(完整版)利用中值定理证明不等式_第1页
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文档简介

1、利用中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的证明过程是基于罗尔定理上的,并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推广,找出辅助函数满足罗尔定理条件得证的:定理328罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少存在一点匚使得函数在该点的导数值等于零.即f'C)=0.(3.1)证明由于f(x)在闭区间a,b上连续，所以f(x)在a,b上一定取到最小值与最大值，分别设为m与M.当m=M，则f(x)在a,b是常值函数，即a,b.f(x)=m,f'(x)三0,xg因此,E可取(a,b)内任意一点，有f

2、'()=0.当m<M时，由于f(a)=f(b)，所以最大值、最小值至少有一个在内部取到，不妨设最大值M在内部取到.设G(a,b),f'(g)=M,则f(e)为极大值.由f(x)在(a，b)内可导，知f'(e)存在.由费马定理知，f'G)=0定理338拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间b,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a，b)内至少存在一点使等式f(b)-f(a)=f'(©)(b-a)(3.2)成立.证明构造一个函数,设F(x)=f(x)-f缪-f(°)(x-a)-f(a),b-a由于F(x)gCa,b,F(

3、x)gD(a,b),且F(a)=F(b)=0.所以由罗尔定理知至少存在一点EG(a,b),使F'(e)=0.又F'(x)=f(x)-ff(a),b-a所以fQ-f(b)-f(a)=0,于是f(b)-f(a)=f'Qb-a例32证明x丰0,ex>1+x分析:因为x丰0当x>0时，将不等式ex>1+x改写成e0=eC(x0),匚e(0,x)当x<0时，将不等式ex>1+x改写成-e0=eC(x-0),匚e(x,0)证明令f(x)=ex当x>0时，对f(x)=ex在0,x上应用拉格朗日中值定理.-e0=eC(x-0),Ce(0,x)因为1&

4、lt;eC<ex,所以ex-1>x,即ex>1+x当x<0时，对f(x)=ex在x,0上应用拉格朗日中值定理,-e0=eC(x-0),Ce(x,0)因为ex<eC<1，所以ex-1>x.即ex>1+x.故当x丰0时，ex>1+x.例33证明不等式：当x>0时，<In(1+x)-ln(1+0)<x1+x分析:所证不等式中的函数ln(1+x)的导数为丄，即所证不等式中含有函数及其导1+x数,因而可用拉格朗日中值定理试之.由于山1=0,因此可构造函数的改变量ln(l+x)-ln1,则相应自变量的改变量为x,原不等式等价于:1ln(1+x)-ln1仁<(1+对-1<1由不等式中间部分的形式可知,可利用拉格朗日中值定理证明.x-0证明原不等式可等价变形为：丄<ln°+x)-ln°+0)<i令f(x)=In(1+x),显然它在o,x(x>0)上满足拉格朗日中值中定理的条件，故存在ge(0,x),使得f(x)-f(0)x0In(1+x)ln1x<1

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