大学物理静电场习题集答案解析

1、C处的总场强大小为P35123如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1=E=x：E2+E2y12=0.9X104=3.245X104(NC-1)，总场强与分场强E2的夹角为1.8x10-9C,B点处有点E0=arctan=33.69.2电荷q2=-4.8x10-9C,AC=3cm,BC=4cm，试求C点的场强.解答根据点电荷的场强大小的公式12.4半径为R的一段圆弧，圆心角为60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+久和丿,求圆心处的场强.其中1/(4n0)=k=9.0x109Nm2C-2.点电荷q1在C点产生的场强大小为解答在带正电的圆弧上取一弧元ds=RdO,y

2、电荷元为dq=Ads,1Q1M二9x109x?3二1-8x104(N-C-1)，在O点产生的场强大小为方向向下.点电荷q2在C点产生的场强大小为1九ds=九4兀sR24兀sR001|q|c4兀sBC20场强的分量为dEx=dEcosO,dEy=xydEsinO.=9X109X4.8x109=2.7X104(NC-i)，y(4X10-2)2kdq九dldE=k1r24ks(x一l)20弧，同样可得在O点的场强的两个分量.由于弧形是对称的，X方向的合场强为零，总生的场强的大小为大小为场强的方向沿x轴正向因此P1点的总场场强沿着y轴正方向，大小为强大小通过积分得兀/6000E=2EdEsin0yL兀

3、/6Jsin0d0=九2ksR0E=丄f亠1沁(X-/)20一f4K8(XLX+L125均匀带电细棒，棒长a=20cm，电荷线密度为久=3x10-8。m_i，求:（1）棒的延长线上与棒的近端d1=8cm处的场强；12L九4兀x2L20将数值代入公式得P1点的场强为E=9x109x12x0.1x3x10-80.1820.12（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相=2.41x103(NC-i),解答（1）建立坐标系，其中L=a/2:0.1(m)，x=L+d1=0.18(m)在ydl细棒上HI_!”x十41干1-L取一线o1-1TILL距d2=8cm处的场强元dl，所带的电量为dq=久dl,方向沿着x轴

4、正向.取一线元dl，所带的电量为dq=久dl,根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的dE=k虬丄dl2r24ksr20保持d1不变，当a-时，可得由于棒是对称的，x方向的合场强为零，九ETi4k8d01分量为dEy=dE2sinO.这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小由图可知：r=Q/sin0,1=QcotO,所以dl=-d2dO/sin2O,-X因此dE=sin0d0y4kSd02(2)由式得E=y4兀d02d2+(a/2)2当a-时,得总场强大小为E=fsin0d0y4兀d02l=-L=X码d2dJa)2+(1/2)2cos04兀

5、d02LXETy2兀d02X/L4兀dd2+/202、2/=-L12LX4兀d02Jd2+L2l=-L这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果d1=d2，则有大小关系Ey=2E1.将数值代入公式得P2点的场强为=9x109X2x0.1x3x10-80.08(0.082+0.12)1/2=5.27x103(NC-i).方向沿着y轴正向.讨论(1)由于L=a/2,x=L+q，代问e为何值时，圆心O点处的场强为零.入式，化简得解答设电荷线密度为久，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强.XaX1E=14兀dd+a4兀dd/a+1011011在圆弧上取一弧元ds=Rdy,由于两根半无限长带电直线对称放

6、置，它们在O点产生的合场强为X所带的电量为二2Ecos色=Xecos2兀R20dq=Ads,在圆心处产生的场强的大小为dq九dsXdE=k=dq,r24ksR24ksR00由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为方向沿着x轴负向.当O点合场强为零时，必有E二Exx可得tan0/2=1因此0/2=n/4，所以3=n/2.dEx=-dEcosy.总场强为X2n?e/2Jcosqdq沁R0e/2X.smq4兀R02兀e/2e/2图13.5（1）平板所在平Xesin,2兀R20面内，距薄板边缘为a处的场强.方向沿着x轴正向.再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强.根据上一题的公式可得

7、半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强.带电直线，电荷的线密度为E二4兀R0根据直线带电线的场强公式d九cdxdE=2兀r2兀(b2+x2)1/200沿z轴方向的分量为九E二一2k8r0dE=dEcos0z得带电直线在P点产生的场强为ccos0dx2兀(b2+x2)1/20设x=dtan0，则dx=ddO/cosM，因此dE二二2K8r2K8(b/2+a-x)00其方向沿x轴正向.dE=dEcos0=d0Z2兀0积分得由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为arctan(b/2d)c2兀d0arctan(b/2d)0

8、E二旦乍1dx2ksb/2+ax0-b/2兀0arctan)2dCb/2ln(b/2+a-x)2ks0b/2=ln(1+).2兀a0场强方向沿x轴正向.标系仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为场强方向沿z轴正向.讨论(1)薄板单位长度上电荷为A=ab，式的场强可化为E=九ln(1+b/a)E=2兀ab/a0当b-0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为九ET，2兀a0这正是带电直线的场强公式.(2)也可以化为带电直线在Q点产生的场强为九arctan(b/2d)2K8db/2d当b-0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变

9、为量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为料=24=q/240;立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零这也是带电直线的场强公式12.9面电荷密度为o的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半280这是无限大带电平面所产生的场强公式12.8(1)点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？(2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？解答点电荷产生的电通量为e=q/%-(1)当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为勺=卢=q/6%.在平板下

10、面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面.球面内包含的电荷为q=兀R20,通过球面的电通量为%=q/。，通过半球面的电通量为e=2=nR2o/2s0.12.10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1R2)，带有等量异号电荷,(2)当点电荷放在一个顶角时，电通单位长度的电量为久和丿，求(1)r比；电荷体密度为p，求板内外各点的场强.(2)R1rR2处各点的场强解答由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性(1)在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以解答方法一：高斯定理法(1)由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=E.在板内

11、取一底面积为S，高为2r的E=0，(rR1)(2)在两个圆柱之间做一长度为I,半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q=见，穿过高斯面的电通量为=fE-dS=fEdS=E2冗rl,eSS根据高斯定理=q/0，所以九E=,(R1rR2).圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为=fE-dSeS=3E-dS+JE-dS+JE-dSS1S2S0=ES+ES+0=2ES高斯面内的体积为V=2rS，包含的电量为q=pV=2prS根据高斯定理=q%,可得场强为E=pr/%,(0wrwd/2).(2)穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯

12、面的电通量仍e=2ES,12.11厚度为d的均匀带电无限大平板，高斯面在板内的体积为V=Sd,E就是平板表面的场强包含的电量为q=pV=pSd,根据高斯定理=q/0，可得场强为E=pd/20,(rd/2).方法二：场强叠加法(1)由于平板的Hd*可视很多薄丄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上,上面平板产生的场强方向向下在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为do=pdy,产生的场强为dE1=do/2s0,积分得E二f磐二2-(r+2)，2s2s2-d/200同理,上面板产生的场强为E=df驴二$(专-r)，22s2s2r00r处的总场强为E=E1-E2=Pr/0.(2)在公式和中，令

13、r=d/2,得E2=0、E=E1=pd/2s0,平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果,是均强电场,方向与平板垂直,大小等于平板表面的场强，也能得出式.12.12径为RvR的小球体，如图所示，试求两球心O与O处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场.解答挖去一块小球体,相当于在该处填充一块电荷体密度为-P的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加.对于一个半径为R,电荷体密度为p的球体来说，当场点P在球内时，过P点作半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程14E4兀r2=兀r3p830P点场强大小为PE=r380当场点P在球外时，过P点作一半径证

14、明在小为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程E=rr38014E4兀r2=兀R3p830p、E=r,r380方向如图所示P点场强大小为设两场强之间的夹角为0，合场强的平E=R138r20方为O点在大球体中心、小球体之外大球E2=E2+E2+2EEcos0rrrr体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为=(-3)2(r2+r2+2rrcos0),0根据余弦定理得E=-PR3-O38a20a2=r2+r22rrcos(兀一0),方向由O指向O.所以O点在小球体中心、大球体之内.小球PE=a380可见：空腔内任意点的电场是一个常量还体在O点产生的场强为零，大球在O点产可以证明：场强的方

15、向沿着O到O的方生的场强大小为向因此空腔内的电场为匀强电场pE=aO380方向也由O指向O1214如图所示，在A、B两点处放图13.11有电量分别为+q和-q的点电荷，AB间距离E=Ea-Eb=/2eo，为2R,现将另一正试验电荷q0从O点经方向由A平面指向B平面.过半圆弧路径移到C点,求移动过程中电场两平面间的电势差为力所做的功解答正负电荷在O点的电势的和为零：U=Ed=ad/2s0，当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为W=qU=如/20.UO=0；在C点产生的电势为U=q+二=卫,c4ks3R4ksR6ksR000电场力将正电荷q0从O移到C所做的功为W=qoUoD=qo（Uo-UD

16、）=qq/6%R.12.16半径为R的均匀带电球面，带电量为Q.若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？解答带电球面在外部产生的场强为12.15真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B.A平面的电荷面密由于度为2。,B平面的电荷面密度为o，两面间的距离为d当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？U-U二fE-dl二fEdrRgRrQ4兀8r2R0-Q4兀8r0解答两平面产生的电场强度大小分别当UR=0时，URr为EA=2o/2e0=o/s0,EB=o/2e0,两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为12.17电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心

17、r(rvR)处的电势为大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为p,其他地方无电荷12.18在y=-b和y=b两个无限可得场强为E=py/%,(-bwywb).Q4KSR30，(VR);U二Q(3R2r2)8耐R304证明球的体积为V二兀R3，电荷的体密度为p=Q=三=.V4兀R3利用1310题的方法可求球内外的电场强度大小为E=r=30(1)求此带电系统的电场分布，画E-y图；(2)以y=0作为零电势面，求电势分布，画E-y图.解答平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=E,但方向相反,2R).取无穷远处的电势为零，则r处的电势fE-dl=fEdr+fEdr=frQ4k8R30卡Qr

18、dr+Jdr4k8r2R0场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为r2RQs+4兀8rr0R=fE-dSeS(R2r2)+=JE-dS+JE-dS+JE-dS=2ESS1S2S0高斯面内的体积为V=2yS，Q(3R2r2)8兀8R30包含的电量为根据高斯定理q=pV=2pSy，%=q/%，穿过平板作一底面积为S,高为2y的当yw-b时，电势为00圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地e=2ES,高斯面在板内的体积为V=S2b，包含的电量为q=pV=pS2b,根据高斯定理玖=q/0，可得场强为E=pb/s0,(bwy)；E=-pb/s0，(yw-b).E-y图如左图所示.

19、(2)对于平面之间的点，电势为UE-dldy80U=JEdl=dy=Pby+C,8800在y=-b处U=-pb2/20，所以C=pd2/2%,因此电势为UPb丄Pb2U二y+，82800两个公式综合得U=-pb|y|+磐,(|y岸d).82800这是两条直线.U-y图如右图所示.U-y图的斜率就形成E-y图，在y=b点，电场强度是连续的，因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y=Py2180在y=0处U=0,所以C=0,因此电势为U二一,(-bwywb).280这是一条开口向下的抛物线.当yb时，电势为U=-fEdl=-fnqbdy一nqly+C,8800在y=b处U=-pb2/2%，所以C=p

20、b2/2%,因此电势为(bwy).注意根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量.根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即U=-IEdl这是因为积分的起点位置是积分下限.1219两块“无限大”平行带电板如QU=一(厂厂)=1.866x104(V).A8BA0图13.16图所示，A板带正电，B板带负电并接地(地的电势为零)，设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷o=3.3x10-6Cm-2，求：(1)在两板之间离A板1.0cm处P点的电势；12.20电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求：(1)带电直线延长线上离中点为

21、r处的电势；(2)带电直线中垂线上离中点为r处的电势；(2)A板的电势.解答两板之间的电场强度为(3)由电势梯度算出上述两点的场强.解答电荷的线密度为久=q/2L.E=o/0，方向从A指向B以B板为原点建立坐标系，则rB=0，rP=-0.04m，rA=-0.05m.(1)建立坐标系，在细线上取一-LldlLP1x线元dl，所带的电量为(1)P点和B板间的电势差为U-UE-dl=EdrPBrPrPQ(=(r8B0-rP)dq=久dl,根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为1九dl4兀8r-10dU13.3x10-68.84x10-12x0.04=1.493x104(V).由于UB=0,所以

22、P点的电势为总电势为九LdlJ14兀8r-10-L(2)同理可得A板的电势为硏ln(r-1)0l=-L方向沿着x轴正向.P2点的场强为E二旦2ar1-4脫oLrJr2+L(Jr2+L+L)二1一石ordq=久dl,在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为dU2九dl4KS(r2+l2)1/20积分得丄L14兀(r2+12)1/20LdlLl=Lqr2+L+Lln8耐Lr2+LL0qr2+L2+Lln4兀Lr0(3)P1点的场强大小为E=au方向沿着y轴正向.讨论习题133的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为E12L九E14兀x2L0由于2U=q,取x=r,就得公式.(2)习题133的解答还计

23、算了中垂线上的场强为取d2=r,可得公式.由此可见,电场强度可用场强叠加原理计算,也可以用电势的关系计算arr+L1221如图所示,一个均匀带电,内、外半径分别为图13.18R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为p，试计算：(1)A，B两点的电势；(2)利用电势梯度求A，B两点的场强解答(1)A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得U=(R2-r2)12w2B0球面内的电荷在B点产生的电势等于球心O点的电势.在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积

24、为dV=4丹2dr,包含的电量为dq=pdV=4矽sdr,在球心处产生的电势为这些电荷集中在球心处在B点产生的电势球壳在球面内的体积为4V二一兀(r3一R3),3B1包含的电量为Q=pV，这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为U=Q=-(r3-R3).24ksr3srb10B0BB点的电势为dUOrdrw0球心处的总电势为U=12rdr二(R2-R2),Ow2w210R10UB=U1+U2=(3R2-r2-2生).6s2Br0B(2)A点的场强为dUAdr这就是A点的电势U过B点作一球面，B的点电势是B点的场强为,dUp=B=-Bdr3s(rBR31-r2讨论过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中A点场强为E=0,（rwRJ-过球壳中B点作一半径为r的同