新课标高考数学题型全归纳等比数列的通项与求和典型例题剖析

1、等比数列的通项与求和一、知识导学1 .等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同个常数，那么这个数列就叫做等比数歹U,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.2 .等比中项：若a,G,b成等比数列，则称G为a和bna13.等比数列的前n项和公式：Sna1(1qn)a1anq1q1q二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,2 .对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比， 防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比

2、都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.4 .在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5 .在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.的等比中项.(q1)(q1)因此q也不为0.6.等比数列an的通项公式an=a1qn-1可改写为an曳qn.当q0,且q1时，y=qx是qa-qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图q三、经典例题导讲A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列正解：当n=1时，a1

3、=S=aq;an1an但a2qa1个指数函数，而y象是函数ya1qqx的图象上的一群孤立的点7.在解决等比数列问题时，如已知,ai,an,d,Sn,n中任意三个，可求其余两个。例1已知数列an的前n项之和Sn=aq0,q1,q为非零常数），则an为（）。错解:an1SnSnn1aqnaqaqn(q1)anSnSn1naq1(q1)an1anq（常数）an为等比数列，即Bo错因：忽略了anSn1中隐含条件n1.当n1时,anSnSn1n1aq(q1)例2已知等比数列an的前n项和记为与，S10=10,S30=70,则S40等于.an既不是等差数列，也不是等比数列，选2一_一/=7,q=77,S4

4、0=S30-q=707.S,S2m-Sm,S3mS2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.10ai(1q)10ais1q得r-qan、1a1(1q)70q102或q10iqS40=6-(1q40)200.1q例3求和：a+a+a+a.n错解：a+a+a+a=1a错因：是（1）数列an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a=0时，a+a2+a3+a”=0;当a=1时，a+a2+a3+-+an=n;231an当a1时，a+a+a+a=.1a例4设a,b,c,d均为非零实数，a2b2d22bacdb2c20,求证：a,

5、b,c成等比数列且公比为d。证明：证法一：关于d的二次方程a2b2d22bacdb2c20有实根，4b2ac24a2b2（b2c2）0,，b2ac20则必有：b2ac0,即b2ac,，非零实数a,b,c成等比数列设公比为，则baq,caq2代入a2a2q2d22aqaaq2da2q2a2q401iq21a20,即d22qdq20,即dq0。错解：S30=S10-q2.q错因：是将等比数列中正解：由题意:3（舍去）证法二：:a2b2d22bacdb2c20a2d22abdb2b2d22bcdc20例7从盛有质量分数为20%勺盐水2kg的容器中倒出都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：(1)第

6、5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg?(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为an,则：a1=0.2(kg),a2=1X0.2(kg),a3=(1)2x0.2(kg)22由此可见：an=(1)n1x0.2(kg),a5=(1)51x0.2=(1)4x0.2=0.0125(kg)。2221(2)由(1)得an是等比数列a1=0.2,q=adb2bdc0,adb,且bdc,，一ba,b,c,d非李，一ac.d。b例5在等比数列bn中，b43,求该数列前7项之积。解：b1b2b3b4b5b6b7DAb2b6b3b5

7、b4vb42b1b7b2b6b3b5,2前七项之积3372187例6求数歹Un1、一刖n项和2n解：S两式相减:2Sn116(n1)12n12n12n12(I1_n121)2n7n12n1I21Sn2(12n12n1n2n1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次2“6、0.2(16)S6a1(q).20.39375(kg)1q1120.40.393750.00625(kg)0.0062520.003125(kg)答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg;6次倒出后，一共倒出盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式:1)a1=2,a3=82)a1=5,且2an+1=3anan2 .在等比数列an,已知a5,a9ai0100,求a18.012n13 .已知无穷数列105,105,105,10甘，求证：(1)这个数列成等比数列1(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的,10(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4 .设数列an为1,2x,3x2,4x3nxn1x0求此数列前