多元函数微分法和应用期末复习题高等数学下册上海电机学院

1、第八章偏导数与全微分、选择题A1 .若u=u(x,y)是可微函数，且u(x,y)yx21,A.1B.1C.-1D.1222 .函数zx2y26x2y6DA.在点(-1,3)处取极大值C.在点(3,-1)处取极大值B.在点(-1,3)处取极小值D.在点(3,-1)处取极小值3.二元函数fx,y在点x0,y0处的两个偏导数fxM,yo,fyM,yo存在是函数2一2一24.设u=x+2y2+3z+xy+3x-2y-6z必要而非充分条件既非充分也非必要条件该点可微的BA.充分而非必要条件B.C.充分必要条件D.在点O(0,0,0)指向点A(1,1,1)方向的导数-uA.5.35.3B.6535.3C.

2、D.5 .函数zx3y33xybA.在点(0,0)处取极大值C.在点(0,0),(1,1)处都取极大值B.在点(1,1)处取极小值D.在点(0,0),(1,1)处都取极小值6 .二元函数fx,y在点x0,y0处可微是fx,y在该点连续的AA.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.7 .已知ysinyx0(0既非充分也非必要条件1),则=BdxA.1cosyB.-11cosyC.1cosy1D.1cosy5020,、8 .函数zxy一一(x0,y0)DxyA.在点(2,5)处取极大值C.在点(5,2)处取极大值B.在点(2,5)处取极小值D.在点(5,2)处取极小值9.二元函数

3、fx,y在点x0,y0处连续的是fx,y在点x0,y0处可微的AA.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10.曲线x=t,y=t2,z=t3所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有A.1条B.2条C.3条D.不存在11.设f(x,y)xy22yx，则f（二当ByxxyALA.42yxB.22xyC.-4yxD.22yx44yx12.为使二元函数f(x,y)y沿某一特殊路径趋向y（0,0）的极限为2,这条路线应选择xB.一3xC.2yD.2xyy13.设函数z2f(x,y)满足2y2,且f(x,1)2,fy(x,1)，贝Uf(x,y)B2A.y(x1)

4、y2b.y2(x1)y2C.y2(x1)y2D.(x1)y214.设f(x,y)3x2y,则f(xy,f(x,y)CA.3xy4x4yB.xyx2yC.3xy6x4yD.3xy4x6y15.为使二元函数f(x,y)22xy2在全平面连续,xy则它在（0,0）处应被补充定义为BA.-1B.0C.1D.16.已知函数f(xy,x22y)xyf(x,y)y17.若18.若A.2xf(y)x2yB.2x2yC.xD.22xy(x0),xf(x)C.D.zyx,则在点-zD处有一y19.设z2xy,则下列结论正确的是A2zA.xy2zB.xy2zC.xyD.两者大小无法确定0,20.函数f(x,y)xs

5、in一y_1ysin一,xxy0c,则极限xy0呵f(x,y)(y0C).(A)等于1(B)等于2(C)等于0(D)不存在21.函数zxy在点(0,0)(D).(A)有极大值(B)有极小值(C)不是驻点(D)无极值22.二元函数zVxy2在原点(0,0)处(A).(A)连续，但偏导不存在(C)偏导存在，但不连续(B)可微(D)偏导存在，但不可微23.设uf(r),而r7x一寸z2f(r)具有二阶连续导数,2u则x2u-2y(B).(A)f(r)11f,(r)r1-f,(r)r(B)f(r)1,(D)-12f(r)r24.函数zf(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点偏导存在的(f(r)f(r

6、)D).(A)(C)必要而非充分条件充分必要条件(B)充分而非必要条件(D)既非充分又非必要条件25.函数z122.xy的极大值点是(D).(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26.设f(x,y)arcsinfx(2,1)(B).(A)(B)(D)limx0y028.zf(x,y)若在点Po(X0,yo)处的两个一阶偏导数存在，则(B)(A)f(x,y)在点P0连续(B)zf(x,y0)在点x0连续(C)dz|Pdx|Pdy(D)A,B,C都不对29.设函数zxy,则dz=(A).y1y.yxdxxInxdyyyx1dxxydy(C).xydxxylnxdy(D).

7、yyx1dxxylnydy30.z已知u2lnv,ux一,vyxy,则y落nxy(A)y(B)与lnxyy当lnxyy(D)2x2ylnxy31.函数z=41x2y2的定义域是(D(A.)(C.)D=(x,y)|x2+y2=1D=(x,y)|x2+y21(B.)(D.)D=(x,y)|x2+y21D=(x,y)|x2+y2132.,则下列式中正确的是y33.34.(A)(C)(A)已知f(y,x)f(x,y);f(x,y)；_xxesiny；(B)ef(xy,xy)x2(D);exsiny；(C)y2,则一f(B)(D)f(xy,xf(x,y)_xecosy；-(C);(D)y)f(x,y)；

8、f(x,y)一x一一esiny(A)2x2y；(B)(C)2x2y(D)xy.35.设z2x23xy(B)3(C)-2(D)2.36.设(C)37.lxm0limx0xy。fx0x,y0yfx0,y(B)lxm0fx0x,yfx0,y0fx0x,yfx0,y0设由方程(D)limx0fx0x,y0xyz0确定的隐函数x,y,则二x(B)y(C)x1zy(D)x1z38.二次函数zln(4y2)A.1A.o解：由拉格朗日乘数法，令L(x,y,)xpyq(xya)(2分).p1qLxpxy0由Lyqxpyq10(2分)Lxya0解得驻点(_ap,四)(2分).pqpq又由题意当点(x,y)趋于边界

9、x0或y0时，目标函数f趋于零，所以连续函数f在驻点取最大值。因此当x-ap-,y-aq时，xpyq的值最大pqpq26 .设zf(x,y)g(u,v),ux3,vxy,其中f,g具有一阶连续偏导数，求卫.x解：fxgugv(2分)xxxfx3x2guyxy1g；(3分).27 .求曲线x2t2,ycos(t),z2lnt在对应于t2点处的切线及法平面方程。解：当t2时，对应点的坐标为(8,1,2ln2);又参数方程的切线方向向量为：n|t24t,sin(t),，|t28,0,1(2分)，故切线方程为8八Z21n2(2分801一，x88(z2ln2)或y10而法平面方程为8(x8)(z2ln2

10、)0(2分).23.28.求函数uxy2z3在点Mo(1,1,1)处方向导数的最大值和最小值。解：u在点Mo(1,1,1)处沿方向l的方向导数为:,23322(yzcos2xyzcos3xyzcos)|MoMocos2cos3cos(2分).人,0_令lcos,cos,cos,g1,2,3,gl0|g|1101cos,为g与l0的夹角。Mo要使ul即：当同理，要使值，即：当29.设函数Mol0l0解:30.取最大值，则cos=1,即=0,也就是g与l0同向时，-u1,2,3时，-u,14l取最大值|g|J14（3分）.M0取最小值，则cos=-1,即M0得1,2,3时，-7f（x2x2y，取最

11、小值M。|g|,也就是g与l0反向时,g（3分）.取最大值,M0取最小M0xyzy,e），求xexy3zx，y是由xzMz及处的偏导数xy3x2yzxM03z2xyz3y2xzVM03z2xy31.解:MoM0的值。xyyevxy一xey=2xyxyexyxyxeZ3xyz60所确定的隐函数，求它在点（1八1,M0=（1,2,1）（3分）5?（3分）5斜边长为m的所有直角三角形中，求有最大周长的直角三角形直角边的边长.设两条直角边的边长为x,V，周长为S,则Smxy（1分）1,2,-1）222、一F（x,y,）mxy（xym）（2分）12x0x令12y0（3分）yF222xym0解得xy,2因

12、为所有直角三角形的直角顶点位于直径为m的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是mo2zzu32设zesinv,而uxy,vxy，求x,yzzuzvxuxvxuu= esinvyecosv1= euysinvcosv（3分）zzuzvyuyvy=eusinvxeucosv1=euxsinvcosv22zz33.设zfxy,且f可攸求yx。xym2xf（2分）2yf（2分）yxz0（2分）xyxy34 .求曲面ezzxy3在点2,1,0处的切平面与法线的方程.fx,y,zezzxy3则工1,-2,0（3分）x2,1,0y2,1,0z2,1,0切平面方

13、程为x22y10z00即x2y40（2分）法线方程为12（2分）z035 .将正数12分成三个正数x,y,z之和，使得ux3y2z为最大.(8分)Fx3x2y2z03解：令F(x,y,z)x3y2z(xyz12),则y:9(3分)Fzx3y20xyz12解得唯一驻点(6,4,2)(4分)，故最大值为umax634226912.2y+zz36、已知z=arctan2，求一,xxxy解:2yz22,xyxy(x222y)37.设z22,zzy,xy，求，yxy2zzf12yf2x,yxyfii2xf12y2yf212xf22yxf2238.已知z=arctan丫，求二,。xxxy222解：卫4(3

14、分),“77(3分)xxyxy(xy)39、设z=x2lny,而x=,y=3u-2v,求解:z制(3u2v)vu行,(3分)f（3分）40.将正数a分成三个正数之和，使它们之乘积为最大。求这三个数。解：设三个数分别为x,y,z.F（x,y,z,xyz（xyza）（2分）Fxyz作F令FyFzxzxy0公,（4%）x0a（4分）341.设zxarctan（xy）,zy1（1,1）gradz|（i,i）解：4|（i,i）arctanxyxy2xy1、（2分）21,1zy|（1,1）2x2xy1（2分）21,1gradz|（i,i）1r，八、j（2分）242.求曲面ezxy3在点M（2,1,0）处的切平面方程和法线方程。解：Fx2,1,0y2,1,01,Fy2,1,0x2,1,02,Fz2,1,012,1,00（3分）切平面方程为x2y40法线方程为平?043、设zln.x2y2，求dz1,1解：z1,11,11八一（2分）21,11,11八一（2分）2dz2dxdy（2分）44、xy，其中Fu可微，证明;zy一yxyz、丁zL证：一Fxy（2分）x（2分）zy一yxyz（2