2022年高考数学专题--17 平面解析几何

1、专题17平面解析几何3多项选择题1. （2021秋潍坊期末）P是椭圆E + ? = l上一点，J 6为其左右焦点，且鸟的面积为3,那 么以下说法正确的选项是（）A.尸点纵坐标为3B. 4利吟C. 耳P&的周长为4（夜+ 1）D. 耳尸鸟的内切圆半径为【分析】由椭圆方程求得a，h, c的值，在焦点三角形中由余弦定理、：:角形面积公式及椭圆定义求得 tanZZ-PF,然后逐一核对四个选项得答案.22【解答】解：.椭圆土+二=1, 84/. a = 2>/2， 6 = 2, c = 2.又为椭圆上一点，f、行为左右焦点，设马=e,：FtP + PF2=2a = 4y/2, FtF2=4

2、, .I FxF2 |2=(| PFt + PF21), -2|PF2-2FtP PF2 0= 32-3FxPPF2 I cos (9 = 16.得| 片PH P6 | cosd =彳.一 1Q又一 | 耳尸 HP玛 |sin® = 3, .tan6 = -.28对于A,由等面积法，得;x4x|y"=3,那么昨=±|,故A错误;对于 8 .由 tan夕=(<，W Z.FPF2 < > 故 3 借误；对于C, 耳月行的周长为2“ +2c = 4(& + 1),故C正确：对于。.设A白尸居的内切圆半径为r ,那么L（48 + 4）r = 3,

3、得r =（0-l）,故。正确. -22=1（。>0/>0）的左、右焦点，A为左顶点，户为双应选：CD.2. （2021秋烟台期末）E，居分别是双曲线F- a 0曲线右支上一点，假设|明|=2|”|且APFiK的最小内角为30。，那么（）A.双曲线的离心率力B.双曲线的渐近线方程为y = ±"cC. ZPAF2 =45°D.直线x + 2y-2 = 0与双曲线有两个公共点【分析】利用条件画出图形，求解双曲线的离心率以及渐近线方程，判断直线与双曲线的位置关系，推出 选项即可.【解答】解：片，F,分别是双曲线5-马=1（。0力0）的左、右焦点.，A为左顶点，

4、P为双曲线右支k cr b一点，假设|尸"=2|”|且尸片鸟的最小内角为30。，如图，:角形尸£入是直的一角形，并且方2=2c tan 30° ,可得：e = V3 » 所以 A 正确；a=/3， = y/2 可得a a渐近线方程：y = ±y/2x,所以8正确：直线x+2y-2 = 0与双曲线的渐近线不平行，所以直线与双曲线由2个交点，所以。正确；应选：ABD.3. （2021秋淮安期末）与直线x+y-& = 0仅有一个公共点的曲线是（）A. x2 + y2 = B. + y2 =1 C. x2-y2=l D. / =x【分析】判断直

5、线与网，椭圆，双曲线已经抛物线的交点个数，即可得到选项.【解答】解：直线x + y-J? = 0与丁 + 丁=1相切，所以只有一个公共点；所以A正确；内线x+y-& = 0经过椭陨|三+ y2=l的右顶点，经过（0,夜），所以立线与椭圆工+），2=1夕2个交点，所 22以5不正确. 直线x+y-亚=0平行于双曲线的渐近线，所以直线与双面线只有个交点，所以C正确;直线x + y -&=0与抛物线y，= 有2个交点，所以。不正确；应选：AC.4. (2021秋德州期末)抛物线C:y2=2px(p>()的焦点为尸，直线的斜率为6且经过点F ,直线/与抛 物线C交于点A、B两点(

6、点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点。，假设|4f|=8,那么以下结论正 确的选项是( )A. p = 4B. DF = FAC. BD=2BF D. |BF|=4【分析】山题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联、'/：，求得A的坐标，再由焦半径公式求p,进 一步求出|BF|,的值，逐一判断四个选项得答案.【解答】解：如图，F(1, 0),直线/的斜率为那么直线方程为y = 6(x-5)，y2=2px联立 广 o，得12丁-20庶+3P2=0.y = V3(x-y)解得：XA= P - xB = P . 26由 |AF|=|p + 2 = 2p = 8,得 p = 4.抛物线方程

7、为V=8x.1 79siXb = p =，那么 | BF |= F 2 =;6333| BD= 'BF' ， /J BD=2BF,cos 60°|B£)| + |BF|=- + = 8,那么 F 为 中点. 3 3运算结论正确的选项是A, B. C.应选：ABC.5. (2021秋日照期末)过抛物线y2 =4x的焦点尸作直线交抛物线于A, 8两点，何为线段4?的中点，那么()A.以线段4?为直径的圆与直线y轴相离B.以线段3M为直径的圆与y轴相切C.当标=2两寸,4用=；D. |AB|的最小值为4【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B, M在准线上的射

8、影为A', B', M',由抛物线的定义 和中位线定理.、直线和圆的位置关系，即可判断A；当直线AB的斜率不存在时，显然成工 当宜线AB的斜率存在时，设为I,求得A, B, M的横坐标，山 直线和圆的位置关系可判断B ；以尸为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为0 =,设A(月，0), B(p2,%+ 6),1 - cos 0求得|A用，|尸B|,可判断C；考虑直线垂直于x轴，取得最小值，可判断【解答】解：丫2=4、的焦点尸(1,0),准线方程为x = T，设A, B, M在准线上的射影为A, B', M',由 |A尸|=|A4'|,

9、IBFHBB'I-AA' + BB') = AF + FB) = AB ,可得线段4?为直径的圆与准线相切，与直线y轴相交，故4错：当直线AB的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与y轴相切；当直线的斜率存在且不为0 ,可设直线4?的方程为y = kx-k ,联立y2 ，可得 二 f-（2 公+4）+ 二=0,设4须，yj, B(x2 , %)，可得%+%=2 + 5，%七=1，设x=3 + 2&, x2 = 3-2/2 ,可得M的横坐标为1 +4，Affi的中点的横坐标为，(1 +4+与)，BM=sJ + k2 k2 kk当A = 1时，MB的中点的横坐标为四，

10、5M8|=2,显然以线段BM为直彳仝的圆与y轴相交，故B错;以F为极点，x轴的正半轴为极釉的抛物线的极坐标方程为2=-, l-cos6>一，22设40|，0), 8(02，%+ e),=-p2 =- = -1 - cos 01 -cos( + c/) 1 + COS t)可得 1 + L =>8S"+1 + C°S" = 1 ,又 |4/|=2|用| ,可得 |4用=3, |FB|=-,那么 |4F| BF 222MB |=| AF| + |FB|=|,故 C 正确；显然当直线AB垂直于x轴，可得| A81取得最小值4,故。正确.应选：CD. (202

11、1秋佛山期末)在平面直角坐标系中，曲线C上任意点。与两个定点4-2,0)和点8(2,0)连线的斜率之和等于2,那么关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆V + y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2【分析】根据直线的斜率公式求得P点轨迹方程，即可判断结论.【解答】解：设尸(x,y),那么即4+即b=2，即+二一=2, (xw±2),整理得x?-冲=4, (xH±2),x+2 x2所以曲线。是中心对称图形，不是轴对称图形，故C正确，A错误, 由f 一刊=4>2 = / + 9，所以曲线c上

12、所有的点都在圆f=2外，故B正确;由V-孙=4可知，xeR且xwO, xh±2，故。错误，应选：BC.27 . （2021秋南通期末）双曲线C:/-Y = L那么（）A.双曲线C的离心率等于半焦距的长8 .双曲线丁- = 1与双曲线c有相同的渐近线C.双曲线C的一条准线被圆x2+y2=l截得的弦长为竽D.直线y = H +伙女bsR）与双曲线C的公共点个数只可能为0, 1, 2【分析】求出双曲线的离心率以及渐近线方程，通过直线与圆的位置关系以及直线与双曲线的位置关系判 断选项的正误即可.【解答】解：双曲线C:£工=1,可得a = l, b = 2 , c = x5 .4所以

13、双曲线的离心率为：e = x/5=c,所以A正确；f1双曲线的渐近线方程：y = i2x,双曲线y2- = l的渐近线方程y = ±5x,所以5不正确；双曲线C的一条准线x = ±9被圆/ + 丁=1截得的弦长为：= 竽，所以C正确；直线y = +仇Z,bwR）,点6 = 0时，直线与双曲线的交点可能是0个，也可能是2个，当直线与双曲线的 渐近线平行时，直线与双曲线的交点是1个，所以直线与双曲线C的公共点个数只可能为0, 1, 2,正确； 应选：ACD.8. （2021秋徐州期末）假设双曲线C的一个焦点/（5,0）,且渐近线方程为y = ±gx,那么以下结论正确的

14、 选项是（）A. C的方程为工-=1B. C的离心率为*9 164C.焦点到渐近线的距离为3D.两准线间的距离为更5【分析】利用双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程，然后双曲线方程以及离心率，求出力，两条准线之间的 距离，判断选项即可.【解答】解：双曲线C的一个焦点"5,0）,且渐近线方程为丫=±3"J得c = 5 .焦点坐标在x轴上, 所以2 = ± 因为c = 5,所以Z> = 4, a=3,所以C的方程为三-汇=1, A正确；a 39 16离心率为e = 2,所以8不正确：b = 4,所以焦点到渐近线的距离为3.不止确；3两准线间的距离为：2巴=

15、电，所以。正确： c 5应选：AD.9. （2021秋东莞市期末）我们通常称离心率为叵&的椭圆为“黄金椭圆”.如图，椭圆 222C：f + 4 = l（a>b>0） , A，A, B, B,为顶点，耳，K为焦点，P为椭圆上一点，满足以下条件能使a b'椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A. IAKI，玛I，I玛41为等比数列B. 444 =9°。C. PA；_Lx轴，且尸O44d.四边形A&44的内切圆过焦点耳，f2【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可.【解答】解：A中假设成等比数列那么（2c）2=（a-c）（a-c）,即2c

16、 = a-c或2c = ca （含），解得：£ =1w苴二1,所以A不正确； a 328假设=90° ,那么由射影定理可得：OB； = Ffi.OA,即b2 =的，所以c? +ac-/ =0 ,即/ +e-l = 0,ee（0,l）,解得6 =叵口；所以8正确； 2b2h2- hC假设PG1.X轴，所以p（c,L）,又PO/A4 ,那么斜率相等，所以旦=2,即b = c,所以 a-c -ae = 3 =：=立,所以C不正确：a Jc2+c2 2D,因为四边形为菱形，假设命题正确那么内切圆的圆心为原点，山圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于c,因为直线人与的方程为：- + =

17、 1 ,即fex+ay-曲=0,所以原点到直线的距离d=, a byja2 +h2由题意知：帅：=c，又从二。？整理得：a2 (a2 c2 ) = c2 (2a2 c2) , e4 3e2 +1=0, e2 e(0,l) »J3 一解得e2=WL 2所以e =后沿=痔4,所以。正确，应选：BD.尸IO F2 2X,0- C2021秋.连云港期末)设P是椭圆上任意一点，斗工是椭圆C的左、右焦点，那么( )A. PFx + PF2 = 2>/2B. -2<PFt-PF2<2C.掇P耳玛2D.魄眄中回忆1【分析】通过椭圆方程，求出* b. c,然后利用椭圆的定义转化求解判

18、断选项的正误即可.【解答】解：椭圆C:' + y2=l,可得a = 0, b = c = . P是椭圆C: 土+ y2 =1匕任意-点，Ft , F?是 椭圆C的左、右焦点，所以2耳+尸6=20,正确：-2领尸耳-尸62,所以5错误；PF、PF2 =陋+s加0 yl(y/2cos.0+l)2 +sin20 = <J2 + cos'0-242cos0 12 + a>/0+2点cos。= J(2 + es»J _8m= 2-cos20el , 2 , M 以 C正确；El 为 PF；.PF"尸耳. H PF cosPg = (&cose +1

19、,sin 6>)&cose - 1,sin 6)=2cos2 -1 + sin2 = cos2 g0 , 1,所以 O 正确;应选：ACD.11. （2021秋惠州期末）假设方程上+ £ = 1所表示的曲线为C,那么下面四个选项中错误的选项是（ 3-t t-1）A.假设C为椭圆，那么l<f<3B.假设C是双曲线，那么其离心率有l<e<&C.假设C为双曲线，那么r>3或D.假设C为椭圆，且长轴在y轴上，那么l<r<2【分析】举例说明A错误；由C为双曲线求得f的范围，分类求得离心率说明B正确；由C为双曲线求得f的范围得C正确

20、：由。为椭圆，且长轴在y轴上求得，的范围说明。错误.f I?2【解答】解：假设，=2,方程工+工=1即为e + y2 = i,它表示圆，故4错.3-t t-对于8,假设。为双曲线，那么（3-即，<1或，>3.2 2当f<l时，那么方程可变形为上匚=1 ,它表示焦点在X轴上的双曲线.3 f 1 /离心率 e = Jl + 芸=/+ * < &, 1 < e < 0 ；22当r>3时，那么方程可变形为六=1,它表示焦点在y轴上的双曲线，离心率e = J1+合=J +皇；2 = ,2 +言< 61 < e<啦.故8正确.对于C,由8

21、可知正确；对于。，假设方程 + 3 = 1表示焦点在y轴上的椭圆，那么/一1>3-/>0,得2<r<3.故。错.应选：AD.12 . （2021秋烟台期末）抛物线C:y?=4x的焦点为产、准线为/,过点尸的直线与抛物线交于两点2（占，j,），Q（x2, %），点P在/上的射影为6,那么（）A.假设须十七=6.那么|。|=8B.以尸Q为直径的圆与准线/相切C.设Af（O,l）,那么| + |2川.尤D.过点M(O,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条【分析】利用抛物线的性质，结合抛物线的方程，得出结论.【解答】解：假设直线的斜率存在，设丫 =k1-1),由口,

22、联立解方程组炉f _(2k2 +4)x +公=0 , y- =4x2k2+4A,假设芯 + 七=6,那么二=1,故Z = 1 或一 1, | PQ |= 71+17(-+)2-4 = 72/2 = 8 ,故 A 正确:取尸0点中点/，M在/上的投影为N,。在/上的投影为Q',根据抛物线的定义，IQO'RM，M , N为梯形的中点，故|MV|=g(|P| + |QQ'|) = g|PQ|，故8成立；对于C, M(0,l) , PM + PPt=MP + PF.iMF=y2 ,过M(0,l)相切的宜线有2条,与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的立线行-条，所以最多有三条.

23、应选：ABC.LC13 .双曲线C过点(3,&)且渐近线为y = 土苧x,那么以下结论正确的选项是()A. C的方程为-/ =13B. C的离心率为百C.曲线y = e-_i经过c的一个焦点D,直线x-0y-l = O与C有两个公共点【分析】根据条件可求出双曲线C的方程，再逐一排除即可.【解答】解：设双曲线C的方程为W-¥ = i,根据条件可知2 =所以方程可化为£-¥ = 1,a2 b2a 33b2 b2将点(3,0)代入得从=1,所以°2=3,所以双曲线C的方程为三-丁=1 ,故A对；3离心率e = £a,故8错;a2双曲线C的焦点

24、为(2,0), (-2,0),将x = 2代入得y = e°-l = 0 ,所以C对:2=.Sy ，整理得产20' + 2 = 0,那么4=88 = 0,故只有一个公共点，故。错,x - 41y-1 = 0应选：AC.14.(2021秋广陵区校级月考)点F是抛物线丁 =2*(>0)的焦点，, 8是经过点F的弦且ABLCD,旬的斜率为3且A>0, C, A两点在x轴上方.那么以下结论中移动成立的是()3A. OCOD =p AB |= G. J(y + " - 今跖=2/(1 + >) = 2P4+ 喘 ) =磊， 4B.四边形ACB£&g

25、t;面积最小值为16P2C.AB + CD2D.假设| A".|BF|=4p2,那么直线CD的斜率为【分析】设直线AB的方程：x = my+ <设直线AB的倾斜角为。("0),设4(xy), B(x, , y2),利用韦达定理可得| AB|=% , sinO设 C(x), %), D(x4 , %)，同理可得 y1M=-p2,.=二，CD= 2p 4cosOA, ill OC*OD =±, + 为y4 即可判定；B.四边形ACBD面积S = ' CD，AB22sirr0.cos-e sin2 26,即可判定;111sirfOcos20 1An业,公C

26、.由+=+=，即可判定;ABCD 2p 2p2p2D,IAF H BF |= (x, + -)(x2 +-) = xlx2+-(xl+x2) + - = 4p2 , nnj = J5, 3 = -.那么直线 CD 的倾斜角 22246为生，即可判定【解答】解：如卜图：F(1. 0),设直线/记的方程：x = my + .设直线A5的倾斜角为。(。*0).设 A(x( , y), B(x2 , y2).联。直线AB与抛物线的方程整理得：y2-2pmy-p2=O.222wp"书端卷=? am.设 C（X；,，3），”（Xq，”），同理可得 y：” =-"，X,x4=-. |CD

27、|=-. 4cos'O20 2对于4, OCO£) =刍Z+ y3y4 =q一/?2 =-/-,故正确:对于8,四边形ACBO面积S = 'C£）.A8 = 一竺=_，故其最小值为8P2,故错:22sin2O»cos20 sin2 20对于C,对于。，1 sitvO cos201=4AB CD 2p 2p=»故正确;2PIAFH BF|= (x + )(x2 + 9 =中2 +§(X +七)+ ? = 42 ,那么-(xi +x2) = =>+%2=7/7.=2 pm2 = 6p , => /n = >/3 ,

28、 (tn > 0)» 8 =.6那么直线CD的倾斜角为生，其斜率为-6.315. （2021秋思明区校级月考）A48C为等腰直角三角形，其顶点为A , B, C,假设圆锥曲线E以A, B焦点，并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是（）A. 0 + 1B. C. &D. 72-12【分析】判断三角形的直角顶点，利用圆锥曲线的定义转化求解即可.【解答】解：（i） AA8c为等腰直角三角形，如果C = 2,圆锥曲线E为椭圆，6 =至="=变, 22a CA + CB 2（11） AABC为等腰直角二角形，如果C =工，A或8为直角，圆锥曲线E为椭圆， 4e = -

29、 AB -=-jJ = >/2-l .CA + CB V2 + 1（iii ） MBC为等:腰I'L 1（角形，如果C =工，A或B为直角，恻锥曲线为双曲线，= x/2 + l.CA-CBAB应选：ABD.16. （2021秋葫芦岛月考）在同一直角坐标系中，直线尸内+ /与圆（x + a）2 +2=/的位置不可能是（【分析】判的直线与圆的位置关系，制的曲线对应的图形即可.【解答】解：圆（x +a）? + y?=的可知a H 0,圆的圆心（-a,0）半径为|a|,直线y = ar + /,的斜率为a,在y轴上的焦距为标> 0 ,所以在同一直角坐标系中，直线y =以+储与圆（a

30、- + a）2 + y2=a2的位置不川能是ABD.应选：ABD.17. （2021秋葫芦岛月考）椭圆C：E + M> = 1的右焦点为尸，点P是椭圆C上的动点，那么IP用的值可能16 12是（ ）A. 1B. 3C. 4D. 8【分析】求出椭圆的a, c,利用椭圆的性质推出结果即可. 22【解答】解：椭圆C:t +二=1，可得。=4, = 2, c = 2 »16 1222所以椭圆。:土 +匕=1的右焦点为尸，点尸是椭圆。上的动点，16 12那么2 =。一2刑尸用a + c = 6, |尸产|的值可能是3, 4.应选：BC.18. （2021秋建邺区校级期中）数学中有许多形状

31、优美、寓意美好的曲线，曲线。:/ + 丫2=1+|",|就是其中之一.给出以下四个结论，其中正确的选项是()A.曲线C关于坐标原点对称B.曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)C.曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1D.曲线C所围成的区域的面积小于4【分析】将x换成-x, y换成一门方程不变，所以图形关于(0,0)对称：再结合根本不等式就可求解.【解答】解：将x换成-X, y换成-y,方程不变，所以图形关(0,0)对称；故A正确；x2 + y2 = 1+1 xy | ® | xy' |=>| 1,要使得x, y均为整数，那么x, y只能为0,

32、1, -1.那么可得整点有8 个：(±1,±1), (0,±1), (±1,0).故 3 错误；因为x2+y2=i+|D|.j ,曲线C上任意点到原点的距离的最小值为1,故ClE确：令xw(0,l), y>0 可得 y，-Jty + x?-1 = 0,记函数/(y) = y2-孙+ 9-1,可得 =43/>0,所以函数有两个零点，乂因为/(0)<0, f (1) =x2-x<0,故两个零点一个小于0,一个大于I,即曲线C上横坐标xe(0,1)时 y >1 ；同理ye(0,1)时，x> 1 ；即第一象限局部图象应在y =

33、 l , x = l与坐标轴围成的正方形外部，根据图象的时称性"I得而枳应大了4, 故。错误.应选：AC.2219. (2021秋海淀区校级期中)点尸是双曲线E:七-匕=1的右支上一点，Ft ,居为双曲线E的左、右焦 16 9点，尸耳鸟的面积为20,那么以下说法正确的有( )A.点P的横坐标为竺B. 尸耳工的周长为当C.6小于2D. 尸耳鸟的内切圆半径为3【分析】设片2人的内心为/，连接/P，阴，/，求得双曲线的。，6, c ,不妨设，m>0, >0, 运用三角形的面积公式求得尸的坐标，运用两冉.线的火角公式可得tanN耳2玛，由两点的即离公式，N得 P”"的周

34、氏，设鸟的内切圆半径为r,运用三角形的面积公式和等枳法，即可计算r.【解答】解：设的内心为/,连接/P, /£, if2,22双曲线 £*:- = 1 的 a = 4, b = 3, c = 5,16 9不妨设 P（z,），机>0 , /?>0 *由APR用的面积为20,可得!|耳玛|" = 5 = 5 = 20，即 =4,由丝1-3 = 1,可得帆=型，故A正确：16 9370由尸（1，4）,且耳（一5,0）,6（5,0）,可得攵"= kpF = , 对 35"512_22那么tan/怵=表*=瑞。,我，5x35那么故C正确；由邛| + |呷=46 +5+ ,16 + = +与,那么 /V；6的周长为三+ 10 =三,故8正确；设 PFM的内切圆半径为r ,可得gr（|咫| + | PR | + |耳人|） = /耳后|M， 可得史r = 40,解得r = 3,故。正确.32应选：ABCD.20. （2021秋常熟市校级月考）如图，椭圆G：三+ y2=l,过抛物线G：W=4