第五章第二节面向系统结构图的数字仿真

1、控制系统计算机仿真是建立在控制系统数学模型控制系统计算机仿真是建立在控制系统数学模型基础上的一门技术，自动控制系统的种类繁多，基础上的一门技术，自动控制系统的种类繁多，为通过仿真手段进行分析和设计，就要借助于为通过仿真手段进行分析和设计，就要借助于系统的数学模型。现行控制系统的数学模型的系统的数学模型。现行控制系统的数学模型的表示形式有微分方程、传递函数、状态方程、表示形式有微分方程、传递函数、状态方程、结构图形式等。实际工程中常常给出的是结构结构图形式等。实际工程中常常给出的是结构图形式的数学模型，对此类形式的系统进行仿图形式的数学模型，对此类形式的系统进行仿真分析，自动求解各环节变量的动态

2、变化情况，真分析，自动求解各环节变量的动态变化情况，从而得到关于系统输出各变量的有关数据、曲从而得到关于系统输出各变量的有关数据、曲线等，可方便的对系统进行分析和设计。线等，可方便的对系统进行分析和设计。本节将对控制系统的本节将对控制系统的典型结构典型结构形式二次模型化，形式二次模型化，并采用数值积分算法得到系统相应的仿真结果。并采用数值积分算法得到系统相应的仿真结果。一、典型闭环系统数学模型一、典型闭环系统数学模型控制系统最常见的结构形式如图一所示。控制系统最常见的结构形式如图一所示。 R(s) E(s) Y(s) _ B(s) 图一 典型闭环系统结构图 G(s) K nnnmmmasasa

3、bsbsbsUsYsG1010)()()(图中图中G(S)G(S)表示系统的传递函数，描述控制量表示系统的传递函数，描述控制量U(s)U(s)（此为（此为E(s)E(s)）与输出量）与输出量Y(s)Y(s)的信号传递关系。的信号传递关系。K K是系统的反馈系数，设其为一常数。且有是系统的反馈系数，设其为一常数。且有 U(s)=E(s)二、系统仿真模型二、系统仿真模型（1 1）系统仿真模型）系统仿真模型为便于在计算机上进行仿真，需给出系统的仿真模型。为便于在计算机上进行仿真，需给出系统的仿真模型。对图一系统的开环传递函数对图一系统的开环传递函数G(S)G(S)，按照能控标准型得，按照能控标准型得

4、其开环状态方程其开环状态方程CXYBUAXX （式2） BrXABrXBkCAkCXrBAXkyrBAXBUAXXb)()()(BkCAAb由图一可知，控制量由图一可知，控制量U=R-Ky,U=R-Ky,带入式带入式2 2得得式式3 3即为系统的闭环状态方程，也就是系统的仿真模型。即为系统的闭环状态方程，也就是系统的仿真模型。其中其中为系统闭环系数矩阵，而输入矩阵为系统闭环系数矩阵，而输入矩阵B B和输出矩阵和输出矩阵C C不变。不变。根据求得的系统仿真模型，观察可知，该式其实是一个一根据求得的系统仿真模型，观察可知，该式其实是一个一阶微分方程组的矩阵表达形式，采用四阶龙格阶微分方程组的矩阵表

5、达形式，采用四阶龙格- -库塔法，库塔法，即可根据典型闭环系统的结构图进行仿真。即可根据典型闭环系统的结构图进行仿真。（式（式3 3） BrXAXbBrXAXtfb),(TnxxxX,21（二）仿真实现（二）仿真实现由以上确定的仿真模型，采用四阶龙格由以上确定的仿真模型，采用四阶龙格- -库塔法求解。库塔法求解。由式由式3 3 知知 此为对应此为对应n n个状态变量个状态变量 的一阶导数的的一阶导数的n n维向量表达式。于是维向量表达式。于是 在在t=tt=tk k时刻，欲时刻，欲求求t tK K1 1 时刻的值，需用龙格时刻的值，需用龙格- -库塔法求各次斜率：库塔法求各次斜率：（式4）)(

6、),(1kkbkktBrXAXtfK)()(),(2121222hkhkbhkhktBrKXAKXtfK)()(),(2222223hkhkbhkhktBrKXAKXtfK)()(),(334htBrhKXAhKXhtfKkkbkkTnxxxX,211kt1kX)22(432161KKKKXXhkk11kkCXy以上各斜率是对应以上各斜率是对应n n维状态变量维状态变量在在t=tt=tk k时刻的四组斜率，最后求得时刻的四组斜率，最后求得 时刻的状态变量时刻的状态变量 及相应时刻的输出值及相应时刻的输出值 按以上算式，取按以上算式，取K K0 0，1N1N不断递推，即求得所需时间不断递推，即求

7、得所需时间t0t0，t1.t1.各点的状态变量各点的状态变量x x（t tk k）和输出量）和输出量y y（t tk k）。）。采用四阶龙格采用四阶龙格- -库塔法，即可根据典型闭环系统的结构库塔法，即可根据典型闭环系统的结构图图进行仿真。进行仿真。 （三）仿真程序框图与实现（三）仿真程序框图与实现构成一个完整的仿真程序，必须至少建立：构成一个完整的仿真程序，必须至少建立：（1 1）输入数据块）输入数据块（2 2）初始化块）初始化块（3 3）运行计算块）运行计算块（4 4）输出结果块）输出结果块作为系统仿真程序，使用时应尽可能方便，使用者只要作为系统仿真程序，使用时应尽可能方便，使用者只要将开

8、环传递函数将开环传递函数G G（s s）的分母、分子各系数和反馈系数）的分母、分子各系数和反馈系数输入计算机，计算机就掌握了关于该系统的基本信息，输入计算机，计算机就掌握了关于该系统的基本信息，然后形成开、闭环状态方程各阵等步骤均由仿真程序自然后形成开、闭环状态方程各阵等步骤均由仿真程序自动完成，无需人工干预。因此，程序应用动完成，无需人工干预。因此，程序应用输入数据模块输入数据模块和和初始化程序模块初始化程序模块。在参考输入函数在参考输入函数r r（t t）的作用下，系统输出）的作用下，系统输出y y（t t）开始）开始随时间变化，仿真程序应能按照给定的计算步长，采用随时间变化，仿真程序应能

9、按照给定的计算步长，采用已确定的数值算法，对系统中各状态变量和输出逐点变已确定的数值算法，对系统中各状态变量和输出逐点变化情况进行求解运算。这部分模块是整个仿真程序的核化情况进行求解运算。这部分模块是整个仿真程序的核心部分，计算速度、精度误差取决于它，该模块为心部分，计算速度、精度误差取决于它，该模块为运行运行模块模块。在使用者规定的时间范围内，将计算数据按照一定要求在使用者规定的时间范围内，将计算数据按照一定要求存储，并在仿真结束时，按使用者指定的格式输出仿真存储，并在仿真结束时，按使用者指定的格式输出仿真结果，以便对系统进行分析研究，这就是所谓的结果，以便对系统进行分析研究，这就是所谓的输

10、出程输出程序模块。序模块。1. 程序框图程序框图nnnmmmasasabsbsbsUsYsG1010)()()(2. 程序语句如下：程序语句如下：（1）输入数据）输入数据2. 程序语句如下：程序语句如下：（2）形成开、闭环系数阵）形成开、闭环系数阵2. 程序语句如下：程序语句如下：（3）运算求解）运算求解2. 程序语句如下：程序语句如下：（4）输出结果）输出结果以上是采用以上是采用matlabmatlab语言实现面向典型闭环系统数字仿语言实现面向典型闭环系统数字仿真的程序，从第二部分到程序末尾可编辑为真的程序，从第二部分到程序末尾可编辑为sp4_4.msp4_4.m文文件存储起来。使用时，只要

11、进入到件存储起来。使用时，只要进入到matlabmatlab语言环境，语言环境，按第一部分格式输入系统参数和运行参数，再调用该按第一部分格式输入系统参数和运行参数，再调用该文件，即可得到运行仿真结果。文件，即可得到运行仿真结果。例例4 41 1 求该图所示系统的阶跃相应求该图所示系统的阶跃相应y y（t t）得数值解。）得数值解。解：该系统结构形式是典型的闭环控制系统，解：该系统结构形式是典型的闭环控制系统，求解过程如下：求解过程如下：（1 1）取开环放大系数）取开环放大系数k k1 1，反馈系数，反馈系数v v1 1，阶跃输入幅，阶跃输入幅值值r r1 1。（2 2）利用）利用matlabm

12、atlab语言中的语言中的convconv（）函数功能，先将系统（）函数功能，先将系统开环传递函数开环传递函数G G（s s）化为传递函数形式的分母、分子多）化为传递函数形式的分母、分子多项式系数向量项式系数向量a0 a1 ana0 a1 an和和b0 b1 bn.b0 b1 bn.（3 3）设系统状态向量初值）设系统状态向量初值xx1010 x x2020 x xn0n0 均为零。均为零。（4 4）系统运行参数）系统运行参数n0=4,t0=0,tn0=4,t0=0,tf f=10,h0=0.25=10,h0=0.25。（5 5）按以上步骤和参数，在）按以上步骤和参数，在matlabmatla

13、b语言环境下，输入以语言环境下，输入以下命令语句。下命令语句。k=1;k=1;a=conv(1 0 0,conv(0.25 1,0.25 1);a=conv(1 0 0,conv(0.25 1,0.25 1);aa 0.0625 0.5000 1.0000 0 0 0.0625 0.5000 1.0000 0 0b=2b=2* *k k;k k;bb 2 1 2 1x0=0 0 0 0 x0=0 0 0 0v=1;n=4;T0=0;Tf=10;h=0.25;R=1;v=1;n=4;T0=0;Tf=10;h=0.25;R=1;sp4_1sp4_1如要分析放大系数如要分析放大系数k k、反馈系数、

14、反馈系数v v的影响作用，只需的影响作用，只需分别对分别对K K和和v v重新赋值，其余参数不变，图中给出重新赋值，其余参数不变，图中给出K K发生变化时，输出响应发生变化时，输出响应y y（t t）的曲线，由图可见，）的曲线，由图可见，k k增大，振荡加大，增大，振荡加大，k k减小，振荡减小，而对系统快减小，振荡减小，而对系统快速性和稳态精度有很大影响。速性和稳态精度有很大影响。K=2时的输出响应曲线K=0.3时的输出响应曲线返回实际中常常遇到的是复杂结构形式的控制系统，它由实际中常常遇到的是复杂结构形式的控制系统，它由若干典型环节按照一定的规律联接而成，要采用上节若干典型环节按照一定的规

15、律联接而成，要采用上节所述方法仿真，必须先将复杂形式结构图简化成图一所述方法仿真，必须先将复杂形式结构图简化成图一的典型结构形式，求出开环传递函数，然后运用上节程序的典型结构形式，求出开环传递函数，然后运用上节程序进行仿真分析，但这种方法存在以下问题：进行仿真分析，但这种方法存在以下问题： R(s) E(s) Y(s) _ B(s) 图一 典型闭环系统结构图 G(s) K （2 2）该程序不便于研究系统中某个环节参数变化对）该程序不便于研究系统中某个环节参数变化对系统动态性能和环节自身性能的影响，当系统中个系统动态性能和环节自身性能的影响，当系统中个别参数改变时，状态空间表达式的系数矩阵别参数

16、改变时，状态空间表达式的系数矩阵A,CA,C都要都要受到影响，需要重新建立状态空间表达式。受到影响，需要重新建立状态空间表达式。 为克服上述仿真程序的缺点，并考虑到工程中为克服上述仿真程序的缺点，并考虑到工程中常用的常用的结构图形式结构图形式的数学模型，满足各方面使用的的数学模型，满足各方面使用的需要，研制了结构图法数字仿真程序。需要，研制了结构图法数字仿真程序。（1 1） 程序要求被仿真系统用系统整体传递函数或程序要求被仿真系统用系统整体传递函数或高阶微分方程的形式表示，并输入传递函数分母，高阶微分方程的形式表示，并输入传递函数分母，分子的多项式系数。当系统结构比较复杂，如：有分子的多项式系

17、数。当系统结构比较复杂，如：有嵌套或闭环时，转换系统整体传递函数的工作比较嵌套或闭环时，转换系统整体传递函数的工作比较麻烦，工作量大。麻烦，工作量大。该方法是将系统看成是由一些该方法是将系统看成是由一些典型环节典型环节构成，仿真构成，仿真时先将各环节的参数及各环节之间的连接关系输入时先将各环节的参数及各环节之间的连接关系输入计算机，由计算机程序构成系数矩阵计算机，由计算机程序构成系数矩阵A,B,C再用四再用四阶龙格库塔法对构成的状态方程进行仿真计算。由阶龙格库塔法对构成的状态方程进行仿真计算。由于输入参数是各环节的参数，所以可直接求出各环于输入参数是各环节的参数，所以可直接求出各环节的输出，可

18、方便的研究环节参数变化对系统和环节的输出，可方便的研究环节参数变化对系统和环节本身的影响，避免了求整体传递函数的问题。因节本身的影响，避免了求整体传递函数的问题。因此是一种常用的数值积分法的仿真程序。此是一种常用的数值积分法的仿真程序。 一一. 典型环节的确定典型环节的确定 一个控制系统的结构图通常是由一些不同的环一个控制系统的结构图通常是由一些不同的环节组成，一般常见的环节，即节组成，一般常见的环节，即积分环节 比例 积分环节惯性环节 比例 惯性环节振荡环节 sKsKsK211TsK 1sT1sTK 211Ts2sTK 22 为了编程方便，各常用环节可用一个为了编程方便，各常用环节可用一个典

19、型环典型环节节来表示。选定的典型环节，首先要求它有典型来表示。选定的典型环节，首先要求它有典型性，即能用它来描述较多环节类型，保证所编制性，即能用它来描述较多环节类型，保证所编制的环节有较大的通用性，其次要求环节的结构简的环节有较大的通用性，其次要求环节的结构简单，用它编制的程序是简短易于计算的。常见的单，用它编制的程序是简短易于计算的。常见的环节中积分环节的结构最为简单，但在构成系统环节中积分环节的结构最为简单，但在构成系统时的组件多，增加了系统结构的复杂性。时的组件多，增加了系统结构的复杂性。我们选定通用的我们选定通用的一阶环节一阶环节（如图）作为典型环节，（如图）作为典型环节，能够做到不

20、增加结构的复杂性，所能够做到不增加结构的复杂性，所 编制的程序具有编制的程序具有简单通用性强的优点。简单通用性强的优点。 sBAsDCiiiiiuiy 图图 典型环节典型环节一阶环节的传递函数形式为一阶环节的传递函数形式为1)-(2.9 n),1,2,(i )(BisAiDisCisGi利用这个典型环节，只要改变系数便可组成其它常利用这个典型环节，只要改变系数便可组成其它常用环节：用环节：积分环节积分环节 对应于对应于 sK0, 1, 0iiiiDKCBA比例比例 积分环节积分环节 对应于对应于sKsK2112, 1, 0KDKCBAiiii惯性环节惯性环节 对应于对应于1TsK0, 1iii

21、iDKCTBA 比例比例 惯性环节惯性环节 对应于对应于 1sT1sTK 2112, 1KTDKCTBAiiii1)-(2.9 n),1,2,(i )(BisAiDisCisGi对于振荡环节 可以用一阶环节等效联接得到。1Ts2sTK 22 二二. 具体求解步骤具体求解步骤（1）找传递函数的矩阵表达式）找传递函数的矩阵表达式 用用n个环节描述个环节描述n阶控制系统的传达函数的表达式为阶控制系统的传达函数的表达式为n),1,2,(i )()()(sBAsDCsusysGiiiiiii对每个环节列写出对应的传递函数为对每个环节列写出对应的传递函数为3)-(2.9 )()()( )()()()()(

22、)(22222221111111sBAsDCsusysGsBAsDCsusysGsBAsDCsusysGnnnnnnn或写成一阶微分方程组形式 )()()()()()()()(222222111111susDCsysBAsusDCsysBA)()()()(susDCsysBAnnnnnn写成方程形式式中 UDsCYBsA)()(nAAAnn0021nBBBnn0021nCCCnn0021nDDDnn0021ABCDyuA，B，C，D都是 维的系数矩阵,u 和y分别为输入输出的单列向量。nn 二二. 具体求解步骤具体求解步骤（2）找连接矩阵）找连接矩阵前面的公式表示了各环节输入 与输出 之间的数

23、量关系，但是一个环节的输入 可能由几个环节的输出 构成，因此要根据具体的情况找出系统各环节的连接关系即环节的输入量 是由哪些环节的输出量 组合而成的。图4-8表示一个控制系统的结构图。该系统由五个环节组成，系统中的比例系数 已知，各环节的输入用 表示，输出用 表示， 是系统的输入。iuiyiuiyiuiy4 42 54321,uuuuu54321,yyyyy0yy0u1y1 u2y2u3y3u4y4a4y4u5y5444y22y)(1sG)(2sG)(3sG)(4sG)(5sG2 4 图 4-8 一个控制系统的结构图现结合图48找出环节之间的连接关系为353444235221244015)-(

24、2.9 yuyuyyuyyyuyyu考虑到 是系统的输入信号,将式写成矩阵方程形式0y054321424y 00001yyyyy 001000010000101001000054321uuuuu或写成向量形式6)-(2.9 00yWWYU式中00001 W 00100001000010100100000424W式中w为系数连接矩阵系数连接矩阵反映了系统中各环节之间的连接关系,每个元素 表示系统中第j个环节的输出 对第i个环节的输入 之间的连接关系,如 表示第二个环节的输出 对第二个环节输入 之间的连接关系为 ,表示具有反馈系数为 的连接, 表示直接连接,负号表示反馈, 0表示没有直接连接关系,

25、 为外部连接矩阵元素 表示外加输入信号 与第i个环节输入端 的连接关系。图中外加输入信号 只作用在第一个环节 上,所以 ,其余元素为0。ijWjyiu222W2y2u220W0yiu0y110W4 控制系统的状态方程 (1) 对式(2.9-6)的拉普拉斯变换式为7)-(2.9 )()()(00syWsWYsU(2) 将式(2.9-7)代入式(2.9-4)中得(s)YWDs)(WY(s)(CBs)Y(s)(A00 (3) 展开归并得(s)YDWyCWA)Y(s)-(CWDW)Y(s)-s(B0000s(4) 拉氏反变换上式并还原到时域0000yDWyCWA)Y-(CWYDW)-(B令021DWVCWVA-CWRDW-BQ则0201yVyVRYYQ若 的逆矩阵 存在时QQ19)-(2.9 0210111yVQyVQRYQY再令10)-(2.9 111VQBRQA得11)-2.9 ( 0210yVQyBYAY式(2.9-11)同标准状态方程相比，右端除了也有与输入函数 有关的一项之外，还多了一项与输入 函数导数