4.2三角形四心的向量问题

1、相关三角形“四心”的向量问题一知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”相关的向量问题【命题1】已知G是ABC所在平面上的一点，若GAGBGC0，则G是ABC的重心.如图.OA,B,C是平面上不共线的三个点，动点【命题2】已知0是平面上一定点，OP=0A(ABAC),(0,)，则P的轨迹一定通过ABC的重心.IH【解析】由题意A(ABAC)，当(0,：)时，因为(A

2、BAC)表示P满足BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图.7与“垂心”相关的向量问题【命题3】P是厶ABC所在平面上一点，若PA=PB=PCPA，则P是厶ABC的垂心.【解析】由PAPBI)=00，所以PB丄.同理可证PC丄AB,PA丄BCP是ABC的垂心如图CBA,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=0A亠的垂心.【解析】由题意因为ACABcosB1ACcosC-（o,二）,则动点P的轨迹一定通过ABCABcosB即BAP=ABcosB-AC-ACcosC匹.cosB'ACACcosC-'CB'ACcosC-0,所以AP表示

3、垂直于BC的向量,在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，如图.【命题5】若H为ABC所在平面内一点,2+CA12HC+AB则点H是ABC的垂心证明:-HA.(HAHB)BA=(CACB)*BA得(HAHB-CA-CB)BA=0即(HCHC)BA=0AB_HC同理AC_HB,BC_HA,故H是AABC的垂心与“内心”相关的向量问题BC=a.若【命题6】已知IABC所在平面上的一点，且AB=c,AC=b,alAbIBcIC=0，则I是厶ABC的内心.【解析】竟fAAB,在"，则由题意得（abc嵌bABcAC=0,Al=bc.T与AC分别为AB和AC方向上的单

4、位向量，a+b+c*AB|aC|aB|ACAl与/BAC平分线共线，即Al平分.BAC.同理可证：Bl平分.ABC,Cl平分.ACB.从而I是厶ABC的内心，如图.【命题7】已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足/:-（0,：），则动点P的轨迹一定通过ABC的内心.【解析】由题意得AC二当（0,二）时,AP表示.BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC的内心，如图.与“外心”相关的向量问题【命题8】已知O是ABC所在平面上一点，若OA?二OB?二OC2，则O是ABC的外心.【解析】若OAtCABCAB2x=OC，则外心，如.图。OA-OB-OC

5、2,OA=OB-OC，则o是【命题9】已知8是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足'BcosBAC-ACcosC（0,：），则动点P的轨迹一定通过ABC的外心。【解析】因为TT°B°C过BC的中点,2当，三（0,：）时，ABABcosBAC+ACcosC示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC的外心，如图四心的相互关系1. 三角形外心与垂心的向量关系及应用设厶ABC的外心为°，则点HABC的垂心的充要条件是OH=OA，OB°C。2. 三角形外心与重心的向量关系及

6、应用设ABC的外心为°,则点G为ABC的重心的充要条件是二1（OA：OB:oC）33. 三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用三点共线（°、G、HP满足设厶ABC的外心、重心、垂心分别为°、G、H，则°、G、H三点连线称为欧拉线），且OG=1GH。2二.巩固练习选择题1.已知A,B,C是平面上不共线的三点，°是厶ABC的重心，动点111OP（OAOB2OC）,则点P一定为ABC的（）322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心个平面上有ABC及点°满足关系式：222°ABC°B2CA22=

7、°CAB，则°为ABC的（）A外心内心C重心D垂心3.已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足：PAPB0，则P为ABC的（）A外心B内心C重心D垂心D.AB边的中点4.已知°是平面上定点，代B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OPO（ABAC），则P的轨迹一定通过ABC的（）0A外心E内心C重心D垂心5.已知ABC,P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足PAPCPAPBFBPCe则p点为三角形的（）A夕卜心E内心C重心D垂心6.已知ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足:87已知非零向量AB与AC满足|ABACABACBC=0且TTABACab|ac|则P点为三角形的（）A外心B内心C重心D垂心22T7在，ABC中,动点P满足:CA=CB-2ABCP，则P点轨迹一定通过-ABC的（)A外心B内心C重心D垂心则ABC为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形TTTTTT8点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOB=OBOC=OCOA，则点O是ABC的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的