2019-2020年高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明知能训练轻松闯关理北师大版选修

1、2019-2020年高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明知能训练轻松闯关理北师大版选修1.如果xo,比较x1)2与Cjx+1)2的大小.解：(“jx1)2(；x+1)2-_=Cjx1)+(l；x+1)("Jx1)cjx+1)因为x>0，所以i'x>0，所以一4px0,所以(“x1)2(；X+1)2.2.设ab0,求证:a2b2aba2+b2>a+b'证明：法a2b2aba2b2aba3b3ab2+a2ba3+b3+a2bab2(a2+b2)(a+b)2a2b2ab2(a2+b2)(a+b)2ab(ab)(a2+b2)(a+b)'

2、;因为ab0，所以ab0，ab0，a2b20，ab0.所以a2b2a2b2abO+b>0,所以a2b2aba2+b2>a+b'法二：因为ab0，所以ab0，ab0.a2b2a2+b2a2b2a+b所以a-b=a2+b2百a+b(a+b)2a2+b2a2+b2+2aba汁b22ab十吋.所以a2b2aba2+b2>a+b'3. (xx高考湖南卷)设a>0,b>0,且a+b=+£.证明：ab(1) a+b22；(2) a2+a2与b2+b2不可能同时成立.11a+b证明：由a+b=a+b=&匕，a>0,b>0，得ab=1.

3、(1)由基本不等式及ab=1,有a+b三2；ab=2,即a+b三2.假设a2+a<2与b2+b<2同时成立，则由a2+a<2及a>0,得0a1；同理，0b1，从而ab<1，这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.4. 已知a,b,c均为正实数，且互不相等，且abc=l,求证：Ja+；'b+/cl+b+£bc证明：法一：因为a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc=1，1+1丄+丄1十丄所以后価+&=G+£+语捋+寸+=a+i+c所以込+小+讥a+c法二：因为”醫2：计=2讥；1+1三2讥=2晶1+徉=2鴉所以

4、以上三式相加，得a+b+c三'a+Jb+pcabc又因为a,b,c互不相等，所以-+匚+-a+：b+；c.bc法三：因为a,b,c是不等正数,且abc=1,11bc+caca+abab+bcj:>_:-(厂r-所以a+b+c=bc+ca+ab=+2+'2；abc2+Wa2bc+；ab2C=讨a+飞：b+'c.所以：'a+-册+启半+半+c-5. （xx高考课标全国卷I）若a0,b0,且丄+吕二寸乔.ad（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.ii2解：由''ab=+-Y，得ab±2，且当a

5、=b=.'2时等号成立.ad斗ab'故a3+b322i；a3b324"¥'2,且当a=b=：2时等号成立.所以a3+b3的最小值为4远._由（1）知，2a+3b±2/6/aD三4巾.由于.'3>6，从而不存在a,b,使得2a+3b=6.6. （xx贵州省六校第一次联考）已知a>0,b>0,a+b=1,求证：a+D+詐8；（2）1+弓1+爪9.证明：（1）因为a+b=1,a>0,b>0,十11111a+b所以一+匚+i=+匚+'abababab=2G+b）（a+ba+b=2l"V+&qu

6、ot;F）=2（#+|）+4三4攀¥+4=8（当且仅当a=b=2时，等号成立所以丄+2+W三8.abab因为i+a)i+b)=a+b+Ob+i，由知a+h/沁所以i+ah+b卜9.2019-2020年高考数学一轮复习选修部分不等式选讲课时达标检测六十三绝对值不等式理1.已知函数f(x)=|x+m|5x|(mWR).(1) 当m=3时，求不等式f(x)>6的解集；(2) 若不等式f(x)W10对任意实数x恒成立，求m的取值范围.解：(1)当m=3时，f(x)>6，即|x+3|5x|>6,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.x+3xr5>6'解得x&

7、#177;5；一3x5,x+3+x5解得4<x<5；6'xW3,解集是x一3+x一，*5>o故不等式f(x)>6的解集为x|x4.(2)f(x)=|x+m|5x|<|(x+m)+(5x)|=|m+5|，由题意得|m+5|W10，则一10Wm+5W10，解得一15WmW5，故m的取值范围为15,5.2.(xx江西南昌模拟)已知函数f(x)=|2xa|+|x1|.(1) 若不等式f(x)W2|x1|有解，求实数a的取值范围;(2) 当a<2时，函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.a解：(1)由题意f(x)W2|x1|，即为x+|xl|Wl.而由绝对值

8、的几何意义知aax2+|xl|221由不等式f(x)W2|x1|有解，a21W1,即0WaW4.实数a的取值范围是0,4.a(2)由2xa=0得x=2,由x1=0得x=<f(x)=-3x+a+1卜2x-a+1匕WxWlJ,3xax函数的图象如图所示f(x)mi=f9=2+1=3'解得a=-4.3.(xx广东潮州模拟)设函数f(x)=|2x+3|+|x1|.(1)解不等式f(x)4；若xw(b,，不等式a+1f(x)恒成立,求实数a的取值范围.解：(1)*.*f(x)=|2x+3|+|x1|,<f(x)=3x+4,©WxWl,3x2，x1，f(x)>4，可化为

9、<I3x243石WxWl,或2、x+44，x1.3x24，解得x<2或OxWl或x>1.不等式f(x)>4的解集为(一R,2)U(0,+).3(2)由知，当x<时，f(x)=3x2,35*.*当x<2时'f(x)=3x22,a+iw5,实数a的取值范围为(一R,2.4. (xx长春模拟)已知函数f(x)=|x2|x+1|.(1)解不等式f(x)>1；(2)当x0时，函数g(x)=ax2x+1x(a>0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围解：当x>2时，原不等式可化为x2x1>1,解集是.当一1WxW2时，原不等式可

10、化为2xx11,即一lWxO；当x<1时，原不等式可化为2x+x+ll,即x<1.综上，原不等式的解集是x|xO.(2)因为g(x)=ax+_1三2勺a1，x当且仅当x=a时等号成立,所以g(x)=2&1,min当x0时，f(x)=2x,0xW2,3,x>2,所以f(x)G3,1)，所以2；a1三1,即a三1,故实数a的取值范围是1,+s).5. (xx湖北四校联考)已知函数f(x)=eix+a|-|x-b|,a,bGR.当a=b=1时，解不等式f(x)2e；(2)若f(x)We2恒成立，求a+b的取值范围.解：当a=b=1时，f(x)=eix+i|-|xi|,由于y

11、=ex在(b,+b)上是增函数，所以f(x)2e等价于|x+1|x1|1,当x±1时，|x+1|x1|=x+1(x1)=2，则式恒成立;当一lxl时，|x+1|x1|=2x，式化为2x21,此时|<x<1；当xW_l时，|x+1|x1|=2，式无解.综上，不等式的解集是2，+二).(2)f(x)We2等价于|x+a|xb|W2,因为|x+a|xb|W|x+ax+b|=|a+b|,所以要使式恒成立，只需|a+b|W2,可得a+b的取值范围是2,2.6. (xx湖北枣阳一中模拟)已知f(x)=|x1|+|x+a|,g(a)=a2a2.当a=3时，解关于x的不等式f(x)g(a

12、)+2；(2)当xGa,1)时恒有f(x)Wg(a)，求实数a的取值范围.2x2,xW3,解：(l)a=3时，f(x)=|xl|+|x+3|=<4,3xl,g(3)=4.、2x+2,x±l.f2x2>6,46f(一c或、xW3或3x1、f(x)>g(a)+2化为|x1|+|x+3|6.C2x+2>6,即x±l.解得x4或x2.所求不等式解集为（一,4）U（2,+）.(2)VxGa,l)f(x)=1+a.f(x)Wg(a)即为1+aWa2a2,可化为a22a3三0,解得a三3或aW1.又al,.a一1.综上，实数a的取值范围为3,+s).7. (xx安

13、徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=|2xa|+|2x+3|,g(x)=|x1|+2.(1) 解不等式|g(x)|5；(2) 若对任意XWR，都有xfR，使得f(xi)=g(x2)成立，求实数a的取值范围.解：由|x1|+2|5，得一5<|x1|+25,.一7<|x1|3，解得一2x4,.原不等式的解集为x|2x4.(2)V对任意XWR，都有xfR,使得f(X)=g(X2)成立,.y|y=f(x)y|y=g(x).又f(x)=12xa|+|2x+3|三|(2xa)(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x1|+2三2,|a+3|22,解得a三一1或aW5,实数a的取值范围是(一a,5U1,+).8. 已知函数f(x)=|3x+2|.(1)解不等式f(x)4|x1|；已知m+n=1（m,n>0）,若|xa|f任）0牛+討>0）恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)不等式f(x)<4|x1|,即|3x+2|+|x1|<4.2当x<3时，即一3x2x+1<4,52解得一4x§；2当一§WxW1时,即3x+2x+l4,解得一|wx2；当x>1时，即3x2x1<4，无解综上所述，原不等式的解集为<xi4x2>