天体力学二体问题的解

1、天体力学二体问题的解内容提要本文简单介绍了天体力学次级学科内容,开展简史,及其在人类文明开展的历史地位.天体力学认为二体问题已经解决,这是一个熟悉误区.文章详细地表达了二体问题的传统解法,根据?伯力克物理教程?第一卷?力学?第九章中高级课题所讲述的方法,导出二体问题与时间有关的解.探讨了二体问题方程式.天体力学二体问题传统解,致使许多自然现象困惑难解.走出天体力学熟悉的误区,一大批物理批疑难问题豁然开朗.附件用10个专题文章尝试解解释有关物理疑难问题目录1天体力学简介1.1 天体力学次级学科内容1.2 天体力学开展简史1.3 天体力学历史地位2天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念2.2 二

2、体问题常规解2.3 天体力学熟悉中的误区3二体问题与时间相关的解3.1 天体引力场的时空结构3.2 二体问题与时间相关的解3.3 二体问题与时间有关的解附件1哈勃定律的理论解释2太阳系天体距离和周期的规律性3水星近日点的进动4月球长期加速运动5古生物化石的年轮和月轮6河外天体光谱红移7天体形态与微观结构的联系8太阳常数理论计算9物理黑洞10地球能量、温度和辐射1天体力学简介1.1天体力学次级学科天体力学是研究天体的运动和形状的学科.天体力学可分为六个次级学科：多体问题,又称做N体问题,或称摄动理论.研究N个质点在万有引力作用下的动力学问题,其中只有二体问题已彻底解决.数值方法.采用数值计算的方

3、法来求解天体的运动方程并讨论解的收敛性、稳定性及计算方法的改良等问题.定性方法.探讨天体运动轨道的宏观图像、运动区域和轨道特征.天文动力学.又称为星际航行动力学,主要是研究各种人造天体的运动规律.历书天文学.根据天体运动理论和轨道要素编制各种天体的历表和计算各种天象.天体的形状和自转理论.主要研究各种物态组成的天体的自转平衡形态、稳定性及自转轴的变化规律.历史渊源1.2 天体力学开展简史丹麦天文学家第谷(B.Tycho,15461601)在16世纪对行星绕日运行作了长期的观测,记录了大量准确可靠的天文数据资料.德国天文学家,数学家开普勒(Kepler,Johannes,15711630)根据第

4、谷多年的行星观测资料于1609年1619年先后提出了行星运动三大定律,还提出了著名的开普勒方程,对行星轨道要素下了定义.从此可以预报行星(以及月球)更准确的位置,形成理论天文学,揭开了天体力学的序幕；英国著名的物理学家牛顿(I.Newton,16431727),英国科学家胡克(R.Hook)和荷兰物理学家惠更斯(C.Huygens)都曾根据开普勒定律推测行星和太阳间存在和距离二次方成反比的引力,为此胡克和牛顿还通过信,因此,对定律的首创权有过争议.1687年7月Newton名著?自然哲学的数学原理?问世,提出绝对时空观念,牛顿动力学三定律和万有引力定律,建立经典力学理论根底.瑞士数学家欧拉(E

5、uler,Leonhard,17071783)是第一个较完整的月球运动理论的创法国数学家达朗贝尔(d'Alembert,JeanleRond,17171783)的?动力学?是力学方面的一部奠基性著作,书中包括后来以他的名字命名的达朗贝尔原理,根据这个原理建立起把动力学问题化为静力学问题来处理的一般方法.他运用这个方法研究了天体力学中的三体问题,并把它推广到流体动力学中法国数学家拉格朗日(Lagrange,Joseph-Louis,17361813)在?分析力学?一书中,运用变分原理和分析的方法,建立起完整和谐的力学体系,使力学分析化了,拉格朗日是大行星运动理论的创始人.法国数学家,天文

6、学家拉普拉斯(Laplace,Pierre-Simon,17491827)是天体力学集大成者.他的五卷十六册巨著?天体力学?成为经典天体力学的代表作.在这部著作中,他对大行星和月球的运动都提出了较完整的理论,而且对周期彗星和木星的卫星也提出了相应的运动理论.同时,他还对天体形状的理论根底-流体自转时的平衡形状理论作了详细论述.法国数学家勒让德(Legendre,Adrien-Marie,17521833)在天文学的研究中,引进了著名的勒让德多项式,发现了它的许多性质.德国数学家,天文学家,物理学家高斯(Gauss,CarlFriedrich,17771855)创立三次观测决定小行星轨道的计算方

7、法,1809年发表其计算方法.此后,几乎都用这个方法推算小行星轨道.在星历表计算中,他引进一组辅助量(又称为高斯常数),使求日心赤道直角坐标计算大大简化.法国数学家泊松(Poisson,Simcon-Denis,17811840)对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要奉献.“泊松方程是经典引力理论的分析形式.德国数学家雅可比(Jacobi,CarlGustavJacob,18041851)和英国数学家、物理学家哈密顿(Hamilton,WilliamRowan18051865)对分析力学的建立做出了重要奉献.1846年,根据法国天文学家勒威耶(LeVer

8、rier,UrbainJeanJoseph,18111877)和英国天文学家亚当斯(Adams,JohnCouch,18191892)的计算,发现了海王星.这是经典天体力学的伟大成果,也是自然科学理论预见性的重要验证.此后,大行星和月球运动理论益臻完善.成为编算天文年历中各天体历表的根据.法国数学家庞加莱(Poincare,Jules-Henri,18541912),又译彭加勒庞加莱,庞加莱在18921899年出版的三卷本?天体力学新方法?是这个时期的代表作.数值方法最早可追溯到高斯的工作方法.十九世纪末形成的科威耳方法和亚当斯方法,至今仍为天体力学的根本数值方法(见天体力学数值方法),但在电

9、子计算机出现以前应用不广.二十世纪五十年代以后,由于人造天体的出现和电子计算机的广泛应用,天体力学进入一个新时期.研究又增加了各种类型的人造天体,以及成员不多的恒星系统.在研究方法中,数值方法有迅速的开展,不仅用于解决实际问题,而且物理学同定性方法和分析方法也有相应开展,以适应观测精度日益提升的要求.1.3 天体力学历史地位天体力学是人类文明史上伟大的丰碑,也是人类历史上第一个走出地球的科学理论,以足够精确的计算结果预言了天体前后几百年、几千年甚至几万年的运动,经受了无数的新的观测考验.天体力学对人类社会的进步起了巨大的推动作用.2天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念Newton时空观念一

10、般称为经典时空观念,又称为绝对时空观念,Newton曾经对这个时空观念详细描述：1、绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着,而且由于其本性而在均匀地、与任何其他外界事物无关地流逝着,它又可以名之为延续性；相对的、表观的和通常的的时间是延续性的一种可感觉的、外部的(无论是精确的或是不相等的)通过运动来进行的量度我们通常就用诸如小时、日、月、年等这种量度以代替真正的时间.2、绝对的空间,就其本性而言,是与任何外界事物无关而永远是相同的和不动的.相对空间是绝对空间的可动局部或者量度.我们的感官通过绝对空间对其他物体的位置而确定了它,弁且通常把它当作不动的空间看待.如相对地球而言的地下,大气或天体等空

11、间就是这样确定的.绝对空间和相对空间,在形状上和大小上都相同,但在数字上并不总是保持一样.由于,例如当地球运动时,一个相对地球总是保持不变的大气空间,将一个时间是大气流入的绝对空间的一个局部,而在另一时间将是绝对空间的另一个局部,所以从绝对的意义来了解,它总是在不断变化的.(摘自HS塞耶编?牛顿自然哲学著作选?第十九页至二十页)Newton时空观念为经典力学的运动参照系建立提供了哲学的、物理的理论依据.根据Newton时空观念,一个无限延伸的三维钢架和一个均匀流逝的运动构成了一个运动参照系,一个刚性的尺和一个稳频的钟可以分别对空间和时间进行度量.在三维钢架上的空的空间构成三维Euclid空间直

12、角坐标系坐标h(I=1,2,3),时间t作为参变量,%作为时间t的函数xa(t).如果有另一个参照系K'以速度V相对K运动,K'中的相应的空间坐标为Xu,t',那么Xq,1和%,t之间变换由下述的Galilao时空变换公式决定：'X,yX,yV；t(2.1)(2.2)上式中v0t是v沿x方向的分量,在变换中,位矢的平方r2是不变量,即:(2.3)根据惯例,上式重复下标表示求和.2.2 二体问题传统解二体问题是各类天体真实运动的第一次近似结果,也是研究天体在有心力场的引力作用下的运动.根据牛顿绝对时空观念、牛顿动力学根本定律和牛顿万有引力定律,运动方程具有如下形式

13、dvm-=F(2.4)上式中,m表示天体质量,v表示天体运动速度,F表示太阳和天体之间的引力,t表示时间.在解方程(2.4)时,二体问题采用了下述的逻辑推理：第一、选择质心参照系描述二体运动,以折合质量-=Mm代替天体质量m,Mm折合质量也称约化质量,约化质量既小于M,也小于m,主要由两者中质量较小者决定；第二、引进势函数描述质点与球形物体之间作用力,势函数对空间坐标的偏导数正比于质点所受总引力的相应分力.把中央天体看成是质量密度均匀分布的球体,以*表示势函数,GF那么巾等于4=,单位质量体元受的作用力为,这样,万程(2.4)可以写成rm如下形式业=-6(2.5)dt根据上述逻辑形式,行星对太

14、阳运动,就像是在以太阳为中央的惯性参照系中运动一样,只是要用约化质量代替行星质量.在太阳系黄道面上选择极坐标系,以太阳白质量中央为极坐标系的原点,r表示矢径(描述天体相对太阳的位置),r表示矢径的长度,日表示矢径的角度,那么方程(2.4)有如下形式-2m(r-r9)=F(2.6)二md2-、m(r二2r1)(r1)=0(2.7)rdt令r2¥=h,沿径r方向和沿8方向的两个方程分别为至手Gr-r-=一-2-r(2.8)1dhrdt(2.9上式中h为单位质量的角动量,2.h为一个积分常数,mr日=mh即天体单位质量的动量矩守恒.物体受有心力作用时,时间t可以从微分方程消去,人1口,令u

15、=可以得出r-h-hu2r士二di1duu2dudF,2,du.22r-h71=-hudu2d2u将r和8代入(2.8)式,有h2u2(d-uu);GLu2du2(2.10)d2udVu=h2(2.11其解为Acos(二-%)(2.12r二1®h2G2(2.13Gcos(0)如果将基线转过一个角度,可使e0=0,那么(2.13)式可以写为(2.141ecosF1ecosia(1-e2)(2.14)式所描述的是圆锥截线,式中h2八h2aA3=Ap=e其中,p为半正焦弦的长,e为偏心率；此时日应该从焦点至准线所垂线量起,上述圆锥曲线,可依能量E和偏心率e的数值分为三种类型:椭圆:p=a(

16、1-e2),h=jGNa(1_e2)=jGNp抛物线:p=2q,h=72Gq,E=0,双曲线:p=a(e2-1),h=jG%(e2-1),E>0,e>1；根据二体问题传统解修正的开普勒第三定律形式是(2.15(2.16a3G24二2二体运动方程一个积分2,21v=G-(一)ra称为活力公式或活力积分；G天体能量表达式为E=-G(2.172a2.3天体力学熟悉中的误区天体力学取得了巨大的成功,人们通过观测实践和人类的哲学、逻辑学和物理学根本理论可以发现天体力学尽管有极高的可靠性,但是天体力学并不是一个完整的理论体系,更确切地说牛顿引力理论是一个有待于开展成一个和谐的、统一的引力理论体

17、系.天体力学认为二体问题已经完全解决.这是一个熟悉误区.根据天体力学二体问题传统理论,二体问题主要结论是第一运动天体轨道是一条圆锥截线,即r=一p一曲线与时间无关；1ecosi一一一,一.2二一一一,第二运动天体单位质量的角动量h=r2H是运动常数.二体问题上述结论不符合天文学大量观测数据.例如,许多天文家对水星近日点进动.».,.一一"一、.的研究说明,牛顿理论不解释水星近日点的进动偏差-43/世纪,这是牛顿理论一个疵点.走出天体力学熟悉中的误区,这个疵点就会变成为光荣夺目的亮点.3二体问题与时间有关的解3.1天体引力场的时空结构时间和空间是运动着的物质存在的根本形式,是

18、物质固有的普遍属性,时间和空间与运动着的物质是不可分的.天体力学在解二体问题时采用巧妙的方法消去了时间t,得到了二体问题的传统解,消去了时间t也就是消去了天体的历史和将来,二体问题的传统解即天体运动的圆锥截线,只是Euclid几何空间中不随时间变化的圆锥截线,它把天体约束在这条曲线上面,我们把这个传统解称为几何解,几何解不能全面地、真实地描述天体的实际运动,根据引电统一理论,在(2.14)式和(2.9)式中隐藏时间因子,根据引电统一理论,天体引力场可以近似地看成平面汇源场和虚旋涡场,其速度场强度等于.八'v=2H(3.1)17.1H称Hubble系数,太阳系中H之10s.二体问题有关物

19、理量应该参加时间因子,如轨道长半轴at等于at=a0exp(-Ht)(3.2)天体运动周期1等于(3.3),3一、t=0exp(-Ht)2二体问题的传统解(2.14)式和(2.9)式应该修改为Pn一.rtexp(-Ht)(3.4)(3.5)1ecosiHh2r,一1其中,h=ht=hnexp(-Ht)(3.4)式和(3.5)式正是二体问题与时间有关的解,由(3.5)式可以看出天体单位质量角动量h=h不是运动常量.3.2二体问题与时间相关的解为了完整地描述天体真实运动,必须寻求二体问题的与时间有关的解根据?伯力克物理教程?第一卷?力学?(第402页)高级课题介绍,不用解微分方程,同样可以得出上述结论.具体表达如下二体问题偏心率e是运动常数,e等于JPrG.Lm2r(3.6)上式中,r是矢径,J是运动天体角动量,P是运动天体动量,G是引力常数,N是系统约化质量,m是运动天体质量.将(3.6)式乘以r,得出=；rcos?JPrG-m2j2卜2r(1-cos?)=p()Gm2Gpr=(1Cos)(3.7)上式是圆锥截线数学标准形式.而(2.14)式与(3.7)式分母中偏心率W差一个负号.这是由于两式e选取方向相反.2在上面推导过程中,并没有要求运动天体单位质量的角动量h=r6等于常量,将(3.5)1式h=hne