多项式拟合matlab之方法

1、实验题目使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩指导老师：李爱国学生：陈立朝学号：16208009004专业：应用数学西安科技大学计算机科学与技术学院西安科技大学研究生课程数据仓库与数据挖掘实验报告实验报告一、实验题目：使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩二、实验目的1. 掌握离散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义，基本原理和方法.2使用C+实现数据的Haar小波变换和离散傅里叶变换.3. 掌握数据滤波的基本原理和方法.4. 掌握使用Haar小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法，并且对两种数据压缩进行评价.三、实验步骤1算法原理1.1Haar小波变换(1

2、) 平均，细节及压缩原理设x1，x2是一组两个元素组成的信号，定义平均与细节为a二(+x2)/2，d二(x2)/2。则可以将a，d作为原信号的一种表示，且信号可由a，d恢复，x1=a+dx2=a一d，o(2) 尺度函数和小波方程在小波分析中，引入记号e(t)=X0?1(t)，其中，X0?1(t)表示区间o,i上的特征函数。定义e(t)=e(2jtk),k=0,1,2j1j,k称e(t)为Haar尺度函数。由上式可知，ejk都可以由e00(t)伸缩和平移得到。小波分析中，对于信号有不同分辨率的表示，当用较低分辨率来表示原始信号时，会丢失细节信息，需要找到一个函数来描述这种信息，该函数称之为小波函

3、数。基本的小波函数定义如下：1,0t1/2、屮(t)=X(t)X(t)=1,1/2t0,1/2)1/2,1)0,其他则屮(t)=e(2t)机2一1)。屮(t)称为Haar小波。(t)二qJ()+0J()称为两尺度方程，(t)二%/厂称为小波方程。J3)Haar小波变换计算方法设(X,X2，X)是一个长度为2n(n1)的离散信号序列，记为122n(an0,an1，,an)，该序列可以用如下的带有尺度函数来表示：n,0n,1n,2n1f(t)=a(t)+.+a(t)n,0n,0n,2n1n,2n1一次小波分解的结果：f(t)=a(t)+.+a(t)+d屮(t)+.+d屮(t)n1,0n1,0n1,

4、2n11n1,2n11n1,0n1,0n1,2n11n1,2n11对上式积分，由尺度函数的正交性，可得J0f(t)ni,k(t)dt=an1,k。令k=0,得到a=(a+an1,0n,0n,1一般的，有a=(a+a)/V2,k=0,1,.2n-1-1n1,kn,2kn,2k+1同理，有d=(aa)/、；2,k=0,1,.2n-11n1,kn,2kn,2k+12. 傅里叶变换(1)一维连续函数的傅里叶变换定义设f(t)为连续的时间信号，则定义F(u)=J+f(t)e-j2zutdt为f(t)的傅里叶变换，其s反变换为f(u)=卜F(t)ej2zutdu。s(2)一维离散傅里叶变换对连续的时间信号

5、f(t)等间隔采样，得到离散序列f(n)。假设采样N次，则序列表示为f(0),f(1),.,f(N-1)。令口为离散变量，u为离散频率变量，则一维离散傅里叶变换及其反变换定义：F(u)=N艺f(n)e-j曲n,u=0丄,-1n=0f(n)=艺F(u)ej2兀un/N,n=0,1,.,N一1u=0傅里叶变换的数学性质中，最重要的一点是：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号比如声音或图像)通常在频域上只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。即一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中很可能只占用了极小一块区域，而大部分频率是被为零的。这就得到一个极为实用的结论：一个看起来信息量很大的

6、信号，其实可以只用极少的数据就可加以描述。只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以达到数据压缩的目的。(3) 快速傅里叶变换FFT原理FFT的基本思想：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，从而减少运算量。1N-1令WN,k=e-j2znk/N，则F(u)可改写为F(k)=N工f(n)WNn，k。令N=2M,其中VN=0F(k)=12MM为一正整数。带入式中，得到逆-1f(n)Wn,k2Mn=0艺f(2n)Wn,k+丄艺f(2n+1)W“,kWkMMMM2MF伙)=丄艺f(nW)neMMn=0n=0n=0F(k)=丄艺f(2n+1)Wn,koMMn=0则有F(k

7、)=2IFe(kFo(k吧lF(k+M)=2IFe(k)-F(k叫l上述推导说明：对一个长度为N的序列进行傅里叶变换可以通过将其划分为2个N/2的序列进行傅里叶变换，对于N/2的傅里叶变换，可划分为两个N/4的变换，这一过程不断迭代，知道两点的序列为止，可计算出该序列的傅里叶变换。(4) 时间抽取的基2FFT蝶形算法对于(3)中的计算方法，可以采用蝶形运算符号来表示。本实验中采用的算法是时间抽取的基2FFT算法实现快速傅里叶变换。3. 数据压缩的评价准则(1)数据压缩比设原始信号f(n)的数据量大小为S,经过数据压缩后，信号的数据量变为M,般情况下MvS。则数据压缩比率耳的定义为：由上式可知，

8、数据压缩得越小，其数据压缩比越大。(2)数据失真度对于压缩后的数据，可以采用反变换等方式还原信号。设原信号为f(n)，还原信号为f1(n)，则我们定义还原信号与原始信号的差异为数据失真度。显然，数据恢复越接近原始信号，数据失真度越小。4. 算法步骤1)Haar小波方法步骤a)读入原始数据f(n)b) 对原始数据f(n)进行小波变换。对原始数据进行不同层级(分辨率)下的小波变换，得到不同的小波变换结果An,Dnc) 对于上步中的小波变换结果，把细节分量Dn置为0即滤波得到压缩数据And) 对于滤波结果An，通过小波逆变换，恢复数据e) 计算恢复数据与原始数据的差异，进行压缩评价2)离散傅里叶变换

9、步骤a) 读入原始数据f(n)b) 对原始数据f(n)进行离散傅里叶变换。使用蝶形算法计算傅里叶变换结果F(u)c) 对F(u)进行滤波，保留低频成分，舍弃高频成分，即得到原始数据的近似表示d) 对滤波结果的低频数据，高频分量恢复为零值，使用傅里叶反变换，恢复数据e) 计算恢复数据和原始数据的差异，进行压缩评价5. 程序流程图图1Haar小波变换流程图在图1中，原始数据存放在文本文件eggs.txt中，由程序运行时读入。对结果的滤波是舍弃小波分解的细节部分。计算结果写入dwt.txt文件中。图2Haar小波压缩数据差异计算流程图图2是计算使用Haar小波进行数据压缩后，与原始数据差异。图中的f

10、(n)表示原始数据，A(n)是小波变化结果，fl(n)表示逆变换结果。图3离散傅里叶变换流程图图3是傅里叶变换流程图。原始数据是eggs.txt。对F(u)滤波时，舍弃高频信息。计算结果写入fft.txt文件中。图4离散傅里叶变换压缩数据差异计算流程图图4是傅里叶变化压缩数据后的差异计算。傅里叶逆变换时，对于高频分量补零，与低频分量来恢复数据f1(n)。四、实验结果分析1. 傅里叶变换西安科技大学计算机科学与技术学院11快速博里叶变换结卑:5.125832.613131.799951.414211.202691,682391.8195911.019591.UB2391.202G91.41421

11、I.7?52.613135.12583C-16,23.9457-16.6,6272?-l,-3.1S263-GZ742J(16,16傅里叶反变换结果,123455779181112131415lb12345G779IHLI121314IS16图5测试数据集的FFT变换及IFFT变换结果在上图中，得到测试数据集的傅里叶变换结果。图中带括号的是数据变换的复数结果后边的小数是变换后的幅值。可以看出，在傅里叶变换的结果中，有1/2的数据经过变换之后变为0值。这部分为0值的数据可以采用压缩方式存储，从而压缩原始数据。并且，经过傅里叶反变换后，原始数据可以得到良好的恢复。快速馆塁叶变换结果14215381

12、646-63-105129723,94V(112626,-7?89,?539,163C-29610.7f44H6.7267.&47C-127BBx5,-iaB2U)34.571218.723C-23783.7,.-19615.7126.427183.922C21S42_3,42fl63_BISE.711214.133(47717.,-26504213.371(-47249.4f9135.5718?.986C29375-3-58417_,325S.4Z1C-Z275.134H162,3i157x135C-1263?.2.4210.5179.616175.149C-25aSB,5rlllE)n-9

13、)1B9,745CE4035rXr-7S567,1?F_34RC-5RR5fl,6,-235Hfi,7)21R_832C24762.4,92GB.9163.2823362.7,4917.61?139.4G5C-1386-4,-81431322-43533J45.8,6B41.5nI32-3OSt-lfcG49.e,-109660J432.97949B.123(-5672Z,2-91554-O422,037L4G.B69C569S.91J.32921.32.2fZ2C-68?M.9,671S.22&9.G42(27301,9-Z022?-3(25844,.-51529.f)132,733-110

14、14.2,39275.3)346,22122S.1B31S9.338(-165T0-1-28T68.3?214.30311S13C-199B1*2,232M1.4119.63.S7S4(728.22384,6CltUSb.6,-4234.25.32?C-42206.1.-13533?173.13164.978&C-SU6.t8?23.2213.9U4(-165J0.4,.3795.65?G6.4809151.628ZV.67B?119.85?-9333.43,-23041.8?89,214?82.144712V.119(5865.19,-1564.23,711?Z4G,35428593.3,-

15、922.413111.751S?.3B1S(-265B6.3,14434.n119.171149.55-17E7_68,2HUEIB_57B-4627(17152.6,13691.3185.729SC759.442F13M7.2SI.4417C1971-9,1BSH2_1B3.797C859B.5B,-e45L47.0T727(138B5.-10478.707.702451.4629C60r?6,47,R47.1t2J.965R55-352?C13481.4,11662.69.fi32fiC1111B.4,3011.S444.99S2(19925,7,7261-&662-84Z4&1.FR99

16、图6eggs.txt数据傅里叶变换结果使用eggs.txt中的数据时，由于数据量较大，此处只是部分数据截图。数据不足2n的部分用零补齐。可以看出，变换后的数据幅值较大，且基本没有为0数据。此时，采用阈值进行滤波处理，取阈值b二30，即将阈值小于30的值置为0。2. 小波变换图7测试数据集的小波变换DWT由上图的实验结果可以看出，数据经过小波变换后，其能量集中于数据的靠前的小波系数。对于相同的数据集，可以采用不同级别的小波变换数据。级力破变换结果0S1519-57fc70.036161-7328.444h242643B.8913907134?12235.872694.78143H543FH338

17、-9954,4472521.flR1955,06688.81943.840G30.40568197.2034010.716377.41902-8284S睥41197.131576-14197BB41-71933943-5333Q115h2589BHb5352BRR-743514-322334.fl?131.522214.253912.875105396.16655.656S53B2.B4213681436.841572.612054,854225.67482=954113=1371G4bB4sab爭1190.7?2627,61lB3e23R136-47254.44721071,277BB3.0

18、?4186.074437.81739.48324.562S71.3421346.332888.093807.772564.GS927.724763S5b29H21.151246.634835.91059,25114R?341202.7992530,034826/712831.263133.92975.511905,652167-9?2626,191679.381600.101352.71760.595176.01!2V41-5645Q5.6H122V.6b974.3931930.813R07,33786H3031578,2fi2317.1913107.63K9.59126811375110.3

19、09479.4103290.872M3,231445.3322.6274狂234735.3913162.101M9.15255B-314ftVls12h888.833793殂151U.16b2811950.913712.311B66.S5362h.7S2315,078R80.61021ET9U.141636.253937.863B9.61652.32594-17.5992022.333717.5719R9*!?210.01114.8-19211132.3B1994-75286S.033915.25 243V.52R581452030.81H_H_H_H_图8eggs.txt数据小波变换结果由上图，对于实验数据，经过小波变换后，大部分的数据都为0。正式小波变换的这一特点，使得小波变换可以用于数据的压缩。五、实验结论在报告的上两节中，分别介绍了使用傅里叶变换和小波变换处理数据的方法。由实验中，可以得到以下两点：第一，傅里叶变换时数据的整体变换方法，数