2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第四章 第29讲 平面向量的数量积 Word版含解析

1、第29讲平面向量的数量积夯实基础【P67】【学习目标】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决一些简单的平面几何问题【基础检测】1. 在四边形abcd中，ABBc=o,且AB=DC,则四边形abcd是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形【解析】在四边形ABCD中，vABBC=O,AB丄BC,vAB=DC,/.AB綊DC,四边形ABCD是矩形.故选C.【答案】CL2. 已知向量a=(1,2),b=(t,2詁2),若向量b在a

2、方向上的投影为岑3则实数t=()A.1B.1C.3D.5【解析】根据一个向量在另一个向量方向上的投影的定义,a*htr4可得百=33,解得t=-1,故选A.【答案】A3. 已知a,b,c都是单位向量，且a+b=c,则ac的值为.【解析】由a+b=c得ac=b,两边平方得a22a*c+c2=(b)2,又a,b,c都是单位向量，所以有12ac+1=1,所以a-c=2【答案】14. 已知向量a,b满足lal=lbl=2且(a+2b)(ab)=2,则向量a与b的夹角为.【解析】设a与b的夹角为6.依题意得a22b2+a*b=2,48+4cos6=2,cos6=2>nn又6丘0,n,因此6=3，即

3、向量a与b的夹角为3.【答案】3【知识要点】1两向量的夹角已知非零向量a,，作OA=a,OB=b，贝VZAOB叫作a与b的夹角.a与b的夹角的取值范围是0,n.当a与b同向时，它们的夹角为_0；当a与b反向时，它们的夹角为n；当夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作alb.2. 向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把lallblcos8叫作a与b的数量积（或内积），记作ab,即ab=lallblcos8.规定：零向量与任何向量的数量积为0,即a=0.3. 向量数量积的几何意义向量的投影：lalcos8叫作向量a在b方向上的投影，当8为锐角时，它是正值；当8为钝角时，它是负值：

4、当0为直角时，它是零.ab的几何意义：数量积ab等于a的长度lal与b在a方向上的投影lblcos8的乘积.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2,y2），8为向量a，b的夹角.11，'22结论22/-几何表示坐标表示模lal=ja*alal=x?+y?数量积ab=lallblcos8111ab=x1x2+y1y2夹角abcos8=lallbl1212x.Xc土y卫cos8=a丄b的充要条件ab=0abl与lallbl的关系lablWlallbl（当且仅当ab时等号成立）寸x1+yfJ|+y25.平面向量数量积的运算律ab=ba.(2)(Aa)

5、b=(ab)=a(Ab)(AwR).(3)(a+b)c=ac+bc.典例剖析p68】考点1数量积的运算例1(1)已知向量a=(3,1),b=(1,m),a(a2b)=0,则m=()A.2B.1C.1D.2【解析】根据向量的坐标运算，代入坐标得(3,1)(3,1)2(1,m)=0,3+1+2m=0,解得m=2,所以选A.【答案】A(2)已知四边形ABCD为平行四边形，lABl=6,lADl=4,若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,贝yAMNM等于()A.20B.15C.9D.6【解析Am=Ab+4aD,NM=CMCN=4aD+|Ab,:.AmNm=4(4Ab+3ad)1(4aB-3aD)=

6、418(16AB2-9AD2)=418(16X62-9X42)=9，故选C.【答案】C(3)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DECB的值为；DEDC的最大值为.【解析】以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t,0),te0,1,则DE=(t,i),CB=(o,-i),所以DECB=(t,i)(o,i)=i.因为DC=(i,o),所以DEDC=(t,i)(i,o)=twi,故DEDC的最大值为1.【答案】ii【小结】(i)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的

7、几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补考点2向量的模与夹角例2(1)已知向量m与n满足lml=1,lnl=2,且m丄(m+n),则向量m与n的夹角为.【解析】设m,n的夹角为6,因为m丄(m+n),所以m(m+n)=m2+mn=1+1X2cos6=0,所以cos6=2，又0W6Wn所以6=120°.【答案】i20°(2) 已知向量a,b都是单位向量，且ab=2，则12abl的值为.【解析】12abl=；(2ab)2=l4a24ab+b2=42+1=3.【

8、答案】迈(3) 在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0),B(0,；3),C(3,0),动点D满足lCDl=i,贝UlOA+OB+ODl的最大值是.【解析】设D(x,y),由CD=(x3,y)及lCDl=1知(x3)2+y2=1,即动点D的轨迹是以点C为圆心的单位圆又OA+OB+OD=(1,0)+(0,<3)+(x,y)=(x1,y+V5),()A+(Ob+(Od=(X-1)2+(y+3)2.问题转化为圆(x3)2+y2=l上的点与点P(l,V3)之间距离的最大值.圆心C(3,0)与点p(1,鳥)之间的距离为；(31)2十(0+/3)2=./7,故(x1)2+(y+；3)2的最大值为&

9、#39;'7+1.【答案】曲+1【小结】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角.(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.考点3平面向量的垂直2n例3(1)已知e1与e2为两个夹角为三的单位向量，a=e12e2b=ke1+e2.若ab=0,则实数k的值为.2n【解析】因为e1与e2为两个夹角为可的单位向量，a=e12e2b=ke1+e2,ab=0,所以©2e?)(ke1+e2)=ke22e2+(12k)e1e2=2k2=0,JL厶JL厶JL厶JL厶所以k=5.【答案】5(2)已知向量AB,AC的夹角为120°,ab=5,AC=2,AP=AB+2AC.若AP丄BC,则2=【解析】向量AP丄BC，贝UAPBC=0,即(AB+AAC)(ACAB)=0,整理可得一Afc+(1久)AB.Ac+aac2=o,其中AB2=25,AC=5X2Xcos120。=5,AC2=4,据此有：一25+(12)X(5)+AX4=0,解得久=屮.【答案】罟【小结】平面向量的垂直关系利用向量数量积等于零，但要灵活选择数量积的形式,n=(sinx,cosx),xW(0,J.【能力提升】例4在平面直角坐标系xOy中，已