2022年高考数学总复习高中数学恒成立能成立问题总结(详细)

1、恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。 这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想 方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解 决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法(-)构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数 /(x) = Zx+b(AHO),XGm,有：/3)>0恒成立。<<=>/(w)> 0 f(n)>0f(x) < 0恒成立= </(w) < 0 /(

2、)<0由函数图象是一条线段，知应g(-2)<()og <0 =解得< x<I+V32所以X的范围是Xw1 + 5/7 1 + V3-，2例1若不等式2x-l >对满足-2 W m W 2的所有?都成立，求x的范围。解析：将不等式化为：w(x2-1)-(2x-1)<0,构造一次型函数：=原命题等价于对满足一 2 W W 2的7,使g(?)< 0恒成立。-2(x2-1)-(2x-1)<0 2(x2-1)-(2x-1)<0小结：解题的关键是将看来是解关于X的不等式问题转化为以加为变量，X为参数 的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单

3、调性解题。练习：(1)若不等式6一 1 < 0对x G 1,2卜恒成立，求实数a的取值范围。(2)对于0WpW4的一切实数，不等式/ +a>4+”-3恒成立，求x的 取值范围。(答案：x>3或(-)构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数/(外=。/+汝+。>0(。0)有：(1) f(x) > 0在x e/?上恒成立<=> a > 0且 < 0；(2) /'(幻<0祗6/?上恒成立=。<0且4<0(3)当a>0时,若/(x)>0在a,上恒成立。'b fba b0

4、2a或 J2a"或 2ay(«)>o a<o若/(x) < 0在a,切上恒成立=:(4)当"0时，若/(x)>0在a,切上恒成立bA<0/(/?)<0若/(x) < 0在a,上恒成立。五< 0或<,/(«) > 0例2若关于x的二次不等式：”2+(a-i)x + a 1。的解集为火，求。的取值范围.解：由题意知，要使原不等式的解集为R,即对一切实数x原不等式都成立。a<0a <0a<Q只须<<=> ,<=> 9I A <0(67-I)2 -

5、4a(a-l)<03a2 - 2a -1 > 0a<0a >< 一<=> a< 3a的取值范围是00, 3说明：1、本题若无“三次不等式”的条件，还应考虑a = 0的情况，但对本题讲a = 0 时式子不恒成立。2、只有定义在R上的恒二次不等式才能实施判别式法：否则，易造成 失解。练习：I、已知函数y = J/nx2 6ix+m+8的定义域为R ,求实数的取值范围。(答案OWmWl)2、己知函数/(x) = x22h+2在(-l,+oo)时f(x)恒成立，求实数k的 取值范围。(答案-34人41)提示：构造一个新函数F(x) = f(x)-Z是解题

6、的关 键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。(三)、利用函数的最值分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量， 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验.类型一：“aN/(x)” 型一、(恒成立)(1) Vx g D, f(x) > 恒成立=/(x)min > m ；(2) Vxe恒成立<=> ？ > /(x)max；二、(能成立、有解)：(1 )玉 e£)J(X)N7 能成立

7、 <=>«?< /(X)在。内有解 <=>/(X)maxN”?；(2)玉e£)J(x) V，能成立<=>，？ /(x)在。内有解/(x)min ；三、(恰成立)(1)不等式/(x)A在区间O上恰成立。不等式f(x) > A的解集为。；(2)不等式/(x) <5在区间。上恰成立o不等式/(X)<8的解集为。.四、(方程有解)方程加=f(x)在某个区间上有解，只需求出/(x)在区间上的值域A使加eA»q )1, nAX例3：设/'(尤)=怆，其中aeR,如果xe(-8.1)时，/(x)恒有意义，求。的

8、取值范围。解：如果xe(-8.1)时，/(x)恒有意义o不等式1 + 2'+°4'>0对xe(-oo,l)恒+ 2*成立 <=>。>=一(2-* + 23)，xw (-co/)恒成立。4T令/ = 2-”, g(t) = -(t +12),又xw(-oo. 1),则re(,+oo)a> gQ)对re(-,+8)恒成立，又：g在r eL+o)上为减函数，g(f)M=gg)=T /一(例4：若关于的不等式V 一奴一。4一3的解集不是空集，则实数。的取值范围。解：设f(x) = x2-ax-a.则关于“的不等式/一以一。w3的解集不是空集o f

9、(x) < -3 在 R 上能成立 o /(x)lllin < -3, .2A/7即 /(x)min = -4 - W -3，解得 a W -6或a > 2例5不等式上$+左一2<0有解，求人的取值范围。 7解：不等式+左一2<0有解0%(/+1)<2能成立<=>&<，一能成立 + 12<=><(；)max = 2，所以左 (8,2)。X 4-1例6 (2008年上海)已知函数f(x)=2,一条若不等式2"(2。+1117(。20对于回1,2恒 成立，求实数m的取值范围解：本题可通过变量分离来解决.当 V

10、L2时，2,(22,-7) + w(2,-y)>0即加(2”-1)2(2"1), V22z-1>0, ：.m>-(22' +)Vre1,2, /.-(22/+1)g-17,-5故加的取值范围是-5,+8)例 7 (1990 年全国)设f(x) = lgl' + 2' +3'+- 1)' +7 ,其中 a 为实数，n n为任意给定的自然数，且“22,如果/(x)当xe(-8, 1时有意义，求a的取值范围.解：本题即为对于xe(-8, 1,有1*+2'+("一1尸+2>0恒成立.这里有三种元素交织在一起，结

11、构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得a-()*+(2)、+(q二LlS N 2),对于xe(-oo, 1恒成立. n nn构造函数g(x) = -(-)x + (-),+-+(-)v,则问题转化为求函数g(x)在 n nnxe(-oo, 1上的 值域，由 于函数 M(x) = -(-)xa = l, 2, , n-1)在 nX G(-00, 1上是单调增函数，则g(x)在(-00, 1上为单调增函数.于是有g(x)的最大值为g(l) =-g(-1), 从而可得a > (z2- 1).如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采 取合

12、理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的 配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x)的最值.类型二："/(x)<g(x)”型(1)Yx e D,f(x)> g(x)恒成立。/(x)的图象恒趣(x)的图象的上方<=>> g(X)max(XW恒成立=/"Hg。) > 0恒成立。例 8 已知 f(x) = Elg(x+l), g(x)=lg(2x+t),若当 xG 0,1时,f(x)Wg(x)恒成立， 求实数t的取值范围.解f(x)Wg(x)在xd0, 1恒成立，即而I-2x-tW0在

13、xd0, 1恒成立o 反T-2x-t在0, 1上的最大值小于或等于零.令F(x) = Jx + 1 -2x-t ,g/、1 r 1-4-y/x + l。)=尔72 g .Vxe0,1,.,.F, (x)<0,即F(x)在0, 1上单调递减，F(0)是最大值.；.f(x)<F(0)=l-tW0,即 t2L类型三："f(xJ<g(X2)”型(恒成立和能成立交叉)： Vxi w D,3x2 E,f(xl)> g(x2)成立o /(xJmin > g(x2)<=>之 g2)O之 g"),* :例9已知两个函数f(x) = Sx2 +16x-

14、Z,g(x) = 2x3 +5x2 +4x，其中k为实数。(1)对任意反-3,3,都有/(x)Wg(x)成立，求上的取值范围；(2)存在xe-3,3,使f(x)Wg(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意百,e-3,3,都有/a)Vg(X2)，求上的取值范围。解析：(1)设()=8(幻-/。) = 23-3*2-12* +%问题转化为X-3,3时，/z(x)NO恒成立，故力(xmNO。令"(x) = 6x2-6x-12=0,得x = -1或x = 2。由 (- 1) = 7 + 匕 /i(2) = -2O+Jt,A(-3) = 2 - 45,力(3) = & - 9,故 A(

15、x)min >5+k 由左一4520 = 2245。据题意：存在 xg-3,3,使/(x)Wg(x)成立=(x) = g(x)-/(x)20 在 Xe-3,3有解，故 Mx)maxN0，由 知(X)max =女+7，于是得 女27。(3)分析：它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意 xvx2 e-3,3,都有/'(X1)Wg(X2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x,x2 的取值在-3,3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：/(X)maxWg(X)min，XG -3,3,2由 g'(X)= 6x2+10x + 4 = 0,得

16、= 1期=，易得 g(x)min = g(-3) = -21 ,又/(x) = 8(尤+1)28 Z , xg-3,3.故/(x)max = /(3) = 120k,令 12。一24-21 = 22141。例 10： (2010 山东)已知函数f(x) = lnx-" +匕-1 (ae/?).X(1)当a4；时，讨论了(用的单调性；(II)设g(x) = /-2bx+4.当a =；时，若对任意斗e(0,2),存在毛式1,2,使 /(%1)> g(X2),求实数匕取值范围.解析：(1)当。40时，函数/(X)在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增；当。=,时X1=X2，力(幻

17、20恒成立，此时广(尤)40,函数，(x)在(0,+oo)单调递减；当0<。<，时，函数/(x)在(0,1)单调递减，(1,一1)单调递增，2a(l,4-oo)单调递减.a(II)当a ='时，f(x)在(0, 1)上是减函数，在(1, 2)上是增函数，4所以对任意x £(0,2),有/(3)2/(1)=万，又已知存在W g1,2,使/(X,) > g(x2)»所以一之g*2)，9£1,2,(:) 又 g(x) = (x-h)2 +4-Z>2,xel,2当人<1 时，g(x)1n=g6 = 5-2b>0与()矛盾;当力e

18、1,2时，8汉濡=g6 = 4- 20也与(X)矛盾；117当力>2时，g(x)min=g(2) = S-4b<-,b>-.Zo17综上，实数b的取值范围是,+8).872-3x + e gfxl -一% + c例11已知函数 3，'凤"2 ,若对任意x x2e-2,2,都有f(Xi)<g(X2),求 C 的范围.解 因为对任意的Xi, X?£ -2, 2,都有f(X1) Vg(X2)成立， f(X) max V g(X) ain*.f' (x)=x-2x-3,令 f' &)>0得*>3或乂<一1；

19、f' (x) VO 得TVxV3.，f(x)在-2,-1为增函数,在-1,2为减函数.3<8+cf(x)皿=3.二,c<-24.类型四："/(X1)W/(X)W/(X2)”型f(x) = 2sin(+ )»*例12：己知函数"2 5"，若对任意xCR,都有£区)£&)£区)成立，则 I XX21的最小值为.解.,对任意xGR,不等式f (xi) Wf (x) Wf (&)恒成立,.f(xj, f(xz)分别是f(x)的最小值和最大值.对于函数丫=5汨*,取得最大值和最小值的两点之间最小距离

20、是“，即半个周期.f(x) = 2sin(+ )又函数2 5的周期为4,+X2) f(xi) + f(X2)类型五： 2 ,2"例 13 (2005 湖北)在 y=2' y=log2x, y=x2, y=cosx 这四个函数中，当 OVxiVxzVl 时, f(x+x2)> f(xi) + f(x2)使12 )2恒成立的函数的个数是()A.OB. 1C.2D.3“XI +X2 : f(x，+ f(K2)解本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件 22 的函数,应是凸函数的性质，画草图即知y=log?x符合题意.f(xi)-f(x2)类型六：."X-X2>

21、q”型例14已知函数f (x)定义域为T, 1, f (1) = 1,若m, n£T, 1, m+nWO时，都有m-n ,若f(x)W/-2at+l对所有xGT, 1, adT, 1恒成立，求实数l的 取值范围.解 任取TWxiVxzWl,f(x0-f(x2)= faD-fg% l x 2)则xl-x2f(xi)-f(x2)由已知 xX2 >o,又 Xi-X2<0,.'.f (xi)-f (x2) <0,即f(x)在T, 1上为增函数.:f =1,.-.xe -1,1,恒有二要使 f(x)Wt?-2at+l 对所有 xC-l, 1, ad -1,1恒成立，即

22、要/-2at+lel 恒 成立，故tJ2at20恒成立.令 g(令=t?-2at,只须 g(T)>0 且 g(l) 20,解得tW-2或t=0或t22.f(xD-f(x2)fg-)评注形如不等式“xX2 >0”或“ xX2 <0”恒成立，实际上是函 数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.类型七：“|f(Xi)Vf(X2)|Vt(t为常数)”型L例 15 已知函数 f (x)=-x"+2x' 则对任意 ti,七£ -2,2 (ti<t2)都有 f (xj-f (xz) W.恒成立，当且仅当t尸, tz=时取等

23、号.解因为解(xj-f(xj W|f(x)kf(x)：U|恒成立,由f(x) = -x4 + 2x3, xe_2)2,原会坦f(x)】max =式令=磊易求得216 ,=%-与=-京 216 .A |f(x,)-f(x2) 12.类型八：“|f(xJ-f(X2)|W|xX2|” 型走例 16 已知函数 f (x)=x、'+ax+b,对于 Xi,X2G(0, 3 ) (xiWxz)时总有 |f (x)-f(X2) I V |xxz|成立,求实数a的范围.解由 f (x)=xs+ax+b.得 f' (x)=3x2+a,当 xe(0, 3 )时，a<f' (x)<

24、l+a.i f(Xl)-f (x2) I < X1-X21 ,I f(xi)-f(x2)<xX2 ,.11+aWl,，iWaWO.评注由导数的几何意义知道，函数y=f(x)图像上任意两点P(xi,yJ, Q(X2,y?)连线V - Y2 - yi的斜率 X2-X1 (xiWxl的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如I f(Xi)-f(X2) I这mlxi-Xzl或If(xi)-可以I m|x-X2| (m >0)型的不等式恒成立问题.(四)数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少宜观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合 思

25、想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不 等式有着密切的联系，对一些不能把数放在一侧的，可以利用构造对应两个函数的图 象法求解。1)/(X)> g(x) O函数/(X)图象恒在函数g(x)图象上方；2) /(x)<g(x)o函数/(X)图象恒在函数g(x)图象下上方。例17已知1, /(X)= X2 一优,当%(-1,1)吐有/。)<3恒成立,求实数 的取值范围。解析：由/(力=2疝<L x2-<ax,构造出两个函数并在同一直角坐22标系中作出它们的图象，如果两个函数分别在x = l和x = -l处相交，则由 12-1 =。及(一1

26、尸- = a-'得到a分别等于2和0. 5,并作出函数y = 2*及旷=(-)1 的图象，所以，要想使函数V 一,(优在区间中恒成立，只须y = 2,在区间x e (- 1,1)对应的图象在y = V在区间x e (-1,1)对应图象的上面即可。当 al时，只有aW2才能保证，而0<。<1时，只有才可以，所以2aeil)U(l,2o2例 18 设y(x) = J-/ -4x , g(x) =-x + l-。，若恒有f(x) W g(x)成立,求实数a的取值范围.vJ 分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x)的图象/如图所示，/(x)的图象是半圆( + 2产+丁 =4(

27、yN0)/g(x)的图象是平行的直线系4x-3y + 3-3a = 0。要使f(x) 4 g(x)恒成立，/ “°则圆心(-2,0)到直线4x - 3y + 3 - 3a = 0的距离|-8 + 3-3a|满足 d = J>2解得aW-5或aN，(舍去)3练习：若对任意xeR,不等式国2以恒成立，求实数。的取值范围。练习：1、已知二次函数满足/(0) = 1,而且/(x+l)-/(x) = 2x,请解决下列问题(1) 求二次函数的解析式。/a)=x2-x+i(2) 若/(x)>2x + m在区间上恒成立，求机的取值范围。(一8,-1)(3) 若/(x) = 2x+m在区间1,1上恒成立，求机的取值范围。1,5(4) 若/(x) >