一元二次方程的应用(一)

1、一元二次方程应用（一）一元二次方程应用（一）解应用题的一般步骤？解应用题的一般步骤？第一步：第一步：审审即明确已知量和未知量即明确已知量和未知量第二步：第二步：设设出适当的未知数，并表示出相关的量出适当的未知数，并表示出相关的量第三步：第三步：列列出方程出方程第四步：第四步：解解这个方程，求出未知数的值；这个方程，求出未知数的值；回顾与复习回顾与复习第五步第五步: 验验(1)是否是方程的解是否是方程的解 (2)是否符合题意是否符合题意第六步第六步: 答答题完整（单位名称）。题完整（单位名称）。例例1 1：友谊中学为绿化校园，准备在长：友谊中学为绿化校园，准备在长3232米，米，宽宽2020米的

2、长方形场地上修筑道路（道路的宽度米的长方形场地上修筑道路（道路的宽度相等），余下部分种植草坪。设计方案如图所相等），余下部分种植草坪。设计方案如图所示，若设计草坪的总面积为示，若设计草坪的总面积为540540平方米，求方案平方米，求方案中道路的宽是多少米？中道路的宽是多少米？图（图（1 1）如图设计草坪的总面积为）如图设计草坪的总面积为540540平方米。平方米。面积问题面积问题（辽宁十一市中考题）如图，在宽为（辽宁十一市中考题）如图，在宽为20m20m，长为长为32m32m的矩形地面上修筑同样宽的道路的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分（图中阴影部分), ),余下的部分种上草坪要余下的

3、部分种上草坪要使草坪的面积为使草坪的面积为 540m540m2 ,2 ,求道路的宽求道路的宽. .变式变式1 分析：本题是一道典型的列一元二次方程解决的分析：本题是一道典型的列一元二次方程解决的实际应用问题实际应用问题. .下面从两个角度给出如下的解法下面从两个角度给出如下的解法. .解法（解法（1 1）：由题意转化为右图，设道路宽为米）：由题意转化为右图，设道路宽为米. .根据根据题意，可列出方程为题意，可列出方程为 . .整理得整理得 . .解得解得 （舍去）（舍去）答：道路宽为答：道路宽为2 2米米. .解法（解法（2 2）：由题意转化为右图，设道路宽为米，根）：由题意转化为右图，设道路

4、宽为米，根据题意列方得：据题意列方得： . .整理得：整理得： . .解得：解得： ， （舍去）（舍去）. .答：道路宽应是答：道路宽应是2 2米米2032540 xx2521000 xx. 150 x 22x 220 322032540 xxx2521000 xx12x 250 x 变式二：若改变道路的条数如下图（变式变式二：若改变道路的条数如下图（变式2 2），），且设计草坪的总面积是且设计草坪的总面积是570570平方米。其他条件不平方米。其他条件不变，那么应该怎么列方程？变，那么应该怎么列方程？变式三：若改变道路的位置如下图（变式变式三：若改变道路的位置如下图（变式3 3），），其他条

5、件不变，那么应该怎么列方程？其他条件不变，那么应该怎么列方程？草坪草坪变式四：改变宽度如下图（变式变式四：改变宽度如下图（变式4 4），若在场），若在场地的一端修建一长方形活动场地，活动场地的地的一端修建一长方形活动场地，活动场地的宽度是道路宽度的宽度是道路宽度的6 6倍，且草坪的总面积是倍，且草坪的总面积是450450平方米，那么应该怎么列方程？平方米，那么应该怎么列方程？草坪 活动 场地例例2 2、如图，有长为、如图，有长为2424米的篱笆，一面利用墙（墙米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为的最大可用长度为a a为为1515米），围成中间隔有一道米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

6、篱笆的长方形花圃。（1 1）如果要围成面积为）如果要围成面积为4545平方米的花圃，平方米的花圃，ABAB的长的长是多少米？是多少米？ a D C B A（2 2）能围成面积比）能围成面积比4545平方米更大的花圃吗？如平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。请说明理由。例例. (2003年年,舟山舟山)如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度利用墙（墙的最大可用长度a为为10米），围成中间隔米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的

7、宽AB为为x米，米，面积为面积为S米米2，（1）求）求S与与x的关系式的关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析】【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得1

8、4/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米 18米2米变式：有一面积是变式：有一面积是150150平方米的长方形鸡场，鸡场平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长的一边靠墙（墙长1818米），墙对面有一个米），墙对面有一个2 2米宽的米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长3333米求鸡场的长和宽各多少米？米求鸡场的长和宽各多少米？有关面积问题：有关面积问题：常见的图形有下列几种：常见的图形有下列几种：如图，一块长方形铁皮的长是宽的如图，一块长方形铁皮的长是宽的2 2倍，

9、倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm5cm，容积是，容积是500cm500cm3 3的的长方体容器，求这块长方体容器，求这块铁皮的长和宽铁皮的长和宽. .体积问题体积问题解解:设设这块铁皮的宽是这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底，那么制成的长方体容器底面的宽是面的宽是(x-10)cm,长是长是(2x-10)cm.根据题意得根据题意得:5(x-10)(2x-10)=500整理整理,得得: x2-15x=0 解这个方程解这个方程,得得:x1=15 x2=0(不合题意不合题意,舍去舍去) x=152x=30答答:这块铁皮的宽是这块铁皮的宽是

10、15cm，长是，长是30cm.例3：某镇产粮大户，2000年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，2002年粮食产量上升到60.5吨求平均每年增长的百分率 分析：2000年粮食产量为50吨为基数，设平均每年增长的百分率为x，则年份2000年2001年2002年产量50吨（二）增长（降低）率问题：（二）增长（降低）率问题：变化前数量变化前数量（1x）n变化后数量：变化后数量： 例例4：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年

11、a2002年a（1+x)2003年a(1+x) 2增长增长21%aa+21%aa(1+x) 2 =a+21%a分析：分析：a (1+x) a (1+x) 2 2 =1.21 a =1.21 a (1+x) (1+x) 2 2 =1.21 =1.21 1+x =1.1 1+x =1.1 x =0.1 x =0.1解解: :设每年增长率为设每年增长率为x x，20012001年的总产值为年的总产值为a a，则，则a(1+x) a(1+x) 2 2 =a+21%a =a+21%a答答: :平均每年增长的百分率为平均每年增长的百分率为10% 八年三班小a学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成

12、绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+ a(1+10%) X10% =a（1+10%）2a（1+10%）练习练习2：某种手表，原来每只售价96元，经过连续2次降价后，现在每只售价54元，平均每次降价的百分率是多少？解：设平均每次降价的百分率是x. 得96 (1x) 2 =54解解得X10.25， X21.75(不合题意)答答:平均每次降价的百分率是为为25% 练习练习1 1、某工厂、某工厂19961996年捐款年捐款1 1万元给希望工程，万元给希望工程，

13、以后每年都捐款，计划到以后每年都捐款，计划到19981998年共捐款年共捐款4.754.75万元，问该厂捐款的平均增长率是多少？万元，问该厂捐款的平均增长率是多少？销售问题n例题例题. .某商场销售一批名牌衬衫某商场销售一批名牌衬衫, ,现在平均每现在平均每天能售出天能售出2020件件, ,每件盈利每件盈利4040元元. .为了尽快减少为了尽快减少库存库存, ,商场决定采取降价措施商场决定采取降价措施. .经调查发现经调查发现: :如如果这种衬衫的售价每降低果这种衬衫的售价每降低1 1元时元时, ,平均每天能平均每天能多售出多售出2 2件件. .商场要想平均每天盈利商场要想平均每天盈利1200

14、1200元元, ,每每件衬衫应降价多少元件衬衫应降价多少元? ?得根据题意元设每件衬衫应降价解,:x.1200)1220)(40(xx. 020030:2xx整理得得解这个方程,.10,2021xx.20,:元应降价为了尽快减少库存答.40220,60220 xx或n练习练习. . 某商店从厂家以每件某商店从厂家以每件2121元的价格购进一元的价格购进一批商品批商品, ,若每件商品售价为若每件商品售价为x x元元, ,则每天可卖出则每天可卖出(350-10 x)(350-10 x)件件, ,但物价局限定每件商品加价不能超但物价局限定每件商品加价不能超过进价的过进价的20%.20%.商店要想每天

15、赚商店要想每天赚400400元元, ,需要卖出多需要卖出多少年来件商品少年来件商品? ?每件商品的售价应为多少元每件商品的售价应为多少元? ?销售问题得根据题意元设每件商品的售价应为解,:x.400)10350)(21(xx. 077556:2xx整理得得解这个方程,.31,2521xx.25:元每件商品的售价应为答.,31, 2 .25%2012131舍去不合题意xx案例案例1：关于关于x的方程的方程02) 1(2kkxxk有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，求求k的取值范围。的取值范围。解：解：) 1(4)2(2kkk解得解得k又又k-10 k且且k0说一说说一说忽视二次项忽视二次

16、项系数不为系数不为0案例案例2：已知已知k为实数，解关于为实数，解关于x的方程的方程0)3(322kxkkx解：解：0)1)(3(kxkx.1,321kxkx当当k=0时，时，方程为方程为3x=0, x=0将原方程左边分解因式，得将原方程左边分解因式，得当当k0时，时，说一说说一说忽视对方程忽视对方程分类讨论分类讨论1542)2222xxxx（xx22015)2( 2)2222xxxx（0) 32)(5222xxxx（522 xx322 xx案例案例3：已知实数已知实数x满足满足求：代数式求：代数式解：解：，的值。的值。或或522 xx又又无实根，无实根， 322 xx说一说说一说忽视根的忽视

17、根的存在条件！存在条件！案例案例4：已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程01122xkx有两个实根，求有两个实根，求k的取值范围。的取值范围。解：由解：由0，可得，可得04)12(2k解得解得 k - 2又又k+10, k1k 的取值范围是的取值范围是k1说一说说一说忽视系数中忽视系数中的隐含条件的隐含条件1x2x01522 xxxxxxxx2121212121xx案例案例5：已知已知 ，是方程是方程的两根，求的两根，求解：解： 的值。的值。22122212212121212121xxxxxxxxxxxxxxxx说一说说一说忽视讨论两忽视讨论两根的符号！根的符号！)1 ()2(xxa

18、xa1x2xxxS21a0) 12(22axxaaxx2121axx221xxS21212122xxxxSaa22211aa20aa案例案例6：已知方程已知方程的两个实根为的两个实根为、，设，设,求求:整数时整数时S的值为的值为1。解：原方程整理解：原方程整理，=为非负整数为非负整数。取什么取什么由由= 4a+10得得，由，由02121axx得得21a410 a说一说说一说忽视系数中的忽视系数中的隐含条件与隐含条件与判别式判别式。 a取整数取整数0。41a0900222mmxx090222cba2522ba252)(2abba02142 mm3, 721 mm3, 721 mm案例案例7：在在

19、RtABC中，中，C=，斜边斜边c=5,的两根，求的两根，求m的值的值 。解：在解：在RtABC中，中， C=检验检验:当当时，时，都大于都大于0两直角边的长两直角边的长a、b是是又因为直角边又因为直角边a,b的长均为正所以的长均为正所以m 的值只有的值只有7。说一说说一说忽视实忽视实际意义际意义!理一理理一理一元二次方程中几个容易忽视问题：一元二次方程中几个容易忽视问题：重视重视二次项系数不为二次项系数不为0；重视重视对方程分类讨论；对方程分类讨论；重视重视系数中的隐含条件；系数中的隐含条件；重视重视根的存在条件根的存在条件 ；重视重视讨论两根的符号；讨论两根的符号；重视重视根要符合实际意义

20、。根要符合实际意义。 说一说说一说系数系数根根例例1 在矩形在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,点点P从点从点A开始以开始以1cm/s的速度沿的速度沿AB边向点边向点B移动移动,点点Q从点从点B开始以开始以2cm/s的速度沿的速度沿BC边向点边向点C移动移动,如果如果P、Q分别从分别从A、B同时出同时出发，几秒后发，几秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2？BACDQP解：设解：设x秒后秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2根据题意，得根据题意，得整理，得整理，得解这个方程，得解这个方程，得12(6)82xx2680 xx122,4xx06x所以所以2秒或秒或4秒后秒后 PB

21、Q的的面积等于面积等于8cm2例例2：等腰直角：等腰直角 ABC中中,AB=BC=8cm,动点动点P从从A点出发点出发,沿沿AB向向B移动移动,通过点通过点P引平行于引平行于BC,AC的直线与的直线与AC,BC分别交于分别交于R、Q.当当AP等于多少厘米时等于多少厘米时,平行四边形平行四边形PQCR的面的面积等于积等于16cm2?QRCBAP21216816044xxxxAPcm2解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x根据题意得：x 8-x整理得：解这个方程得：答：当时，四边形面积为16cm例例3：ABC中中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足为垂足为D,CD=2,P是是AB上的一动

22、点上的一动点(不与不与A,B重重合合),且且AP=x,过点过点P作直线作直线l与与AB垂直垂直.i)设设 ABC位于直线位于直线l左侧部分的面积为左侧部分的面积为S,写出写出S与与x之间的函数关系式之间的函数关系式;ii)当当x为何值时为何值时,直线直线l平分平分 ABC的面积的面积? lACDBP2210222333xSxxSx解：当时，当时，例例4： 在在ABC中中, AC=50cm, CB=40cm, C=90,点点P从点从点A开始沿开始沿AC边向点边向点C以以2cm/s的速度移动的速度移动, 同时同时另一点另一点Q由由C点以点以3cm/s的速度沿着的速度沿着CB边移动边移动,几秒钟后几

23、秒钟后, PCQ的面积等于的面积等于450cm2?QBACP例例2：客轮沿折线：客轮沿折线A-B-C从从A出发经出发经B再到再到C匀速航行匀速航行,货轮从货轮从AC的中点的中点D出发沿某出发沿某一方向匀速直线航行一方向匀速直线航行,将一批物品送达客将一批物品送达客轮轮,两船若同时起航两船若同时起航,并同时到达折线并同时到达折线A-B-C上的某点上的某点E处处,已知已知AB=BC=200海里海里, ABC=90,客轮速度是货轮速度的客轮速度是货轮速度的2倍倍. DCABi)选择选择:两船相遇之处两船相遇之处E点点( )A.在线段在线段AB上上;B.在线段在线段BC上上;C.可以在线段可以在线段A

24、B上上,也可以在线段也可以在线段BC上上;DCABBii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里少海里?(结果保留根号结果保留根号)FDCBAE解：设货轮从出发到两船相遇共航行解：设货轮从出发到两船相遇共航行了了x海里，过海里，过D作作DF CB，连接，连接DF，则则DE=x，AB+BE=2x，DF=100，EF=300-2x在在RtDEF 中，222DEDFEF222100(3002 )100 62003xxx100 6200200()3x 舍去100 62003所以DE例例5:5:在直角三角形在直角三角形ABCABC中中,AB=BC=12cm,AB=BC=1

25、2cm，点，点D D从点从点A A开开始以始以2cm/s2cm/s的速度沿的速度沿ABAB边向点边向点B B移动移动, ,过点过点D D做做DEDE平行于平行于BC,DFBC,DF平行于平行于AC,AC,点点E.FE.F分别在分别在AC,BCAC,BC上上, ,问：点问：点D D出发几秒后四边形出发几秒后四边形DFCEDFCE的面积为的面积为20cm20cm2 2？F 例：例： 如图如图, ,某海军基地位于某海军基地位于A A处处, ,在其正南方向在其正南方向200200海里处有一目标海里处有一目标B,B,在在B B的正东方向的正东方向200200海里处有一重海里处有一重要目标要目标C.C.小岛小岛D D位于位于ACAC的中点的中点, ,岛上有一补给码头岛上有一补给码头; ;小岛小岛F F位于位于BCBC上且恰好处于小