第六章代数系统备课讲稿

1、第六章代数系统第六章代数系统1. 填空题：f是X上的n兀运算的定义是()。2. 判断正误，并说明原因：自然数集合 N上的减法运算“一”是个封闭 的运算。3. 判断正误，并说明原因：实数集合 R上的除法运算“ ”是个封闭的 运算。4. 填空题：代数系统的定义是：()。5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征 是()。6. 填空题：*是X上的二元运算，*具有幕等性，则它的运算表的特征 是()。7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判 定哪个元素是幺元？8. 简答题：*是X上的二兀运算, 定哪个元素是零元？具有零元，如何在它的运算表上判9. 简答题

2、：*是X上的二兀运算, 素x的逆元？具有幺元，如何判定哪个元素是元10 令 N4=0,1,2,3，N4上定义运算 +4：任何 x,y N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4)。例如 2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)= 1请列出N4, +4 的运算表。然后判断+4运算是否有交换性、有幺 元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这 些元素都是什么。11. 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“”来说，0 是幺元。12. 填空题：E是全集，E=a,b , E的幕集P（E）上的交运算 的幺元是 （）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别

3、是（）。13. 填空题：E是全集，E=a,b，E的幕集P（E）上的并运算 的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。14. 填空题：E是全集，E=a,b，E的幕集P（E）上的对称差运算 的幺 元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（）。它们的逆元分别是（）。15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“ + ”，13=（）。16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。18. 设 是X上的二元运算，如果有左幺元 eL X，也有右幺元 讯 X，贝U eL= eR =e，且幺元e是唯一的。19. 设 是X上的

4、二元运算，如果有左零元B l X，也有右零元B R X，则Bl= Br = B,且零元B是唯一的。20. 设 是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果 x X，x的左、 右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。21. 设 是X上且可结合的二元运算，如 a X，且a-1 X，则a是可 消去的，即任取x,y X，设有a x=a y则x=y。22. 对于实数集合R,给出运算如下：+是加法、一是减法、？是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x 与y差的绝对值。判断这些运算是否满足表中所列的性质。如果满足 就写Y”,否则写N”。+一?maxmin|x-y

5、|可结合性可交换性存在幺兀存在零兀23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算*如下：任取x,y R,x*y=xy 2x 2y+ 61 验证运算*是否满足交换律和结合律。2求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。3.对任何实数x，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没 有，说明原因。24. 设 是X上有幺元e且可结合的二元运算，求证如果x X，都存在左逆元，则 x的左逆元也是它的右逆元。25.给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用Y”表示“有”，用''表示“无”填下面表。如果运算有幕等元、有幺元、 有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么。a)b)c)

6、d)a b ca b ca b ca b ca a b ca a b caT a b ca a b cb b c ab b a cb a b cb b b cc c a bc c c cc a b cc c c b交换性幕等元幕等性有幺元有零兀有可逆元素a)b) 1c)d)26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同 构、自同构？27. 什么叫做同态核?28. 请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由29. 给出集合A = 0,1,2,3和A上的二元运算“*”。集合B = S,R,A,L 和B上的二元运算“ ”。它们的运算表如下面所示。验证A, *与B, 同构。0

7、1 2 30 01 2 31 12 3 02 23 0 133 0 1 2S R A LSS R A LRR A L SAA L S RL_ S R A30令S=X, *|X是集合，*是X上的二元运算，即S是所有含有一 个二元运算的代数系统构成的集合。是S中的代数系统间的同构关系。求证，是S中的等价关系。31.令 A=0,1,2,3,4,B=1,2,4,8,16, , + 表示加法，*表示乘法,问A,+和 B,*是否同构？为什么？32已知代数系统S, * 和P, ，其中S=a,b,c P=1,2,3二元运算表如下所示：*a b c1 2 3aa b c1十1 2 1bb b c21 2 2cc

8、 b c31 2 3试证明它们同构33给定两个代数系统，R+ ,X: R+是正实数，X是R+上的乘法运 算；R, +： R是实数集合，+是R上的加法运算。它们是否同构? 对你的回答给予证明或者举反例说明之。Y。并设f: X Y是34. 已知代数系统X, 与Y, 同构，即X同构映射,请证明如果运算 可结合，则运算 也可结合。Y。并设f: X Y是35. 已知代数系统X, 与Y, 同构，即X同构映射,请证明如果运算 可交换，则运算 也可交换36. 已知代数系统X, 与Y, 同构，即X Y。并设f: X Y是 同构映射,请证明如果运算有幺元e，则运算也有幺元e，且f(e )= e。37. 已知代数系

9、统X, 与Y, 同构，即X Y。并设f: X Y是同构映射,请证明如果运算 有零元B ，则运算 也有零元B，且f( 0 )=0。38已知代数系统X, 与Y, 同构，即X Y。并设f: X Y是同 构映射，请证明如果X, 中每个x X可逆，即x-1 X,则Y, 中 每个 y 丫 也可逆，即 y-1 丫。且如果 y=f(x)，则 y-1= (f(x)-1 =f(x- 1)。 (x映像的逆元=x逆元的映像)39集合A上两个同余关系R、S,证明R n S也是同余关系.40. 考察代数系统<1,+>,定义I上如下关系R是同余关系?a) .<x,y> R 当且仅当(x<0 A

10、 y<0) V (x> 0A y> 0)b) . <x,y> R 当且仅当 |x-y|<10c) . <x,y> R 当且仅当(x=y=0) V (x 0 A y 0)d) . <x,y> R 当且仅当 x > y41. 填空： 是A上二元运算，代数A, 是半群，当且仅当()42. 填空： 是A上二元运算，代数A, 是独异点，当且仅当()。43列举出5个你所熟悉的是半群的例子。44.列举出5个你所熟悉的是独异点的例子。45列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。46. 给定代数系统R, ， 是实数R上二元运算，定义为：a,

11、b R,a b=a+b+a 求证R, 是独异点。47. <A, >是个半群，a,b A，若ab则a b a，试证:a) a A，有 a a=ab) a,b A， a b a=ac) a,b,c A， a b c=a c48. 设<S, *>是个半群，且左右消去律都成立，证明S是交换半群的充要条件是对任何a,b S,有(a*b)2=a2*b249. 设<S, >是半群，如果S是有限集合，则必存在a S,使得a a=a。50. 设A是有理数集合，在笛卡尔积 A沁 上，定义二元运算如下：任取<a,b>,<c,d> A XA <a,b&

12、gt;<c,d>=<a c,a d+b> 其中： 是乘 法。+是加法。求证<A XA, >是独异点。51.设<M,>是交换独异点，A是M中所有幕等元构成的集合，证明<A, >是<M,>的子独异点。52. 令I:是整数集合；N :自然数集合，R:实数集合。+是加法运 算，X是乘法运算。给定代数系统v|,+>,vR,+>, v|,X>,<N, X>,<R,X>,<P(E),>,< P(E),>,<P(E),>。请问哪些代数系统不是群？只要说明一条理由

13、即可。又问哪些代数系统是群？并说明理由。53. X=R 0,1, X上定义六个函数，如下所示：x X,1fl(x)=x f 2 (x)=x f3 (x) = 1_xf4（X）= （1-X）-1 f5（X）= （X-1）X-1 f6（X）=X（X-1） -1令F=fl,f2, f3, f4, f5, f6,是F上的复合运算，试证明VF, 是群54. 令 R 是实数，F=f| f(x)=ax+b , a,b,x R,a o , 是 F 上的函数左 复合运算，试证明F,是群。55. 设A,是半群，e是左幺元，且对每个X A , x ' A，使得x ' x=e,a) 证明,a,b,c

14、A，若 a b=a c，贝U b=c。b) 证明A,是群。56. 设A, *是群，且|A|=2n, n是正整数，证明A中至少存在一个元素 a,使得 a*a=e。57. 填空：令G,*是群，其中G=a,b,c，设a是幺元，贝U b2=()， b*c=( )，b和c的阶分别是()和()。58. A是非空的有限集合，且|A| = n。令F= f| f是A A的双射函数1求|F|等于多少？2.令*是函数的左复合运算。问F,*是群吗？如果是，给予 证明。如果不是，要说明理由。59. 设G,*是4阶群，其中G = a,b,c,d，已知a是幺元，b与c互为 逆元。首先计算c*d (要有计算过程)，再分别求元

15、素b与d的阶。60. 设G,*是4阶群，其中G = a,b,c,d，已知a是幺元，且所有元 素的逆元都是它自身。求满足方程式b*x=c*d中的x 。61. 判断下列各命题的真值，并说明理由。1. G,*是个 n 阶群，则对于任何 a,b G,有 (a*b)-n=(b*a)n。2设f是群G,*到群S,+的满同态映射，则对任何a,b G,有 f(b*a-1)=(f(a*b-1)-1。62. 设G, 是个群，证明G中除幺元外，无其它幕等元。63. 设G, 是个群，则对任何a,b G,证明存在唯一元素x G,使得 a x=b。64. <G, >是个群，对任何 a,b G,证明(a b)-1

16、=b-1 a-165. G, 是个有限群，证明G中每个元素在 运算表中的每一行必 出现且仅出现一次。66. 填空：G, 是个n阶群，则 运算表有()特征。67. 什么叫做群的阶？68. 什么叫做群中运算的阶?69指出整数集合加法群1,+中，各个元素的阶是什么？为什么？70. G, 是群,a G,如果a的阶为n ,证明ak=e,当且仅当k=mn (m 1)(即k是n的整数倍)71. 证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。72. 设G, 是有限群，任何a G,证明a的阶都是有限的73. 设G, 是群，而a G, f:G G是映射, 对x G, f(x)=a x a-1求证f是G到G的自同构74. 设

17、G,*是个群,而a G,如果f是从G到G的映射,使得对任何x G,都有f(x)=a-1*x*a试证明f是从G到G的自同构.75. 设A,*与B, o都是群，在A与B的笛卡尔积A XB上，定义二 元运算如下：任取ai,bi,a2,b2 A XB ai,bi a2,b2=ai*a2 ,bi ob2 求证A XB, 也是群。76. 设A,*与B, 0都是群，在A与B的笛卡尔积A XB上，定义二 元运算如下：任取ai,bi,a2,b2 A XB ai,biAa2,b2=ai*a2 ,bi ob2已知A , 也是群。定义映射f: A XB - A ,对任意va,b A XB, f(a,b)=a求证f是A

18、 XB, 到A,*的同态映射，并求出f的同态核。77. 令G= 2m3n|m,n Q,Q是有理数，?'是G中乘法运算。1 证明G，?是个群。2.给定映射f:G G，f定义为f:2m3n 2m，证明f是G到G的同 态映射；并求出f的同态核。78. 给出两个群G,和S,的运算表如下：证明它们同构pi p2 p3 p4qi q2 q3 q4pi pi p2 p3 p4 p2 p2pi p4 p3qi q3 q4 qi q2q2 q4 q3 q2 qiq3 qi q2 q3 q4q4 q2 qi q4 q3P3 p3 p4 pi p2P4 p4 p3 p2 p179. 判断下面命题的真值。并简

19、单说明原因。i. R为实数集合，x为乘法运算，则R,X是个交换群。2. 设G,*是n阶群，则对任何a,b G,有a-n=bn。3设G,*是群，且对G中任何元素的逆元都是它自身，则它是 交换群。80. <G, >是交换群，当且仅当 对任何a,b G有(a b) (a b)=(a a) (b b)(即(a b)2=a2 b2 )8i.令G=km|k Z，m是某个确定的自然数，Z是整数集合，+是加 法运算。证明G,+是交换群。82. 设I是整数集合，在I上定义二元运算如下:对于任何 a,b I a b=a+ b 2 求证vI,是个交换群.83. 已知G ,*是交换群，a G,在G上又定义

20、一个二元运算“？”如 下：对于任何x,y G, x?y=x*a-1*y （其中a是a对于*运算的逆元） 求证G,?也是交换群。84. 令G是所有非0实数构成的集合，在G上定义二元运算 如下: ab任何a,b G, a b 2。求证G,是个交换群。85. 设I是整数集合，在I上定义二元运算*如下:对于任何 a,b I a b=a+ b 4 求证vI,是个交换群。86设G, 是群，x G,有x x=e,证明G, 是交换群87. 证明任何阶数为1,2,3,4的群都是交换群，并举一个6阶群，它不 是交换群。88. 给定集合6= x|x是有理数且x工1，在G上定义二元运算*如下：对任何 a, bG， a

21、*b=a + b + abb求证G，*是交换群。89. 设G, 是群，a,b G,有 a3 b3=(a b) 3, a4 b4=(a b) 4,a5 b5=(a b) 5,证明G, 是交换群。90. 什么叫做循环群？什么叫做循环群的生成元？什么叫做循环群的 循环周期？91. 证明循环群都是交换群92. 给定群N4,+4其中N4 =0,1,2,3，+4是以4为模的加法运算 N4,+4 是循环群吗？为什么？如果是循环群请指出它的循环周期。93. 给定群I,+，它是循环群吗？为什么？如果是循环群请指出它的 循环周期。94填空：设G, 是个以g为生成元的有限循环群，|G|=n,则G=()。95. 令I

22、是整数集合，在I上定义二元运算 如下：对于I中任何a元 素，a b=a+ b 2求证vl, 是个循环群96. 设I是整数集合，在I上定义二元运算如下:对于任何 a,b I a b=a 1 + b求证I,是个循环群.97. 设G=1,2,3,4,5,6,旳是7为模的乘法运算，即x,y G, xX7y=(xy)(mod 7),例如 4冷5= 20(mod 7)=6 G,X7是循环群吗？如是，指出生成兀。98. 循环群的任何子群都是循环群99. 填空题：设G, 是以g为生成元的n阶循环群，则元素g的阶 为()。100判断题下面命题的真值：循环群的生成元也是其任何子群的生成丿兀。101.什么叫做子群?

23、102名词解释：平凡子群与真子群103设G, 是群,B是G的有限子集，如果 在B上满足封闭性，则 B, 是0, 的子群。104填空：设H,是群G, 的子群，a G,定义集合:aH=()则称aH为a确定的H在G中的左(右)陪集105设H3=0,2,4，是以6为模的加法运算。验证H3, +6是N6, +6 的子群。并分别求左陪集1H3和2H3。106设N6=0,1,2,3,4,5，+ 6是N6上以6为模的加法运算。即任何 x,y N6, x + 6 y=(x+y)(mod 6),例如 4+ 6 5 = 9(mod 6)=3 1 .画出 N6, + 6的运算表。2. N6,+ 6是否为群？为什么？3

24、. 如果是群，它有几个子群？分别列出子群的运算表。107. 设G, 是群.a G,令 H=y| y a=a y, y G 求证，H, 是0, 的子群。108. 设G,*是个群，R是G中等价关系，定义为：对于任何 a,b,c G,如果有a*b,a*c R,则b,c R.又定义集合H为H= x| x G,且x,e R, e 是 G中幺元求证H,*是G,*的子群。109. 设H, 是G, 的子群,定义集合A如下:A=x| x G, x H x-1=H 求证A,是G, 的子群.110 p是个质数,证明pm阶群中必包含着一个p阶子群.111.证明25阶群必含有5阶子群112. p是个素数，G,*是个p阶

25、循环群，则G中有多少个生成元? 为什么？113 H,*是群G,*的子群，任取a,b G,则aH=bH的充分且必要条 件是()114.设G,*是个群，且|G|=11，任取a,b G,且 a,b不是幺元，设a,b 的阶分别是m和n,令A=a1,a2,am,B=b 1,b2,bn。试问A、B以及 G三者有什么关系？为什么？115 <G, >是群，定义G上关系R如下;R= <x,y>| z G,使得 y=z x z-1 116设G,*是个群,H,*和K,*是其子群,在G上定义关系R为: 任意 a,b G, aRb 存在 h H, k K 使得 b=h*a*k 证明R是G上等价关

26、系.117. 设H,*是群G,*的子群,R是G上关系,定义如下： aRb 当且仅当 a-1*b H, a,b G1 .求证R是G上等价关系.2. e是G中幺元,由e确定的相对R的等价类e，求证e=H118. 设f和g都是群G1, 到G2,的同态，证明C, 是G1, 的一个子群，其中C=x| x G1 且 f(x)=g(x)119. 设f是从群Gi, 到G2, 的同态映射，则f为入射，当且仅当 Ker (f)=e 1,其中e1是G1中的幺元。120. .G是个6阶群，证明G中一定有且只有一个3阶子群121设G, 是群,S是G的非空子集，如果任何a,b S有a b-1 S, 则S, 是0, 的子群

27、。122已知H1, 和H2, 是群G, 的子群，求证H1G H2, 是 H1, 、H2, 和G, 的子群。123设G,*是个群，H,*和K,*是其子群，且已知|H|= 6, |K| =35,试求H K。并对你的回答说明原因。124. 设H,*是群G,*的子群，且H G, |G|=15,则H,*是交换 群。此说法正确否？为什么？125. 填空：设G,*是个群，且已知|G|= n,如果元素a G, a的阶为 m,贝U m与n的关系是（）到丫，的同态映射,X1 ,X2 X，且y1 =126. 填空：设f是从群X, f(xi)、件f(X2), 则 f(X 1-1X2)-1)=()。127. 设f是从群

28、X, 到Y, 的同态映射，K为f的同态核，即 ker（f）=K。求证，对任何X中元素x,y，如果x与y在K的同一个陪集 中，则有 f（x）=f（y）。128. 填空：代数系统R,*, ?是个环，当且仅当R, *是个（），R, ? 是个（），并且还满足条件（）。129. 填空：代数系统R,*, ?是个交换环，当且仅当R, ?是个 （）,R,*, 是个（），并且还满足条件（）。130. 填空：代数系统R,*, ?是个含幺环，当且仅当R, *是个 （）,R, ?是个（），并且还满足条件（）。131填空：代数系统R,*, ?是个整环，当且仅当R, ?是个（）， R,*, 是个（），并且还满足条件（）和

29、（）。132填空：代数系统R,*, ?是个域，当且仅当（）是个交换群，（）是个交换群，并且还满足条件（）。133填空：代数系统F,*, ?是个域，当且仅当F,*是（），F 0, ?是（），并且还满足条件（）。134令 N是自然数集合，I是整数集合，R是实数集合，+和分别是加 法和乘法,N,+, A,vI,+, , vR,+, 中哪些不是环吗？为什么？如果是 环，那些不是整环？为什么？哪些不是域？为什么？135. 判断<P(E),U ,n >, <P(E), , U >, <P(E),>是否为环？为什么?136. 试证I,是有幺元的交换环，其中 和的定义为：对

30、任何a,b I,a b=a+b-1 a b=a+b-ab137. 设A,+,?是一个环,并且对于任何a A ,有a?a=a ,证明a) 对于任何a A,都有a+a= 0,其中B是+的幺元.b) . A,+,?是一个交换环.138. 下面的说法是否正确？说明理由.设F,+,*是个域，对任何 a,b F,如果a*b=0,则必有a=0或b=01. 答案：（f: Xn 丫 ）。2. 答案：错误。举反例：1 2 = -1, -1不是自然数。所以不封闭。3答案：错误。0不能做除数。例如1 0没有定义，所以“ ”不是R上 的运算。4. 答案：代数系统定义：X是非空集合，X上有m个运算f1, f2, f3,

31、fm,则称X, f1, f2, f3,环为一个代数系统。5. 答案：（它的运算表是个与主对角线为对称的表）6. 答案：（运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同）7答案：从运算表找左幺元eL : eL所在行的各元素均与上表头元素相同。 从运算表找右幺元eR : eR所在列的各元素均与左表头元素相同。eL= eR=e e是幺元。8. 答案：从运算表找左零元B L : 0L所在行的各元素均与左表头元素相 同。从运算表找右零元B R：OR所在列的各元素均与上表头元素相同。6l =Br = B. B 是零元。9. 答案：从运算表找x的左逆元xl-1 :在x列向下找到e后，再向左到左表 头元素即是

32、xl-1。从运算表找x的右逆元xr-1 :在x行向右找到e后，再向上到上表 头元素即是xr-1。10. 答案：N4, +4 的运算表如下：+40 1 2 30 01 2 31 12 3 02 23 0 13 30 1 2由运算表看出：此运算满足交换性。有幺元 0，没有零元，0的 逆元是0，1的逆元是3，2的逆元是2，3的逆元是1。11. 答案：错误。尽管x 0 = x ,这说明0是右幺元。但它不是左幺 元，女口 0 x = -x x。12. 答案：运算 的幺元是（E）。零元是（）。有逆元的元素是（E ），它们的逆元分别是（E）。13. 答案：运算 的幺元是（）。零元是（E）。有逆元的元素是（）

33、，它们的逆元分别是（）14. 答案：运算 的幺元是()。零元是(无)。有逆元的元素是(所有元素X P(E),它们的逆元分别是(X自身)。15. 答案：13=( 3 )16. 答案：(合取与析取或者集合的交与并)17. 答案：(乘法X,零元是0；合取，零元是F;析取，零元是T;集合的交，零元是；并，零元是全集E。)(写出一个运算 即可)18. 答案：证明：因为eL是左幺元，又eR X，所以eL eR=eR 因为eR是右幺元，又eL X，所以eL eR= eL于是 eL= eR =e。下面证明幺元的唯一性。假设有两个幺元 &、e2，因为8是幺元，又e2 X，所以e1 e2=e2因为e2是幺

34、元，又e1 X，所以e1 e2= ei则e1= e2 =e。所以幺元是唯一的。19. 答案：证明：因为Ol是左零元，又B r X，所以Bl 0r= 0r 因为Br是右零元，又Ol X，所以Ol 0r= Ol于是 Ol= Or = 0。下面证明零元的唯一性。假设有两个零元01、02，因为01是零元，又0 2 X，所以010=02因为02是零元，又01 X，所以01 02= 01 则0= 02 =0。所以零元是唯一的。20. 答案：证明：设XL-1、XR-1分别是x的左、右逆元，于是有XL-1 x =x xr-1 =e_1 _1 / _1 _1 _1 /_1 _1 _1xr =e xr =( xl

35、 x) xr = xl(x xr )= xle= xl假设x有两个逆元 X1、X2，所以x1 x= e = x X2x2= e x2 =( x1 x) x2= x1 ( x x2)= x1 e = X1所以X的逆元是唯一的。21. 答案：证明.如a X,且a-1 X，任取x,y X，设有a x=a y则 a-1 (a x)= a-1 (a y) (a-1 a) x= (a-1 a) y 所以e x=e y x=y二a相对 是可消去的。22.答案:+一?maxmin|x-y|可结合性YN:丫丫丫N可交换性YNY丫丫丫存在幺兀YN丫NNN存在零兀NN丫NNN23. 答案：证明:1. (1)验证*可

36、交换：任取x,y R，x* y=xy-2x-2y+6 = yx-2y-2x+6=y * x验证*可结合：任取x,y,z R，(x* y)*z =(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6 = xyz-2xz-2yz+6z- 2xy+4x+4y-12-2z+6=xyz-2xz-2yz+4z-2xy+4x+4y-6= xyz-2xz-2yz-2xy+4x+4y+4z -6x*(y*z )=x(yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6 = xyz-2xy-2xz+6x-2x- 2yz+4y+4z-12+6=xyz-2xy-2xz+4x-2yz+4y+4z-6

37、=xyz-2xy-2xz-2yz +4x+4y+4z-6 可见(x*y)*z = x* (y*z)。2. (1)设幺元为e,则对任何x R,有e*x=ex-2e-2x+6=x，于是 e(x-2)=3x-6=3(x-2)所以 e=33*x=3x 2X3 2x+ 6= x由于*可交换x*e= x，所以3是幺元。设零元为B,则对任何x R,有0*x= Gx-2 B2x+6= B,于是 &x-3)=2x-6=2(x-3)所以 0=2。2*x=2x 2X2 2x+6=2由于*可交换x*2 = 2,所以2是零元。3任取x R, x 2 (因为零元不可逆)，设x的逆元为x-1,于是有 x* x-1

38、=x x-1 -2 x-2x-1+6=3, (x-2) x-1 =2x-3，于是 x-1 = (2x-3)/(x-2) 由于*可交换x* x-1 = 3,所以x (x 2)的逆元是(2x-3)/(x-2)。24. 答案：证明：任取a X, b X, b a=e,即b是a的左逆元。c X, c b=e,即c是b的左逆元。于是有a b=e (a b)=(c b) (a b)=c (b a) b=c e b=c b=e 所以 b也 是a的右逆元。25. 答案:交换性幕等元幕等性有幺元有零兀有可逆元素a)丫aN :aNa-1=a , b-l=cb) 1丫a,cNaca-1=a , t)1=bc)Na,

39、b,c丫N,N,Nd)丫a,bn naNa-1=a26. 答案：设X, ,丫，是两个代数系统，和 都是二元运算, 如果存在映射f: X Y,使得对任何X1 ,X2 X，有f(X1 x2)=f(x 1) f(x2)此式叫同态(同构)关系式则称f是从X, 到丫，的同态映射，简称这两个代数系统同态。 记作X Y。如果f是满射的，称此同态f是满同态映射。如果f是入射的，称此同态f是单一同态映射。如果f是双射的，称X,与Y, 同构，记作X Y。f是X,到X,的同构,称之为自同构。27. 答案：设X, ,Y, 是两个代数系统， 和 都是二元运算, 如果存在映射f: X Y是从X, 到Y, 的同态映射，即X

40、 Y 设e是丫中幺元。则集合Ker(f)=x| x X,f(x) = e称此集合为f的同态核。28. 答案：设R+是正实数，X是R+上的乘法运算构成代数系统<R+ , x> R是实数集合，+是R上的加法运算，构成代数系统VR, +>。 <R+ ,X>与 <R, +> 同构。构造映射f: R+ R任何x R+, f(x)=lgx (是双射)任何 x,y R+, f(x Xy)=|g(x Xy)=|gx+lgy=f(x)+f(y)所以<R+ ,X>与<R, +>同构。29. 答案：构造映射f: A B如下,显然f是双射。fA B0

41、> S1 > RF面验证f是同构映射。f(1 *2)=f(3)=L f(1)f(2)=R A=L 二 f(1*2)=f(1) f(2)f(1*3)=f(0)=S f(1)f(3)=R L=S 二 f(1*3)=ff(3)f(2*3)=f(1)=R f(2) f(3)=A L=R / f(2*3)=f(2) f(3) f(2*2)=f(0)=S f(2) f(2)=A A=S / f(2*2)=f(2) f(2)其余类似可验证。 A B30.答案:1.有自反性：任何代数系统<X,> ,有XX证明：因为有双射IX： X X,任取X1 ,X2 X，有1x(X1 X2)= X1

42、 X2 =Ix(X1)Ix(X2)所以 X X。所以 有自反性。2.有对称性：任何代数系统<X,> <Y, *>,如果有X 丫，则必有丫 证明：因有X 丫，二有双射f: X Y,任取X1 ,X2 X，有 f(X1 X2)= f(X1) * f(X 2)因f是双射，.有f-1： 丫 X,任取y1 ,y2 丫因 f :X 丫 是满射，X1 ,X2 X,使得 y1=f(x1), y2=f(x2) X1=f-1 (y1) , X2=f-1 (y2)f-1 (y1* y2)=f-1 (f(X1) * f(X2)= f-1 (f(x 1 X2)= f-1 f(X1X2)=Ix (x

43、1 X2)=X1 X2 =f-1 (y1) f-1 (y2) 丫 X，所以 有对称性。3. 有传递性：任何代数系统<X,> <Y, *>,<Z, >如果有X 丫和丫Z,则必有X Z。证明：因有X 丫，有双射f： X 丫，任取X1 ,X2 X，有f(X1 X2)= f(X 1 )* f(X2)因有丫 Z，有双射g： 丫乙任取y1 ,y2 丫，有g(y1* y2)= g(y1) g(y2)又已知双射g f: X 乙任取X1 ,X2 X，令h=g fh(xi X2)=g f(xi X2)=g(f(xi X2)=g(f(xi) * f(x2)=g(f(xi) g(f

44、(X2)= g f(xi) g f(x2)=h(xi) h(x2)X Z。所以 有传 递性。最后得是个等价关系。31. 答案：A,+和B,*同构。.因为 B=1,2,4,8,16,21, 22, 23, 24,构造双射f: A B。任何i A, f(i)= 2 ；显然f是双射。验证f满足同构关系式。任取i,j Af(i+j)=2 i+j=2i*2j=f(i)*f(j)。所以A,+和B,*同构。32. 答案：证明：构造双射f: S P如下：Pf:Sf(a* b)=f(b)=2 f(a) f(b)=3 2=2 f(a*b)=f(a) f(b) f(b*c)=f(c)=1 f(b) f(c)=2 1

45、=1 f(b*c)=f(b) f(c) f(a*c)=f(c)=1 f(a) f(c)=3 1=1 f(a*c)=f(a) f(c) f(c*c)=f(c)=1 f(c) f(c)=-1 1=1 f(c*c)=f(c) f(c) 可以验证对任何x,y S,有f(x*y)=f(x) f(y)。所以S,*与P, 同 构。33. 答案：R+ ,X与R, +同构。证明：构造映射f: R+ R任何x R+, f(x)=lgx (是双射)任何 x,y R+, f(x Xy)=|g(x Xy)=|gx+lgy=f(x)+f(y)所以R+ ,X与R, +同构。34. 答案：证明：任取y1 ,y2 , y3 丫

46、 ,因f :X 丫是满射，X1 ,X2 , X3 X,使得 y1=f(x1) , y2 =f(x2) , y3 =f(x 3)。y1 (y2 y3) = f(x1)(f(x2)f(x 3) = f(x 1) f(x2X3)=f(X1 ( X2 X3) =f(x 1X2) X3)(因 可结合)=f(x1X2)f(x3) = (f(x 1) f(x 2)f(x3)= (y1y2 )y3也可结合。35. 答案：证明：任取y1 ,y2 丫 ,因f :X 丫是满射，X1 ,X2 X,使得 y1=f(x1) , y2 =f(x 2)。y1 y2 = f(X1) f(X2) =f(X1X2) = f(X2

47、X1)(因 可交换)=f(x2) f(x1) = y2 y1也可交换。36. 答案：证明：任取y 丫因f :X丫是满射，x X,使得y=f(x)y f(e )= f(x)f(e )=f(xe ) =f(x)=yf(e ) y=f(e )f(x)=f(ex) =f(x)=y所以f(e )是相对 的幺元。即f(e )= e。37. 答案：证明：任取y 丫因f :X 丫是满射，x X,使得y=f(x)y f( 0 ) = f(x) f( 9 )=f(x9 ) = f( 0 )f( 9 ) y= f( 9 ) f(x)=f( 9x) = f( 9 )所以f( 9 )是相对 的零元。即f( 9 ) =

48、938. 答案：证明：任取y 丫因f :X 丫是满射，x X,使得y=f(x) 设运算 的幺元e，运算 的幺元e。二f(e )= e。-1-1-1、y f(x )= f(x) f(x )=f(x x ) =f(e )= ef(x-1)y=f(x-1)f (x)=f(x -1 x) =f(e )= e所以 y-1= (f(x) -1 =f(x-1)。39. 答案：证明：设R和S相对代数系统<A,>是同余关系，a) 已经证明过R n S也是A上等价关系。b) .下面证明R n S相对VA,>满足代换性质：任取 xi,x2,yi,y2 A,设有 xiRn Sx2 yiR n Sy2

49、，(推出(xi yi)R n S( x2 y2) 由题设得：(xiRx2 xi Sx2) (yiRy2 yiSy2 )(xiRx2 yiRy2 ) (xiSx2 yiSy2)(xi yi)R( x2 y2) ( xi yi)S( x2 y2)(因 R 和 S 相对 满足代换性 质)(xi yi)Rn S( X2 y2)所以Rn S相对<A,>满足代换性质。故Rns是同余关系.40. 答案：解.a) .不是同余关系，因为不满足代换性质。例如<-i,-2> RA <i,i> R,而<<-i+i>,<-2+i>> Rob) .不

50、是同余关系，因为R不传递，不是等价关系。<i,i0> RA <i0,i9> R,而<i,i9> R.c) .不是同余关系，因为不满足代换性质。例如<-i,2> RA <i,i> R,而vv-i+i>,<2+i>> R。d) .不是同余关系，因为R不对称，不是等价关系。(R是偏 序。)4i .答案：<R, >是半群，当且仅当( 在A上满足封闭性和可结合 性。)。42. 答案：<A >是独异点，当且仅当( 在A上满足封闭性、可结合 性和有幺元。)。43. 答案：是半群：I:是整数集合，N:自

51、然数集合，R:实数集合,v|,+>,<N,+>,vR,+>, <1,X>,<N, X>,<R, X>,<P(E),>,< P(E),>,< P(E),>44. 答案：是独异点：I:是整数集合，N:自然数集合，R:实数集合,<I,+>,<R,+>, <I,X>,<N, X>,<R, X>,<P(E),>,< P(E),>,< P(E),>45. 答案：是半群但不是独异点：如N=i,2,3,4,时，<N

52、,+>。46. 答案：证明：证明 封闭，任取a,b R,由于实数R对+和 封闭，所以 a+b+ab R，故 a b R。证明 可结合，任取a,b,c R,a (b c) =a+(b c)+a (b c) =a+(b+c+b c)+a (b+c+b c) =a+b+c+b c+(a b+a c+a b c)=(a+b+a b)+c+(a c+b c+a b c) =(a+b+a b)+c+(a+b+a b) c=(a b)+c+(a b) c =(a b) c证明有幺元0，任取a R,a 0=a+0+a 0=a 0 a=0+a+0 a=a 所以对 ，0 是幺元。最后得<R, >

53、是独异点。47. 答案：证明：将已知条件若aM b则a b b a,等价变换成：若 a b=b a,则 a=b ” (根据 Q P P Q )a) a A,由可结合得(a a) a=a (a a),由已知条件得a a=a。b) a,b A, (a b a) a=a b (a a)=a b a=(a a) b a=a (a b a)由已知条件得 a b a=a。c) a,b,c A, (a b c) (a c)=(a b) (c a c)=(a b) c=a (b c)=(a c a) (b c)=(a c) (a b c)由已知条件得a b c=a c48. 答案：证明:充分性：已知对任何 a

54、,b S,有(a*b)2=a2*b2。(a*b)2=a2*b2，即 卩(a* b)* (a*b)=(a*a)* (b*b)a (b*a)*b=a* (a*b)*b因为左右消去律都成立，所以左边消去 a,右边消去b得(b*a)=(a*b)，所以S是交换群。必要性：可知S是交换群，任何a,b S,(a*b)2 =(a*b)* (a*b) = s* (b*a)*b= a* (a* b)* b= (a* a)* (b* b)= a2*b2。49. 答案：证明：因<S, >是有限半群，在S上封闭所以任何b S对 任何i > 1有N S,因i可以取无穷多个值，所以必存在正整数i,j(i&

55、lt;j), 使得 bi = bj ,令 p=j-i ,显然 p> 1，j=p+i,于是bi = bj = bp+i = bp bi 即 bi = bp bibi b = bp bi b 二 bi+1 = bp bi+1bi+1 b = bp bi+1 b 二 bi+2 = bp bi+2 于是对所有大于i的正整数q有：bq = bp bq因p> 1，二总可以找到k> 1，使得kp>i，于是有bkp = bp bkp=bp (bpbkp) = (bpbp )bkp = b2pbkp=b2p (bpbkp) = b3pbkp=- = = bkpbkp令bkp=a,于是有a a=a