(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之等边三角形(含解析)

1、中考数学抛物线压轴题之等边三角形(1)过点(1,0)作垂直于x轴的直线l,判断点A与直线l的位置关系，并说明理由.(2)当AC两点是二次函数yi=x2+bx+c图象上的对称点时，求b的值.(3)当ABC是等边三角形时，求点B的坐标.2.如图，已知抛物线0:y=ax2+bx+g经过点A(-1,0)和B(3,0).(1)求抛物线Ci的解析式，并写出其顶点C的坐标；(2)如图，把抛物线C1沿直线AC方向平移到某处时得到抛物线G,此时点A,C分别平移到A',C'处.在抛物线。上是否存在点P,使得PA'C'是等边三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.3

2、 .二次函数图象的顶点在原点O,且经过点A(1,-k)；点F(0,1)在y轴上.直线y=-1与y轴交于4点H.(1)求二次函数的解析式；(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M求证：点M到/OFP两边距离相等；(3)在(2)的条件下，当FPM是等边三角形时，求P点的坐标.4 .已知抛物线经过A(-2,0),B(0,2),C(3,0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度12沿x轴正方向运动，连接BP,过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；(2)当BQ=工AP时，求t的值；2(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一

3、点M使MPQ/等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由.5 .已知抛物线的顶点坐标为鸟,系)，且经过点C(1,0),若此抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴的交点为点A,设P、Q分别为AROB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q移动时间为t(0WtW4)(1)求此抛物线的解析式并求出P点的坐标(用t表示)；(2)当OPQ!积最大时求OBP的面积；(3)当t为何值时，OPQ直角三角形？(4)OPH否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变点Q的运动速度，使OPM等边三角形，求出此时Q点运动的速度和

4、此时t的值.6 .已知抛物线L：y=x2-(k-2)x+(k+1)2(1)证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；(2)已知-4vk<0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B,求A、B间距取得最大值时k的值；(3)在(2)A、B间距取得最大值条件下(点A在点B的右侧)，直线y=ax+b是经过点A,且与抛物线L相交于点D的直线.问是否存在点D,使ABD为等边三角形？如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由.7 .如图，已知抛物线y=-lx2+1,直线y=kx+b经过点B(0,2)4(1)求b的值；(2)将直线y=kx+b绕着点B旋转到与

5、x轴平行的位置时(如图1),直线与抛物线y=：x2+1相交，其中一个交点为P,求出P的坐标；(3)将直线y=kx+b继续绕着点B旋转，与抛物线相交，其中一个交点为P'(如图)，过点P'作x轴的垂线P'M,点M为垂足.是否存在这样的点P',使P'BM为等边三角形？若存在，请求出点P'的坐标；若不存在，请说明理由.8 .已知二次函数y=x2+ax+a-2(1)证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方；(2)设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C,如果过点C且平彳T于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交

6、点为点D,问：QCD!归否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由.9 .如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，且/BAC=90°,/ACB=30°,A(0,3).(1)求经过A,B,C三点的抛物线表达式；(2)H为抛物线对称轴上的任意一点，若ABH为等腰三角形，求点H的坐标；(3)直线AC上是否存在点N,使NBC为等腰三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.(4)设点M是抛物线顶点，P,Q是抛物线上两点，要使MPQ等边三角形，求点P,Q的坐标.1.【解答】解：(1)联立y1、y2并解彳导:x=1,故点A(1,1+b+c),

7、故直线l过点A;(2)由题意得：点B、C的坐标分别为(0,b)、(0,c),.A、C两点是二次函数y1=x2+bx+c图象上的对称点，故点A、C的纵坐标相同，即：1+b+c=c,解得：b=-1;(3)如下图所示，过等边三角形的点则点H(0,)，点A(1,1+b+c),则AH=1,则HB=AHtanZHAB=1xtan30°b七则HB=b=±l,而故3a=故抛物线的表达式为：y=)；华,解得:设点P(1+3my),点P在A'、C'的中垂线上,由中点公式得:Fm+y,解得:y3m-等故点p(1+3ml<m-2V3将点p的坐标代入抛物线表达式并整理得:一29

8、m+6m-8=0,解得：m=(舍去)或一2.【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),函数的对称轴为：x=1,故点C(1,弓2(2)直线AC表达式中的k值为:即直线AC的倾斜角为30。，则直线向右平移3m个单位则向上平移dmm个单位，故点A'、C'的坐标为：(-1+3mV3m)>(1+3m213+Jm),PA'C'是等边三角形，而直线AC的倾斜角为30°,则点P和点C'横坐标相同,故点P的坐标为：(-5,-2点).3【解答】(1)解：设二次函数的解析式为将点A(1,)代入，得a=-7,4所以二次

9、函数的解析式为y=Ax2;4(2)证明：设点P的坐标为(x,Ax2),4过点P作PBJ_y轴于点B,则BF=|Ax2-1|,PB=x,/BPF中，pfr” .PIVL直线y=-1, .PM-x2+1,4.PF=PM ./PFMk/PMF又PM/y轴， ./MFhk/PMF ./PFM=/MFH FM平分/OFP 点M到/OFP两边距离相等；(3)解：当FPM等边三角形时，/PMF=60°, ./FMhk30°,在RtAMFI-,MF=2Fk2X2=4, .PF=PM=FM x2+1=4,解彳导:x=±2Z"§,."x2=x12=3,4

10、4.满足条件的点P的坐标为(2s后，3)或(-2后，3).4.【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,;抛物线经过A(-2,0),B(0,2),C(1，0)三点，4a-2b+c-0丁国十:2十c-0,42',<=2f2a=解得v1b=T不二2,y=-2x2-Ax+2.33(2)AQLPB,BOLAP,/AOQ=/BOP=90°,/PAO/PBQ .AO=BO=2,.AO隼BOP.OQ=OP=t.如图1,当tW2时，点BQ=-AP,2,-2-t=(2+t),2 t噜如图2,当t>2时，点 BQ=-AP,2 ,.t-2=(2+t),-1-t=6.2,

11、、.综上所述，t=w或6时,j当t=g31时，挽Q在点B下方，此时Q在点B上方，此时力线上存在点M(1,BQ=2-t,AP=2+t.BQ=t2,AP=2+t.1);当t=3+3时,抛物线上存在点M(-3,-3).分析如下: .AQ!BP, /QAO廿BPO=90°, /QAO廿AQO=90°,/AQO=/BPO在AOQBOP中，NAQO=N即口ZAOQ=ZBOP=90iA0=B0.AO隼BOP.OP=OQ.OPM等腰直角三角形，MPQ等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上,.直线y=x垂直平分PQ，M在y=x上，设M(x,y),3),5）2K，代入点110），得：a=-j

12、-;，M点可能为（1,1）或（-3,-3）.如图3,当M的坐标为（1,1）时，作MDLx轴于D,则有PD=|1-t|,MP=1+|1-t|2=t2-2t+2,pQ=2t：.MPQ等边三角形， .MP=PQ .t2+2t-2=0, -t=-1+V3,t=-1-l3(负值舍去).如图4,当M的坐标为(-3,-3)时，作M曰x轴于E,则有PE=3+t,ME=3,.,.mP=32+(3+t)2=t2+6t+18,PC2=2t2,.MPQ等边三角形，1 .MP=PQ2 .t2-6t-18=0,.t=3+3VS,t=3-3（负值舍去）.综上所述，当t=-1+V3时，抛物线上存在点M（1,1）,或当t=3+

13、3E时，抛物线上存在点M（-3,使得MPQ等边三角形.5.【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x令y=0得：xi=4,x2=1,B(4,0).令x=0得：y=3,A(0,3),AB=5.如右图，过点P作PMLy轴，垂足为点M则:A0更=处，得：迪=史=主OBAB345PM=二t5（2）如图，过点P作PNiLx轴，垂足为点N,此时OP为AB边上的中线“Ik>(t4Saobf'Saaob=X-X3X4=3.囱2回(3)若/OQP=90°,则里=幽，ABBO殳主=-生主,得t=0(舍去).54若/OPQ90°,则Oh+pQnOd,(3一看t)2+(a)2+

14、(3,t)2+(t)2=t2解得：ti=3,t2=15(舍去).当t=3时，OPQ直角三角形.(4)OP2=(31>t)2+(-1t)2,PQ=(3-t)2+(t)2O氏PQ.OPQ可能是等边三角形.OPQ等边三角形设Q点的速度为每秒k个单位时，k-P3k*12k6.【解答】解：（1）抛物线L的顶点坐标C是（-，1），将顶点坐标C代入y=3x2+12x+9,左边=2kT3右边=3(+12(3k+12kT故可得：左边=右边，所以无论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上;(2)已知-4vk<0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B,设A(xi,0),B(X2,

15、0),xi>X2,依题意xi,2=|AB|=|xi-x2|=|鱼W(k一口/匕-也露J=V(k-2)2-4tk+li2=Qk%2k=g(kZ"2'由此可知，当k=-2时，AB达到最大值J五即2区,而k=-2恰好在-4vkv0内，所以A、B间距取得最大值时k的值为-2.(3)存在.因为若AB皿等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上,又丁点D在抛物线上，.若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点，当k=-2时，抛物线L:y=x2+4x+1,顶点D(-2,-3),解方程x2+4x+1=0,得xi=-2+V,x2=-2-Vs,所以A(-2+43,

16、0),B(-2-0),如图，在ABD中，DB=DAE为AB中点，AB=|(2+虚)(2-V3)|=2/3,.AE=V3,tan/BAD=GL=/,Vs/BAD=60°,.ABD为等边三角形，因为直线y=ax+b经过点A(-2+近，0)、D(-2,-3),所以依题意把k=2代入”口，b-2a+b=-3解得：,尸2y所以所求为y=Jjx-3+2点.7.【解答】解：(1).直线y=kx+b过点B(0,2),b=2.(2) y=kx+b绕点B旋转到与x轴平行，即y=2,.P(2,2)或P(2,2),依题意有：-x2+1=2,4x=±2,.P(2,2)或P(-2,2).(3)假设存在

17、点P'(x。，y。)，使P'BM为等边三角形,如图，则/BP'M=60°P'M=yoP'B=2(P'M2)=2(y。2)且P'M=P'B即y0=2(y。2)y0=4又点P'在抛物线y=x2+1上4.丁+1=4x=±273或P'(-2/3,，当直线y=kx+b绕点B旋转时与抛物线y=x2+1相交，存在一个交点P'（20&,4）4a4(a2)=(a2)+4>0,a2+a-2.44)使P'BM为等边三角形.8【解答】证明：（1）:二.判别式4=，抛物线与x轴总有两个不同的

18、交点.又.抛物线开口向上，抛物线的顶点在x轴下方.或由二次函数解析式得：y=（x+年）.抛物线的顶点坐标-Aa2+a-2=-1(a-2)2+1<0,44当a取任何实数时总成立.，不论a取任何值，抛物线的顶点总在x轴下方.(2)由条件得：抛物线顶点Q(-包，-比a2+a-2),点C(0,a-2),当aw0时，过点C存在平行于x24轴的直线与抛物线交于另一个点D,此时CD=|-a|,点Q到CD的距离为|(a-2)-(-La2+a-2)|=A44a2,自Q作Q弘CD,垂足为P,要使QCM等边三角形，则需QP=CD,2即>La2=上当-a|,42.aw0,解得a=±2、/5，(或由CD=CQ或由CP=-L,CQ等求得a的值)，.Qcm以是等边,此时对应的二次函数解析式为y=x2+2rfx+2j-322或y=x?-2f-3x_2/三-2.9.【解答】解：(1)ABC是直角三角形，./BAC=90°,/ACB=30°,./OAB=30°,OB=OA?tan30=V3,OC=口山，=3,tan30即：点B、C的坐标分别为(一V3,0)、(4,0),设：