2019学年高中数学新人教A版必修5习题：3.4基本不等式(含解析)

1、基本不等式A 组基础巩固281 .若x0,y0,且一+-= 1,贝Uxy有（）xy1A.最大值 64 B .最小值一641C.最小值 2 D .最小值 64解析：xy=xyf+8 8十2y+ 8x2y= 8寸一-,JX-8,答案：D2 .已知x0 ,y0 ,x+ 2y+ 2xy= 8,则x+ 2y的最小值是（）A. 3 B . 4911C.2D.2解析：x+ 2y+ 2xy= 8,Ay=,9f i9=（x+1 1）+x+12 22x+1x+12 2=4 4,9当且仅当x+1 =- 时=”成立，此时x= 2 ,y= 1.x + 1J答案：B1 13 .若a0 ,b0 ,且 ln（a+b） = 0

2、,贝U+ 的最小值是（）a b1A.4B.1C. 4D .8a0,即xy64,当且仅当2 8x+ 厂1 1，2y= 8x,I x0,y0,x= 4即y= 16 时等号成立.-1x0 ,b0 , ln（a+b） = 0，得丿b0 ,la+b= 1,答案：C4 .已知x+ 3y 2 = 0,贝 U 3x+ 27y+ 1 的最小值是()B .1+ 2 2C. 6 D . 7解析：/ 3x+ 27y+ 1 = 3x+ 33y+ 123x+3y+ 1 = 2X3+ 1 = 7,当且仅当 3x= 33y且x+ 3y 21=0,即卩x= 1,y=3时，等号成立，所求最小值为7.答案：D5. 设皿是厶ABC内

3、 一点，且ABC的面积为 1，定义f(M= (m n,p)，其中m n、p分11 4别是MBCMCAMAB勺面积，若f(M=o, x,y,则-+-的最小值是()幺丿xyA. 8 B . 9C. 16 D . 181 1 1解析：ABC的面积为MBCMCAMAB勺面积之和，Q+x+y= 1,即x+y=,41 48x2y11+y=x+y(2x+ 2y) = 10+y+： 18.当且仅当 x = , y=时等号成立.yxy.y x63答案：D21 126. 设abc0,贝 U 2a+- 10ac+ 25c的最小值是()ab a abA. 2 B . 4C. 2 5 D . 521 12 2 21解析

4、：Tabc0,.原式=a+ + 10ac+ 25c+a=aab+ab a aba ab12ab+ (a 5c) 2+ 2+ 0= 4，当且仅当a(ab) = 1,ab= 1,a 5c= 0 时取等号.即当aab答案：B7 .函数y=a(a0,a* 1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ ny 1 = 0(mn0)上,1 1，所求式的最小值为4.则-+ -的最小值为 _ .解析：函数y=a(1x)(a0,a* 1)的图象恒过定点A(1,1),因为点A在直线m灶ny= 1 上,所以m+n= 1.又因为mn0,所以I I+-=+1 1 1= &+1 1(讨n)m nn丿n)n m=2 +

5、+ 2+ 2 = 4.m n当且仅当m=n时，取等号.答案：4X8 .若对任意的x0,x2+3x+wa恒成立，则a的取值范围是 _ .x111解析：根据题意，令f(x) =x?+ 3x+1=1，:x0,.x+x2,.f(x)=1x+ 一+ 3x+- + 3xx1 1 1 一 1=当且仅当x= 1 时，取得最大值.若使不等式恒成立，只需 a即可.2 十 3 555答案：a1 19.已知a0,b0,a+b= 1,求证:证明：方法一：因为a0,b0,a+b= 1,所以 1 十1 1= 1 十斗=2 十1同理 1 十 1 = 2 十1a a a11故 b+坯十1=I I2 2十显十a=5 5十2 2I

6、1十1十19.当且仅当a=1= 一时取等号.1 11a+b12 厂、,、，十町1 1十a+1十ab=1 1十石十ab=1 1+ab，因为a，1为正数，a+1当且仅当x=y= 2 时，等号成立x十 21010.已知函数y=x2+x+1(x 2)2).所以 1 十1十1991 2ab，4 4,ab，8 8,方法二:1十解析：a+b= 2，则t=代+早=兴+早.2|a|b4|a|b当a0 时，即a (0,2)时,t=1 1+b+aJ+ 2ba=1 1+1 =5 54 十 4a十b4 十4a b4 十 4b a当且仅当 4a=b,即b=2 2a时等号成立.b a当且仅当4a=-b,即b=- 2a时等号

7、成立.1 一 求-的取值范围.y当x为何值时，y取何最大值?(1)设x+ 2=t,x=t 2,t0(x-2),nt1 x2+x+ 1t-2+则y x+ 2t解:t-】+1 1 12-32-3t+3 3=t+ 3-323-3 ,y的取值范围为.欲使y最大，必有y最小，此时t= t*3,x= 2,y=2過 +3,当x=#2 时，y最大，最大值为11.在ABC中，角B 组能力提升A B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2= 2c2,则 cosC的最小值为()A.23 3B.解析：由余弦定理得2 2 2 _ 212 212 2a+b-c= 2abcosC.又c= ?(a+b)，所以 2abco

8、sC=?(a+b),22a+b2ab1即 cosC=,4ab4ab2所以选 C.答案：C12.设a+b= 2,b0,则当a=时，2|1Ja取得最小值.当a3,y2)，矩形AMP的面积为S,贝 US=xy.y 23NDC NAM： =-,y x3 3y y 2,23yy 2(2)当y2 时，S=y= 3jy 2+y4卜3X(4 + 4) = 24,4当且仅当 y 2=”y2 2即y= 4 时，等号成立，解得x= 6.:存在M N点，当AM=6,AN=4 时，Sin= 24.14.记F(x,y) =x+ya(x+ 2 2xy) ,x、y (0 ,+).若对任意的x,y (0 ,+), 恒有F(x,y