最大为6;(3) a-b=4,即a=b+4,代入得：(b+4)b+c2-6c+13=0,整理得：(b2+4b+4)+(c26c+9)=(b+2)2+(c-3)2=0,b+2=0,且c-3=0,即b=-2,c=3,a=2,贝Ua-b+c=2-(2)+3=7.故答案为：7.【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.21.(2012秋？温岭市校级期末)仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的化解：设另一个因式为(x+n),得

38、x2-4x+m=(x+3)(x+n),贝Ux24x+m=x2+(n+3)x+3nn+3=4m=3n解得：n=-7,m=-21丁另一个因式为(x-7),m的值为-21.问题：(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),贝Ua=-3;(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),贝Ub=9;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值.【分析】(1)将(x-2)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；(2)(2x-1)(x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；(3)设

39、另一个因式为(x+n),得2x2+5xk=(2x3)(x+n)=2x2+(2n3)x-3n,可知2n-3=5,k=3n,继而求出n和k的值及另一个因式.【解答】解：(1);(x2)(x+a)=x2+(a2)x-2a=x2-5x+6,a-2=-5,解得：a=-3;(2).(2x-1)(x+5)=2x2+9x-5=2x2+bx-5,b=9;(3)设另一个因式为(x+n),得2x2+5xk=(2x3)(x+n)=2x2+(2n3)x-3n,则2n-3=5,k=3n,解得：n=4,k=12,故另一个因式为(x+4),k的值为12.故答案为：(1)-3;(2分)(2)9;(2分)(3)另一个因式是x+4

40、,k=12(6分).【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.22. (2012春？郑城县期末)分解因式：(1) 2x2-x;(2) 16x2-1;(3) 6xy2-9x2y-y3;(4) 4+12(x-y)+9(x-y)2.【分析】(1)直接提取公因式x即可；(5) 利用平方差公式进行因式分解；(6) 先提取公因式-y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；(7) 把(x-y)看作整体，利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解：(1)2x2x=x(2x-1);(8) 16x2

41、-1=(4x+1)(4x-1);(9) 6xy2-9x2y-y3,=-y(9x2-6xy+y2),=-y(3x-y)2;(10) 4+12(xy)+9(x-y)2,=2+3(x-y)2,=(3x-3y+2)2.【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在(3),提取公因式-y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解.23. (2012春？碑林区校级期末)已知a,b,c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),试确定三角形的形状.【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【解答】解：=(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),

42、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,=3a2+3b2+3c?,a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,即(ab)2+(bc)2+(ca)2=0,a-b=0,b-c=0,c-a=0,.二a=b=c,故ABC为等边三角形.【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断.关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.24. (2011秋？北辰区校级期末)分解因式(1) 2X4-4x2y2+2y4(2) 2a3-4a2b+2ab2.【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(

43、1)2X4-4x2y2+2y4=2(x4-2x2y2+y4)=2(x2-y2)2=2(x+y)2(x-y)2;(3) 2a34a2b+2ab2=2a(a2-2ab+b2)=2a(a-b)2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底.25. (2011秋?苏州期末)图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.(1)图中的阴影部分的面积为(m-n)2；(2)观察图请你写出三个代数式(m+n)2、(m-n)2、mn之间的等量关系是(m+n)2(m-n)2=4mn.(3)若x+y=7,x

44、y=10,贝U(xy)2=9.(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图，它表示了(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.【分析】(1)可直接用正方形的面积公式得到.(2)掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别.(3)此题可参照第(2)题.(4)可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.(5)可参照第(4)题画图.【解答】解：(1)阴影部分的边长为(m-n),阴影部分的面积为(m-n)2(2) (m+n)2(m-n)2=4mn；(3) (x-y)2=(x+y)2-4xy=72-40=9;(4

45、) (m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2；(5)答案不唯一：例如：【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示,用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形.26. (2009秋？海淀区期末)已知a、b、c满足a-b=8,ab+c?+16=0,求2a+b+c的化【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口.由a-b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0;止匕时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得

46、a的值；然后代值运算即可.【解答】解：因为a-b=8,所以a=b+8.(1分)又ab+c2+16=0,所以(b+8)b+c2+16=0.(2分)即(b+4)2+c2=0.又(b+4)2>0,c2>0,则b=-4,c=0.(4分)所以a=4,(5分)所以2a+b+c=4.(6分)【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法.27. (2010春？北京期末)已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且?II足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积.【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式

47、可变为(a+1)(b+1)(c+1)-1,就得(1+b)(c+1)(a+1)=2007,由于a、b、c均为正整数，所以(a+1)、(b+1)、(c+1)也为正整数，而2007只可分解为3X3X223,可得(a+1)、(b+1)、(c+1)的值分别为3、3、223,所以a、b、c值为2、2、222.就可求出长方体体积abc了.【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1-1=2006,a(1+b)+c(1+b)+ac(1+b)+(1+b)-1=2006,(1+b)(a+c+ac)+(1+b)=2007,(1+b)(c+1+a+ac)=2007,(1+b)(c+1)(a+1)=2007,2007只能分解为3X3X223(a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分别为3、3、223.a、b、c