大学数学专业微分几何复习题

1、一、填空题：(每小题2分)1. 向量r(t)=t,31,a具有固定方向，则a=。2. 非零向量r(t)满足(r,r:r)=0的充要条件是。3. 设曲线在P点的切向量为a，主法向量为卩，则过P由a,p确定的平面是曲线在P点的。4. 曲线r=r(t)在点r(t)的单位切向量是a则曲线在r(t点的法平面方00程是。5曲线；=r(t)在t=1点处有y=2p，则曲线在t二1对应的点处其挠率工(1)=。-8在旋转曲面r=p(t)cos0,申(t)sin0，屮(t)中，是旋转曲面的经线。9-曲面z=z(x,y)在点(x,y,z)的法线方程是。00010直纹面的参数表示总可以写成r=。11、向量函数r=r(t

2、)使(r,r'，r“)=0的充要条件是r=r(t)。12、若r(t)是曲线r=r(t)的正则点，则曲线r=r(t)在r(t)的密切平面方程0fiff0是。13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率工。15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是16、已知曲面r=r(u,v)的第一类基本量为E、F、G,则两方向du:dv与5u:5v垂直的充要条件是。17、对曲面r=r(u,v)有dr2=4du2+3dv2,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从t0到t(tt)的弧长s=。0_18、若曲面r=r(u,v)在(0,1)点处的第二基本形式II二-du2+3dv2，则在(

3、0,1)点处，rn=。其中n为曲面的单位法向量。fufu19、已知曲面r=r(u,v)的第二类基本量L、M、N,则曲面上渐近曲线的微分>>方程是。20、若曲面r=r(u,v)的第一基本形式为ds2=Edu2+Gdv2，曲面在一点的切向dr与U线的夹角为e,则曲面在这点沿切向dr的测地曲率k=。g21r(t)具有固定方向的充要条件是。22挠率的曲线其副法向量是常矢。23曲线r=r(t)在P(t)点的主法向量是卩，则曲线在P点的从切面方程是0。网是渐近网的充要条件是。26曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为。27半径为R的球面的高斯曲率K=28.一个曲面为可展曲面

4、的充分必要条件是它的恒等于零。30在可展曲面上，测地三角形的三内角之和兀。31.向量函数r=r(t)使(r,r'，r“)=0的充要条件是r=r(t)。32、若r(t)是曲线r=r(t)的正则点，则曲线r=r(t)在r(t)的密切平面方程0ffffff0是。33、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率工。35、球面r=Rcosecos甲,Rcosesin甲,Rsine上，线是球面上的纬圆。36、已知曲面r=r(u,v)的第一类基本量为E、F、G,则两方向du:dv与5u:5v垂直的充要条件是。37、对曲面r=r(u,v)有dr2=4du2+3dv2,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t

5、)从t0到t(tt)的弧长s=。0_38、若曲面r=r(u,v)在(0,1)点处的第二基本形式II=-du2+3dv2，则在(0,1)点处，rn=。其中n为曲面的单位法向量。fufu39、已知曲面r=r(u,v)的第二类基本量L、M、N,则曲面上渐近曲线的微分>方程是。40、若曲面r=r(u,v)的第一基本形式为ds2=Edu2+Gdv2，曲面在一点的切向dr与u线的夹角为e,则曲面在这点沿切向dr的测地曲率k=。g选择填空题：(每小题3分)1、圆柱螺线x=cost,y=sint,z=t在点(1,0,0)的切线为.x1yzB、y+z0A、-=011cx1yzD、y一z01002、曲面的二

6、个基本形式之间的关系为A、III+2HII+KI=0B、III-2HII+KI=0C、III2KII+HI=0D、III2HIIKI=03、曲面的坐标网是正交网的充要条件是。A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=04、下列曲面中不是可展曲面。A、柱面B、锥面C、一条曲线的切线曲面D、正螺面5、曲面上，不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角B、曲线的弧长6、曲线r=r(s)在P(s)点的基本向量是a,p，丫，曲率k(s)，挠率t(s)，则下式不正确。ffifA、akpB、P=ka+TyC、akpD、ytP7、曲面rr(u,v)在P点的第一、第二基本形式分别为I,II，曲面上曲线(C)在P点的

7、曲率k、沿切向dr的法曲率为k，(C)在P点的主法向量与曲面的单n位法向量n的夹角为e，则下式正确。IIiIIA、k=±B、kkcoseC、Ik1=D、kksinenInnIn8、L=N=0是曲面的曲纹坐标网为的充要条件。A、正交网B、渐近网C、曲率网D、半测地坐标网9、在圆柱面上，圆柱螺线是。A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线10、以下各项中，不一定是测地线。A、球面上的大圆B、圆柱面上的螺旋线C、旋转曲面上的经线D、旋转曲面上的纬线11、设曲面在一点的单位法向量n，切向量为dr，则dn-九dr的充分必要条件是。A、存在方向5r使dn-5r0_B、存在方向8r使dr-5r0

8、_C、存在方向5r使dn-5r0且dr-5r0D、沿dr有k=0n>12、对于球面r=RcosesinQRcosesin申,Rsin，以下判断中不正确。A、沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面B、其上大圆是渐近线1C、高斯曲率为正常数D、其上大圆的每一点的测地曲率为零R213、曲面r=r(u,v)上，曲线(C)在P点的基本向量是a,p,y，曲面在P点的单位法向量n，则在P点沿切向a的测地曲率k丰。g_A、kPxnB、(a,kp,n)C、(r,r,n)D、(Ka,p,n)14、若在曲面上一'点LN-M20，则曲面在该点的高斯曲率K。A、0B、0C、=0D、符号不确定15、下列直

9、纹面中，是可展曲面。A、双曲抛物面B、挠曲线的副法线曲面C、挠曲线的切线曲面D、单叶双曲面16、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是。A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线17、曲线r=r(t)在P(t)点的曲率为k,挠率为t，则下列式子不正确。A、B、krr3c、D、（卄严）（r，xr“）218、对于曲面的第一基本形式I=Edu2+2Fdudv+Gdv2,EG-F2A、0B、0C、0D、019、对于圆柱面r=rcos0,Rsin0,z，以下结论是不正确的。A、坐标网是正交网B、沿同一直母线的切平面是同一个C、其上高斯曲率为零D、其上没有抛物点20、以下结论正确的是。A、法曲率是法

10、截线的曲率B、法曲率是曲率向量r.在主法向量p上的投影C、法曲率0D、法曲率的绝对值是法截线的曲率21、设曲面r=r(u,v),n是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，_是不正确的。A、M=rnB、M=-rnC、M=-rnD、M=-rnuvuvuvvu22、球面上的大圆不可能是球面上的。A、测地线B、曲率线C、法截线一一D、渐近线一一23、正螺面r=ucosv,usinv,bv的坐标网不是。A、正交网B、共轭网C、渐近网-D、半测地坐标网24、曲面上每一点处的主方向。A、只有一个B、至少两个C、只有两个D、也可能不存在25、下列直纹曲面中，是可展曲面。A、双曲抛物面C、挠曲面的切线曲面三、

11、计算题B、挠曲面的副法线曲面D、单叶双曲面1、设曲线r:r=cht,sht,t，求 r在点(1,0,0)的曲率和挠率； r的切线曲面的高斯曲率。2、已知圆柱螺线r=cost，sint,t，试求(兀、在点0,1,一的切线和法平面。(2丿(2)曲率和挠率。3、对于圆柱面工：r=pcos0,psin0,u,试求(1)工的第一、第二基本形式；工在任意点处沿任意方向的法曲率；工在任意点的高斯曲率和平均曲率；试证工的坐标曲线是曲率线。cosu,vsin5、设点P是曲面工上一个固定点，试证明工在P点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。6、设曲面工：r=tcos0,tsin0,t，求 工的第一、第二基

12、本形式； 工在点(1,比1)处沿任意方向的法曲率； 试证工的坐标曲线是曲率线。7、求螺线x=cost,y=sint,z=t上点(1,0,0)的曲率和挠率。8、确定螺旋面x=ucosv,y=usinv,z=cv上的曲率线和在任一点的高斯曲率。9、求曲线r(t)=t,t2,et在t=0点的密切平面和主法线。10、求曲线r(t)=a(1sint),a(1cost),bt的曲率和挠率。求抛物面z=a(X2+y2)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。11、求平面族xcosa+ysina一zsina=1的包络。证明题：1、证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。2、证明：如果曲线

13、的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。3、试证锥面是可展曲面，并证明它与平面成等距对应。4设曲线r:r=r(t)上每上点的切线都平行于同一个固定平面，试证明r是平面曲线。5、设点P是曲面工上一个固定点，试证明工在P点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。6、证明曲面工：r:二cosv一(u+v)sinv,sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。7、证明：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面。8、证明；如果曲面上非直线的测地线为平面曲线，则它必为曲率线9、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这条曲线是直线或平面曲线。10、

14、证明挠曲线(C)的主法线曲面不是可展曲面。一、填空题1. 曲线x=cost,y=sint,z=t在t=0处的切线方程是。2. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是不变量。3. 若点(u0,v0)为曲面的正常点，贝ijrxr在(u0,v0)满足。00uv004. 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的。5. 若向量函数r(t)满足r(t)xr'(t)=0，则r(t)具有固定的.6. 曲线r=r(t)的正常点是指满的点.7. 椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆，双曲点对应的是一对共轭双曲线，抛物点对应的是8. 平均曲率H=0的曲面称为曲面.9. 曲面上的直线必曲线.10. 向量

15、函数r(t)具有固定方向的充要条件.11. 曲线的主法向量的正向总是指向.12. 在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系.13. 曲面三个基本形式之间有关系.14. 曲线r=r(s)的曲率定义是。15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。16. 曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是。17. 曲线r(t)=t3-t2-t,t2-2t+2,2上的点不是正常点的是t=。18. 曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是。19. 极小曲面是指的曲面。20. 向量函数r(t)具有固定长的充要条件是。21. 曲线r=r(t)的挠率是。22. 曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件。23. 向量函

16、数r(t)平行于固定平面的充要条件是.24. 以杜邦(Dupin)指标线为分类标准，曲面上的点分为椭圆点，双曲点,，平点.25. 曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.26. 球面r=acosvcosu,acosvsinu,asinv的坐标曲线就是。27. 曲面上曲纹坐标网是正交网的充要条件是。28. 两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。29. 在曲面的椭圆点处，高斯曲率。(这个空填符号，即填“大于零”、“等于零”、“小于零”)30. 一般螺线的曲率和挠率的关系是。31. 曲面上曲线的交角作为曲面的内蕴量是参数变换下的不变量。32. 曲面域的面积作为曲面的内蕴量是参数

17、变换下的不变量。33. 设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。34. 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是。35. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率，使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.36. 距离单位球面球心距离为d(0<d<1)的平面与球面的交线的曲率为，法曲率为37. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是,坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是38. 曲率为0的曲线是,挠率为0的曲线是.39. 半径为R的圆的曲率为,半径为R的球面的法曲率为.40. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是,坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是.41. 圆柱

18、面的高斯曲率为,极小曲面的平均曲率为.42. 在脐点处曲面的第一，第二类基本量满把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为.43. 法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率达到最大值和最小值9的方向是方向.二、单项选择题）B.曲面上曲线的测地曲率D.曲面的高斯曲率1. 下面各量中，不是内蕴量的是（A. 曲面上曲线的曲率C.曲面上测地三角形的内角和2.设Illi而的第一，第二基本型分別是Z二Edu2+GdvII二Ldu2+Ndv1,则|11|而的两个主曲率分别是A.疋1=齐击2C.kl=k2B.D.133. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角0为（）A.0二兀/2B.0=0C.。二兀D.不确定4. 等

19、距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的（）A.曲率B.挠率C.法曲率D.测地曲率5. 过空间曲线C上点P（非逗留点）的切线和P点的邻近点Q的平面n，当Q沿曲线C趋于点P时，平面n的极限位置称为曲线C在P点的（）A. 法平面B.密切平面C.从切平面D.不存在6. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是（）A.直线B.圆C.圆柱螺线D.平面曲线7. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是（）A. 脐点处，任何方向都是主方向B.非脐点处，主方向垂直C.脐点处，无主方向8. 下面各量中，不是内蕴量的是（）A.曲面上曲线的曲率C.曲线的弧长9. 下面说法不正确的是（）A.等距变换一定是保角变换C.平面

20、与圆柱面成等距对应10. 平面曲线的密切平面与曲线所在平A.相交B.平行C.重合D.非脐点处，有且仅有两个主方向B. 曲面域的面积D.高斯曲率B. 保角变换一定是等距变换D.平面与除去北极外的球面成保角对应耳（）D.垂直11两个曲面等距等价的充要条件是经过适当的参数选择后，（）A.第一基本型相同B.第一基本型成比例C. 第二基本型相同D.第二基本型成比例在选取曲率线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k1，k2为（）.,E,G,L,NA.K-i=-ft>E”k-i=-K-j=LN1E'G匸-鬲=-2=D.鬲=,2=g£NGE13.设曲面S:r=r（u,v）,（u,v）e

21、D的第一、二类基本量为E,F,G和L,M,N，则曲面的面积为A.=EG-F2dudv；B.LN-M2dudvD2-EGdudv；D./Lm2-LNdudv14. 下面曲线中是一般螺线的是（）A.平面曲线B.圆柱螺线C.直线D.以上全是15下列关于主方向，正确的说法是（）A. 曲面上一点处至少有两个主方向B. 除脐点处外，主方向是互相垂直的C. 沿主方向，法曲率达到最大值或最小值D. 以上全正确16. 下面各量中，不是内蕴量的是（）A.曲面上曲线的曲率B.曲面上曲线的法曲率C. 曲面的平均曲率D.曲面的高斯曲率17. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是（）A.直线B.圆C圆柱螺线D.平面曲线18.

22、在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足（）A.LN-M2>0B.LN-M1<0CLN-M2=0D.以上都不对19. 在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是（）A.F=0B.F=M=0C.L=N=0D.M=020. 反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉（Euler）公式是（）A.kn-kYcos20+為sin2&B.=k；cos2<9+材sin?<9C. kn=cos+A2sin3D.kn=cos20+klsin20三、判断下列各题，正确的在题后括号内打“7”，错的打“X”。1. 曲线上的正常点是指曲率不为零的点。（）2. 如果两条曲线在对应点的主法线互相平行，则在对应点处的切线互相平行。（）3. 高斯曲率和平均曲率都是曲面的内蕴量。（）4. 密切面固