(完整版)“等时圆”物理专题

1、1妙用妙用“等时圆等时圆”解物理问题解物理问题一、什么是一、什么是“等时圆等时圆”20042004 年高考试题：年高考试题：如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c 处释放（初速为 0）,用 t2、t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（）A.t1t2t2t3C.t3t1t2D.t=t2=t3解析：解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为 R，由牛顿第二定律得，mgcos0=ma再由几何关系，细杆长度L=2

2、Rcos01设下滑时间为t，则L二-at2由以上三式得，t=2可见下 4 滑时间与细杆倾角无关，所以 D正确。由此g题我们可以得出一个结论。结论：结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：推论：若将图 1倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。（1）物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑,到达圆周最低点时间均相等，且为t=R（如图甲所示）.（2）物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自

3、由落体的时间，即象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。图 b）jg（如图乙所示）.甲2而.4R小下二*i（式中山圆的半径。）三、等时性的证明三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为a，圆的直径为d（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a=gsin，位移为s=dsina，所以运动时间为2si2dsinat=0agsina即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。规律 AB、AC、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D 位于同一圆周上

4、，A 点为圆周的最高点，D点为最低点每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 A处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角大小都无关.推导设圆环沿细杆 AB 滑下，过 B 点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为如图 2 所示，连接 BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度 a=gsin。，由几何关系有 AB=x=2Rsin。，由运动学公式有 x=12at2，解得：环的运动时间 t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的.说明 1 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为卩，由运动学公式有 2Rsin0=12（gsin0ugcos9

5、）解得 t=2Rsin9gsin9卩 geos9=2Rg卩 gcot9，。增大，时间 t 减小，规律不成立.二、二、“等时圆等时圆”的应用的应用, ,巧用等时圆模型解题巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解. .1 1、可直接观察出的、可直接观察出的“等时圆等时圆 例例 1 1：如图 3,通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无

6、法确定解析：解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以 A正确。【变式训练【变式训练 1 1】如图所示如图所示，ABAB 和和 CDCD 是两条光滑斜槽是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为它们各自的两端分别位于半径为R R和和 r r 的两的两个相切的竖直圆上个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点并且斜槽都通过切点 P P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从从 A A 滑到滑到 B B 和从和从 C C 滑到滑到 D D，所用的时所用的时间分别等于间分别等于 t t1和和 t t2，则，则 t t1和和 t t2之比为之比为（）

7、A.2：1B.1：1C.3:1D.1：22d=Yg3例例 4 4：圆 01和圆 02相切于点 P，0、02的连线为一竖直线，如图 8 所示。过点 P 有两条光滑的轨道 AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿 AB、CD 下滑，下滑时间分别为 t2，则t、t2的关系是（）A.tt2B.t1=t2C.ttatdtc.解【析】如图所示，令圆环半径为R R,则c c球由C C点自由下落到M M点用时满足R R;对于a a球令AMAM与水平面成&角，则a a球下滑到M M用时满;同理b b球从B B点下滑到M M点用时也满足t t=2r（r r为过B B、M M且与水平面相切于M M点的竖直圆的

8、半径，r rR R）.综上所述可g得tbtatc-三个相同小球从三个相同小球从 a a 点沿点沿 abab、acac、adad 三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点低点? ?解析解析：设斜面侧边长为1，倾角为0，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为a=gsin，物体的位移为x=1sin。l1物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得和=2gsin012得t=21，l、g一定，所以0越大时，下滑所用时间越短gsin20奇妙的等时圆一一2004 年全国高考理科综合第 15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用从一道高考题得到的一个

9、重要结论及其应用20042004 年高考试题：年高考试题：如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图图1解：解：因 AB、CD 处在两个“等时圆”上，所以正确答案为 B。例例 2 2：如图 4,位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于 M 点，与竖直墙相切于点 A,竖直墙上另一点 B 与 M的连线和水平面的夹角为 6Oo,C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与 M 靠得很近的一点（DM 远小于 CM）。已知在同一时刻：a、b 两球分别由 A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运

10、动到 M 点；c=，所以tc=足AMAM=2R Rsin&=tg gsinOta，即t ta a=5中未画出），三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0）,用 t、t2、t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（）A.t1t2t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图 2，由牛顿第二定律得，mgcos9=ma由几何关系，细杆长度L二2RcosO面底端。2在离坡底 B 为 10cm 的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高OA也是 10cm。杆的上端 A 到坡底 B 之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图 11）从 A 点由

11、静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）答案：如图 12，把 AO 延长到 C，使 OC=OA=10cm，则点 O 到 A、B、C三点的距离相等。以 O 为圆心，OA 为半径作圆，则 B、C 一定在设下滑时间为t，则L=2at2由以上三式得-D 正确。若将图 1 倒置成图 3 的形式，始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。结论：结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等。我们把这两种圆叫做“等时圆”，下面举例说明“等时圆”的应用。例例 1 1：

12、如图 4 所示，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解：解：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以 A 正确。同样可以证明物体从最高点由静止开图4例例 2 2：两光滑斜面的高度都为 h h 甲、乙两斜面的总长度都为 1 1，丿成，如图 5 所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放,失，问哪一个球先到达斜面底端？解：解：构想一辅助圆如图 6 所示：在 AF 上取一点 0，使 OA=OC,以 OA 为半径

13、画圆，此圆交 AD 于 E点。由“等时圆”可知，tAC二t恒定律可知：vCvE，vB=vD，所以vBCCEBDBCVED。又因为两斜面的总长度相等,所以SBC乙，即乙球先到达斜可见下滑时间与细杆倾角无关，所以以 O点为圆心,AE，由机械能守6图17该圆的圆周上，由结论可知，物体从 A到 B 的时间与从 A 到 C 的时间相等，即t=t=2AC/g=：2x20/10=2sABAC【例 1】倾角为 30的长斜坡上有 C C、0 0、B B三点，COCO=OBOB=10m，在C C点竖直地固定一长 10m 的直杆 AOAO。A A 端与 C C 点间和坡底 B B 点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一

14、钢球（视为质点）将两球从 A A 点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图 1 所示，则小球在钢绳上滑行的时间 t tAC和 t tAB分别为（取 g g=10m/s2）A.2s 和 2sB.%2s和 2s解析：由于 COCO=OBOB=OA，故 A A、B B、C C 三点共圆，O O为圆心。又因直杆 AOAO 竖直，A A 点是该圆的最高点，如图 2 所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳 ABAB 和 ACAC 与竖直方向夹角分别为 a、a2，该圆半径为 r r，则对钢球均有2rcosa=-2gcosa12i4rt=7，钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹

15、角。无关，且都等于由A 到 D 的自由落体运动时间。代入数值得 t=2s，选项 A 正确。例例 3：如图 5 所示，在同一竖直线上有 A、B 两点，相距为 h，B 点离地高度为 H，现在要在地面上寻找一点 P，使得从 A、B 两点分别向点 P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由 A和 B 沿木板下滑到 P 点的时间相等，求 0、P 两点之间的距离OP解析解析：由“等时圆”特征可知，当 A、B 处于等时圆周上，且 P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图 6 所示，此时等时圆的半径为：hR=OP=H+-12所以OP=：R2-(2)2H(H+h)C.f2s和 4sD.4s 和、2s

16、2 2、运用等效、类比自建、运用等效、类比自建“等时圆等时圆”图2图6解得：84 4、如图 4 4 所示，在离坡底 15m15m 的山坡上竖直固定一长 15m15m 的直杆AOAO，A A 端与坡底 B B 间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从 A A 点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间 t to例 5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AEAE滑行的时间技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图.ACAC 是滑道的竖直高度，D D 点是 ACAC 竖直线上的一点，且有ADAD=DEDE=10m，滑道 AEAE 可视为光滑，滑行者从坡顶 A A 点由静止开

17、始沿滑道 AEAE 向下做直线滑动， g g 取 10m/s2,则滑行者在滑道 AEAE 上滑行的时间为（）A.sB.2sC.sD.2s【解析】AEAE两点在以D D为圆心、半径为R R=10m的圆上，在AEAE上的滑行时间与沿例例 2 2：如图2,在斜坡上有一根旗杆长为 L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB 滑至斜坡底部，又知 OB=L。求小环从 A 滑到 B 的时间。【解析】可以以 0 为圆心，以 L 为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知， 从 A 滑到 B 的时间等于从 A 点沿直径到底端 D 的时间，所以有tABAD,2d例例 2 2、在一竖直墙面上固定一光滑的杆 AB,

18、如图所示，BD 为水平地面，ABD 三点在同一竖直平面内，且连线 AC=BC=0.1m小球套在杆上自 A 端滑到 B 端的时间为：（B）A0.1sB0.2s解析：以 C 为圆心作一个参考园。由结论知，小球自 A 到 B运动的时间与自 A 到 B 自由落体运动的时间相等。即 AE=2R=0.2m丄AE=2gtt=0.2s9ADAD所在的直径自由下落的时间相同，t t=4R=2s,选B.g g例 4、如图所示，圆弧 ABAB 是半径为 R R 的 4 圆弧，在 ABAB 上放置一光滑木板BDBD，一质量为 m m 的小物体在 BDBD 板的 D D 端由静止下滑，然后冲向水平面BCBC,在 BCB

19、C 上滑行 L L 后停下.不计小物体在 B B 点的能量损失， 已知小物体与水平面 BCBC 间的动摩擦因数为“.求：小物体在 BDBD 上下滑过程中重力做功的平均功率.【解析】由动能定理可知小物体从D D到C C有W WGmgL=0,所以W WG=mgL由等时圆知识可知小物体从D D到B B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B B点的时间物体在木板BDBD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P P=例例 3 3：如图 7,一质点自倾角为a的斜面上方的定点 0 沿光滑斜槽 0P 从静止开始下滑,为使质点从 0 点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角0应为多大？解解：如图 7,作以 0P

20、为弦的辅助圆，使圆心 0/与 0 的连线在竖直线上，且与斜面相切于 P 点。由“等时圆”可知，唯有在 0 点与切点 P 点架设的斜槽满足题设条件， 质点沿其它斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。由图可知，ZPOA=Q，又。Op为等腰三角形，所例例 4 4：如图 7，AB 是一倾角为。的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在 P 与 AB 输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从 P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？解析解析： 借助“等时圆”， 可以过 P 点的竖直线为半径作圆， 要求该圆与输送带 AB相切，如图所示，C 为切点，0 为圆心。显然，沿着 PC 弦建

21、立管道，原图8WG=mgLg gt t=2R R所以小11料从 P处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而,要使原料从 P 处到达输送带上所用时间最短，需沿着 PC 建立管道。由几何关系可得：PC 与竖直方向间的夹角等于 0/2。【例 4】如图 7所示，在同一竖直平面内，从定点 P P 到固定斜面（倾角为 0）搭建一条光滑轨道 PMPM,使物体从 P P 点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角 a 为多少？解析：先用解析法求解。从定点 P P 向斜面作垂线，垂足为 D D，如图 8 所示,到斜面距离为 h h，则轨道长度为PM= =八cos

22、(e-a)物体沿轨道下滑的加速度a=gCOSQ由于PM=2at22h联立解得：gcosacos-a)令根式中分母y=cosacos（0-a），利用积化和差得:y=1Los0+cos(2a-9),200定，当a=时，分母 y y 取得最大值，物体沿轨道下滑的时间 t t 最小。再用“等时圆”作图求解。以定点 P P 为“等时圆”最高点，作出系列半径 r r 不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图 9 中甲所示，则轨道长度均可表示为PM= =2RCOSa物体沿轨道下滑的加速度a=gcosa由于PM=2曲，故得：t=、；万,欲 t t 最小，则须“等时圆”的半径

23、r r 最小。显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面相切于 M M2点，如图 9 中乙所示。再0根据几何关系可知：a=。图9在这里，用了转化的思想，把求最短时间转化为求作半径最小的“等时圆”，避免了用解析法求解的复杂计算。例例 4 4：如图 5 所示，在倾角为a的传送带的正上方，有一发货口 A。为了使货物从静止开始，由 A 点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角0应为多少？【解析】：如图 6 所示，首先以发货口 A 点为最高点作一个圆 0 与传送带图5相切，切点为 B，然后过圆心 0 画一条竖直线AB/，而连接 A、B 的直线，就世货匚12是既过发货口 A,又过切点 B 的

24、惟一的弦。根据“等时圆”的规律，货物沿 AB 弦到达传送带的时间最短。因此，斜槽应沿 AB 方向安装。AB 所对的圆周角 B 为圆心角的一半，而圆心角又等于P=1a2a,所以。如图 3 所示，在一个坡面与水平面成 0=40角的山坡 AB 的脚下 A 处有一个高塔，为防止意外，需要在塔顶 0 与山坡之间搭一个滑道，以便塔上的人能尽快沿滑道滑到山坡上假设滑道光滑，试求滑道与山坡坡面 AB 的夹角多大？解析如图 4 所示， 过 0 点作一条水平线与山坡交于 B 点， 过 B 点作 ZABO 的角平分线， 交过 0 点作的竖直线于点 C，以点 C为圆心、0C 为半径作圆与山坡相切于点 D，连接 OD、

25、CD.根据上述结论可知：人从 0 点出发沿滑道到达圆上的时间是相等的，沿滑道 0 已到达山坡，沿其他滑道还要再走一段距离才能到达山坡，所以人沿滑道 0D 到达山坡所用时间最短，此时夹角 0=900=70.另解如图 5 所示，过点 0作山坡的垂线 0D，设其长度为 x.过点 0 画直线 0E，作为滑道，设其与竖直方向的夹角为0由几何知识可知滑道的长度 0E=xcos（a0），由牛顿第二运动定律得人运动的加速度为 a=gsin（900），由运动学公式有xcos（a 一 0）=12gcos0t2，解得 t=2xgcos0cos（a0），其中 cos0cos（a 一 0）=12cosa+cos（20

26、一 a），所以当 20=a=40时，时间取得最小值，此时夹角=900=70.三、三、“形似质异形似质异”问题的区分问题的区分图6如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0），用 t2、t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（A.tt2t2t3C.t3tt2D.t=t2=t3解析解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示， 设圆半径为 R，由牛顿第二定律得，mgcos0=ma再由几何关系，细杆长度L=2

27、Rcos01设下滑时间为t，则L二a2clR由以上三式得，t=2可见下 4 滑时间与细杆倾角无关，所以 D正确。g由此题我们可以得出一个结论。结论：结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论推论：若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。13图6象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：【例 1】还是如图 1 的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为卩，小滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0）到达圆环底部的时间还等不等？解析：解析：bd

28、的长为 2Rcos9,bd 面上物体下滑的加速度为 a=gcos9-卩 gsin9,:4Rcos9lRtbd飞gcos9-曲sin9=2Yg-曲tan9。可见t与9有关【例【例 2】如图 3 所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c 四点位于同一圆周上，d 点为圆周的最高点，c 为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中 O 点无初速释放，用右、t2、t3、依次表示滑到a、b、c 所用的时间，则D.ttt312解析：如果不假思索，套用结论，就会落入“陷阱”，错选 A。必须注意，“等时圆”的适用条件是： 光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动，且运动

29、起点（或终点）应在“等时圆”的最高 （或最低） 点。 题图中 O 不是最高点， 题设圆不是“等时圆”。现以 O 点为最高点，取合适的竖直直径 Oe，作“等时圆”交 Ob 于 b，如图 4 所示，显然，O 到 f、b、g、e 才是等时的，比较图示位移 OaOf，Oc1213，正确的选项是 B。【例 3】如图 5 所示，在竖直面内有一圆，圆内0D为水平线，圆周上有三根互成300的光滑杆OA、0B、C，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让-个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到,所用的时间分别为tA、仃、ItAtBtCD 无法确定故不是“等时圆”。延长 0A0A，过 B B 作 B B/B B 丄B

30、0B0，则0 0、B B、B B/在同一圆周上，B B/处自由下落到0 0的时间和小球沿光滑杆由 B B 无初速滑到0 0的时间相同。同理，过 C C 作 C C/C C 丄 COCO，则 0 0、C C、C C/在同一圆周上，C C/处自由下落到0 0的时间和小球沿光滑杆由 C C 无初速滑到0 0的时间相同。C C/、B B/、A A 自由下落到0 0的时间依次递减，故选项 BAt=t=t123B-t11213则（）At=t=tBttt2不可以根据 CC1 另解假设圆的半径为 R，建立如图 8 所示的直角坐标系.连接 A0 并假设其与 x 轴的夹角为 a，则 A 点的坐标为(Rcosa，R

31、sina).设直线 AB 与 x轴的夹角为 9，则直线 AB 的斜率为 k=tan9，直线 AB 的方程为 y 一 sina=tan9(xcosa)，整理变形有 xtan9 一 y+sina 一 tan9cosa=0，由数学知识可知，坐标原点到直线 AB 的距离为 0E=|sinatan9cosa|1+tan29，由几何知识解得 BE2=R2(1sin2a+tan29cos2a2sinacosatan91+tan29)，整理得 BE=(cos9cosa+sinasin9)R，由牛顿第二运动定律有环的加速度 a=gsin9，由运动学公式有 2BE=12gsin9t2，解得小环运动时间为 t=4R

32、(cosacos9+sinasin9)gsin9=4Rg(cosacot9+sina)，所以 9 增大，时间减小，t1t2t3.当式中 a=90时，t=2Rg，与倾角、杆长无关，就是前面推导的等时圆规律.说明 2 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为环处于加速下滑的条件是卩 2BE=12(gsin9ugcos9)t2，解得环运动时间t=4R(cosacos9+sinasin9)gsin9 一 ugcos9，变形为 t=4Rg(cosatan9u+sina1utan9)，由此式可知：9 增大，时间 t 减小，即 t1t2t3.当式中 a=90或 a=90、u=0 时，时间 t=2Rg.可

33、见等时圆规律适用的条件是：细杆光滑、A 点为圆周的最高点或最低点.四、比较应用等时圆模型解典型例题四、比较应用等时圆模型解典型例题如图 9，底边为定长 b b 的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需图9要多少时间？答案：用作图求解。如图 10，以 b b 为半径、O 为圆心作一个圆，作出圆的一条竖直切线 MN，于圆切于 D 点。A 点为所作圆的最低点。由图可看出：从 MN 上不同的点由静止滑到 A 点，以 DA 时间为最短。(由“等时圆”可知，图中 E/、D、C/各点到达 A 的时间相等。)所以小球从底边 b 为定长的光滑直角斜面上滑下时以 45。的时间为最少，而且此时间与球

34、从 P 点自由下落到圆最低点的时间相等。所以tminming2.有三个光滑斜轨道 1、2、3，它们的倾角依次是 600，450和 3Oo，这些轨道交于 O 点现有位于同一竖直线上的 3 个小物体甲、乙、丙，分别沿这 3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物图102体滑到 O 点的先后顺序是 BA.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达C.甲、乙、丙同时到达D.乙最先，甲稍后，丙最后解析解析：设斜面底边长为l，倾角为0，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为a=gsin0，物体的位移为x=lcos0物体由斜面顶端由静止开始运动到底端由运动学公式得爲=2gsin012，2、如图 9,圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板 aO、bO、cO,其下端都固定于底部圆心 0,而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为 3Oo