2019-2020年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨创新应用教学案新人教A版选修4

1、2019-2020年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨创新应用教学案新人教A版选修41正射影的概念给定一个平面a，从一点A作平面a的垂线，垂足为点称点A为点A在平面a上的正射影.一个图形上点A，所组成的图形，称为这个图形在平面a上的正射影.2平行射影设直线l与平面a相交，称直线l的方向为投影方向,过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交a于一点A,称点A为A沿l的方向在平面a上的平行射影.一个图形上各点在平面a上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影.3正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直而平

2、行射影的投影光线与投影面斜交平面图形的正射影与原投影面积大小相等而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积4两个定理(1) 定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆.(2) 定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于0点，夹角为a，l围绕l旋转得到以0为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面n，若它与轴l的交角为0(当n与l平行时，记0=0)，贝y 0a，平面n与圆锥的交线为椭圆. 0=a，平面n与圆锥的交线为抛物线. 0AZC，.AB2+AC2AB2+AC2=BC2.cosZBA0.CAB2+AC2一BC2C=2ABACAZBAC为钝角.ABC为钝角三角形.由题意，ZABA=30,ZACA=45.设

3、AA=1，则AB=；3,AC=1，AC=：2,AB=2,BC=iAC2+AB22ACABcosZBAC=62，AB2+ACBC2：6./3cosZBAC=2ABAC=3.平面与圆柱面的截线例2如图，在圆柱0#内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为00和00,并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F、F.1212求证：斜截面与圆柱面的截线是以F、F为焦点的椭圆.12思路点拨证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明证明如图，设点P为曲线上任一点，连接PF、PF,则PF、PF分别是1212两个球面的切线，切点为F、F,过P作母线，与两球面分别相交于K

4、、K,则1212PK、PK分别是两球面的切线，切点为K、K.1212根据切线长定理的空间推广，知PF=PK，PF=PK，1122所以PF+PF=PK+PK=KK.121212由于KK为定值，故点P的轨迹是以F、F为焦点的椭圆.1212方法规律小结s(1) 证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状(2) 该题使用了切线长定理的空间推广(从球外一点引球的切线，切线长都相等).4一平面与圆柱面的母线成45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面解析：由2a=6,即a=3，又e=cos45的半径为故b=c=ea=22X3=，即为圆柱面

5、的半径.答案：5已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30角，求截线的长轴、短轴和离心率解：由题意可知椭圆的短轴为2b=2X2,短轴长为4.2b1设长轴长为2a,则有2a=sin30=，.2a=4b=8.e=.长轴长为8，短轴长为4，平面与圆锥面的截线离心率为乎.例3证明：定理2的结论(1),即0a时，平面n与圆锥的交线为椭圆.思路点拨本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin双球法证明如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面n的上方，一个位于平面n的下方，并且与平面n及圆锥均相切当0a时，由上面的讨论可知，平面n与圆

6、锥的交线是一个封闭曲线.设两个球与平面n的切点分别为F、F,与圆12锥相切于圆S1、S2.12在截面的曲线上任取一点P,连接PF、PF.过P作母线交12S于Q，交S于Q，于是PF和PQ是从P到上方球的两条切线,112211因此PF=PQ.同理，PF=PQ.1122所以PF+PF=PQ+PQ=QQ.121212由正圆锥的对称性，QQ的长度等于两圆S、S所在平行平面间的母线段的长度而与P1212的位置无关，由此我们可知在0a时，平面n与圆锥的交线为一个椭圆.方法规律小结由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易

7、，但可以采用Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决6圆锥的顶角为50，圆锥的截面与轴线所成的角为30，则截线是()A圆B椭圆C.双曲线D.抛物线50解析：由a=-=25,0=30,0a，.截线是椭圆答案：B7. 如图，已知平面n与圆锥的轴的夹角为0,圆锥母线与轴的夹角为a,a=0,求证：平面n与圆锥的交线为抛物线.证明：当0=a时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合.在圆锥内嵌入一个Dandelin球与圆锥交线为圆S.记圆S所在平面为n,n与n的交线记为m.球切n于F点丄八、1在截口上任取一点P,过P作PA丄m于A,过P作PB丄平面n于B,过P作

8、圆锥的母线交平面n于C,连接AB,PF1,BC.由切线长定理，P=PC.PB平行于圆锥的轴，ZAPB=0,ZBPC=a.PB在RtAABP中，PA=cos0在RtABCP中，PC=PBcosaa=0,PC=PA.PF1=PA,即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等.截口曲线为抛物线对应学生用书P39一、选择题1. 一条直线在一个面上的平行投影是()A. 一条直线B.一个点C.一条直线或一个点D.不能确定解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点.答案：C2. ABC的一边在平面a内，一顶点在平面a夕卜，则ABC在面a内的射影是()A. 三角形B.一直线C.三角形或一直线D.以上均不正确解析

9、：当厶ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形.答案：D3. 下列说法不.正确的是()A. 圆柱面的母线与轴线平行B. 圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C. 圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D. 平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确答案：D4设圆锥的顶角（圆锥轴截面上两条母线的夹角）为120，当圆锥的截面与轴成45角时，则截得二次曲线的离心率为（）C1A.B罷D2解析：由题意知a=60

10、,0=45，满足0A/B/C/各有两对对应顶点111222111222A和AZ,B和B,A和AZ,B和B重合，在两平面的交线g上.11112222图3-1-7 q与c，c2与c2,是射影对应点， CCCC1122由这些点向对应轴直线g作垂线CH,CH,CH,CH11112222设qc2与qC2相交于直线g上一点X,由相似三角形得 CCCC,=k时，1122=k.又ABC与厶ABC同底,AABC与厶ABC同底,111111222222或=k，其中k为常数.(2)当三角形与其射影没有公共顶点时，如图3-1-8.在厶A.B1C1与其射影A1B1/C1/中，三对对应边相交于对应轴g上.由(1)中结论知：=k,即二k.=k，即=k.=k,即二k.*.=+-=k+k-k=k(+-)=k.=k.同理,=k,备选习题4已