2022年高考二轮复习解三角形专题三（取值范围、最值问题）

1、2022年高考二轮复习解三角形专题三(取值范围、最值问题)1 .内角和定理：A+B+C=。2 .正弦定理：o3 .余弦定理：az=bz+c2-2bccosA； bz=a2+cz-2accosB； cz=az+bz-2abcosC变形：cosA=; cosB=; cosC=.注：在用余弦定理时，一般认角不认边。4 .面积公式：S= absinC= bcsinA= acsinB.222注：在用面积公式时，一般认角不认边。5 .利用正弦定理可以解决：(1)已知两角和任一边,求其他.(2)已知任意两边与其中一边的独值, 求其他.6 .利用余弦定理可以解决：(1)已知两边和任一角,求其他.(2)已知三边

2、，求其他.1,已知 AABC44,角 A, B , C 所对的边分别为a , h , c ,且2(acosC + ccosA)cosC + b = 0.(I )求角C的大小;(II )求sit? A + sin。B的取值范围.2.在AABC中，a , b, c分别为角A , B,。的对边，且"-c = 2acosC.(1)求 A;(2)若AA8C为锐角三角形，c = 2,求的取值范围.3 . 已知AABC的内角A , Bc的对边分别为a sin A Z?sinB csinC4c cos A Hcos Asin B(1)求A；(2)若求生心的取值范围. c4 .在AABC中，内角A,

3、B , C所对的边分别 , 2C 2 A、/ 人、3Cl cos F ccos )( + c b) dC (1)求角8的大小；(2)若6 = 2&c = x(x>0),当AABC仅有一解时，写出x的范围，并求a-c的取值范围.5 .已知函数/(_r) = gcos*x-sinxcosx-；sin*x.(J )求/(x)的最小正周期及单调减区间；(II)在AABC中，4, B, C所对的边分别为a, b, c ,若/(4) = -亚，BC边上的 22中线A£» = >,求层+M的最大值.6 .锐角AA8C内角A, B, C的时边分别为a , b, c.已知

4、力a = 2c-cosA.(1)求角C;(2)若a + b = 4,求边c的取值范围.7 .在AABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c , csin(A +马=巴也 62(1)求C；(2)若AABC的面积为Gc,求c的最小值.8 .已知AA8C的三个内角A, B, C对应的边分别为a, h , c ,= ccosB+ bsin C .(1)求角C的大小；(2)如图，设尸为 AABC 内一点，PA = , PB = 2,且 NAP3 + NAC3 =万，求 AC+BC 的 最大值.9 . A48c的三个内角A , B, C的对边分别是a, h, c,已知bsin&ucsin

5、B .2(1)求C:(2)若c = l,求a-'b的取值范围. 210 .在 AABC 中，己知角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c , tanC= sin/1 + sinfi . cos A + cos B(1)求角c：(2)若c = 2,求a + b的取值范围.2 sin A>/3 sine11 .在锐角AA8C中，角A, B , C的对边分别为a, h , c ,若cosB +0sinB = 2 ,cos B cos c + h c(1)求角5的大小和边长人的值;(2)求A4BC面积的取值范围.12 .® /?sin4 + asin/? = =csin

6、 Asin£? , /?sin C-/3ccos AcosC = >/3acos2 C ， V3(a-O)sin A + 6sin3 = csinC ,这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知锐角AABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，c = 2, .(1)求角C;(2)求” 的取值范围.2022年高考二轮复习解三角形专题三(取值范围、最值问题)解析1 .已知 AABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,且2(acosC + ccosA)cosC + b = 0.(I)求角C的大小;(II )求si/A + sin? 8的取值

7、范围.解：(/)因为 2(acosC + ccosA)cosC + b = 0,又 67 cos C + ccos A = h ,所以 2AcosC + b = 0,故cosC =, 2由C为三角形的内角得。=生3()由(/)知 A+B =工，.2 4 2n 1-COS2A+1-COS2B 11 z r. cn、sin A + sm B = 1 (cos 2A + cos 2B),22.1- .127V - .= 1-cos2A- -cos(-2A), 1 cos 2A +-cos 2A x sin 2A ,1 .71=1sin(2A + -), 26因为0v A<工， 3r-r- K|

8、 7T _ . 7T 57r 所以一v2A + v ,666所以;<sin(2A + J 1,所以l-sin(2A +马 ,262故sir? 4 +sin"的取值范围；,1).2.在AABC中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，且%-c = 2acosC.(1)求A； (2)若AABC为锐角三角形，c = 2,求b的取值范围.解：(1) ,2b-c = 2acosC,.A2 _ 2:.2h-c = 2ax-, 化为：b2 +c2 -cr =bc ,2abbe2bc（2）因为AABC是锐角三角形，A = 3所以 C = 3-5e（0,工），且 8e（0,三），4-L 1

9、 c 7T故一<c<一, 62由正弦定理可得h = 上地0 = 2'叫= Gc°sC + sinC = 1 + _>/3_ ,sin C sin Csin Ctan C因为乙<C工，62所以 tan C > , 31厂故Ov<V3 ,tanCA所以tanC故h的取值范围为(1,4).3 .已知AABC的内角A, B , C的对边分别为。asin A /?sin B csin C 八cosAsin B4ccos Ad= 0 (1)求A；(2)若a>c,求上的取值范围. c解：(1)由条件与正弦定理，可得4ccosA+'-&quo

10、t; =0, bcosA/ b2 c2 - a2 = 2Z7ccos A ,4c*cos A-2/?ccos AbcosA=0».2cos/4 I =0 ,cos A = »2,. 3 + sin(生-C)(2)a + 0 _ sin A + sin 8 _ 23sinCsinCG 2c15/31 + cosC1+ 2cos2=I= 122 sinC22G.e C2sin-cos 一 221 y/31=i-,2 2 , Ctan 2Cn-a>c 9 .A>Cf g(0,) > 26C G . a + b tan g (0, ) >>2»

11、;23 c.故史吆的取值范围为(2,+oo). c4 .在AABC中，内角A, B , C所对的边分别/<若+ CCOS2 令 3 + i) = %.(1)求角8的大小；若8= 2G,c = x(x>0),当AABC仅有一解时，写出x的范围，并求a-c的取值范围.,ca解：(1)因为(acos? + CCOS?)(4 + o-与 22(1 + cos C) c(l + cos A)=(+)(a + c a + c +3cosc+ ccosA),、(a + c - b)_ (a + c + b)(a + c - 6)2a? + c? 一 人 + 2ac=2' =ac， =&g

12、t;a2 +c2 -b2 =ac，=> cos B =, 2=>B = -.3(2)法一：由正弦定理，得=一: sin C sin B则 sinC = ±,8 =。43做正弦曲线如图所示贝IJ当0A48C仅有一解因为0<C笠U-4sin(C-)e0,2>/3)所以-2J0,25/3).卜.已知函数/（X）sincosx法二：由正弦定理，如图，当。= csin8或A当0<%,26时=4或0<%, 时，AABC仅有一解所以< sin(C) 0(I )求/(x)的最小正周期及单调减区间；(H)在A4BC中，A, B, C所对的边分别为a, h, c

13、 ,若/(4)=-4，8c边上的中线= 求ZZ+d的最大值.解：(1)函数/(x)=；cos4x-sinxcosx-gsin4x ='(cos4x-sin4x)-：sin2x=(cos2 x -sin2 x)(cos2 x4-sin2 x)gsin2x = (cos2 x sin2 x) sin2x1 / c . r、/2兀、=(cos 2x - sin 2x) = cos(2x + ),所以最小正周期为7 ="，令2工+工£24乃，71 + 2k/r» A:eZ »解得xe伙兀一代，攵万+艺次£Z , 488所以函数的单调减区间为内乃

14、-7，47r + ,ZeZ,2 2) v /(-) = cos(A+ -) = - 9cos(A m) = 1 ,A =,/ AB + AC = 2AD , /. h2 +c2 + 2bccos =4x2 » 4/. b2 +c2 - 41hc = 8 ,b2+c2 -8 = &g, -J2b +-, 2(1-)(b2 +c2, 8 .b2 4-c2, -= = 8(24-5/2),当且仅当 b = c时，取等号.，22-V2此时从+d的最大值为8(2 +夜).6.锐角AABC内角A, B , C的对边分别为a, b, c.已知%a = 2ccos A.(1)求角C：(2)若

15、a + 6 = 4,求边c的取值范围.解：(1)因为2Z?-a = 2c-cosA,由正弦定理可得2sin8-sinA = 2sinCcosA,所以 2sin乃一(A + C) sin A = 2sinCcos A,即 2sin(A + C) sin A = 2sin Ceos A展开可得：2sin Acos C + 2sin Ceos A sin A = 2sin Ceos A得到：2sinAcosC-sinA = 0因为sinAwO,所以cosC = '，。是锐角， 2所以C =工， 3(2) 由正弦定理. a - = = - =c , 可得。= csin A , b = -c s

16、in Bsin A sinfi sinC v3 333T所以友c.sinA +亚csin8 = 4, Wc =垣33sin A + sin B因为锐角AABC,所以0。=二一4工，0 A-,得到三A工， 32262sin A + sin 8 = sin A + sin(- - A) = -sin A 4-cos A =百sin(A + ) 3226因为王A生,所以工A +至生，sin(A + -)e(,1, 6236362所以 C =毡e 2,).sin A + sin B 37 .在 AABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, csin(A+ -) =.62(1)求C；

17、 (2)若AABC的面积为Gc,求c的最小值.解：(1)因为 csin(A + ) = " + ", 62所以 c(sin A + 'cosA)=,由正弦定理可得 sinC(V5sin A + cosA) = sin A + sinB ,即 x/5 sin Csin A + sin Ccos A = sin A + sin( A + C),可得 6sin Csin A = sin A + sin Acos C，又 sin A wO,所以 6sinC = l+cosC,即 2sin(C-a=1,可得 sin(C-?) = g，XOC，可得c = X3(2)由题意可得4

18、力sin2=百。，即)= 4c,由余弦定理可得cosC =lab匕l i、i 1 2ab c8c c所以一.；=,2 8c 8c3a2 +h2 -c2 -r殂 1 a2 +b2 -c2 ,可得_ =8c解得c.4, c,0,(舍去)，当且仅当a =。= 4时等号成立,所以c的最小值为4.8 .已知AA8C的三个内角A, B, C对应的边分别为，b, c , 岛 = gccos8 + sinC .(1)求角。的大小；(2)如图，设 P为 AABC 内一点，Q4 = l, PB = 2,且 NAP3 + NACB = 4,求 AC+3C 的 最大值.解(1) v /3a = /3ccos B 4-

19、 Z?sin C .y3sin A = >/3sinCcos + sinBsinC./. 6 sin(B + C) = >/3sinCcos B + sin Z?sinC .整理得 Gsin 3cosc = sin BsinC .易知sinB>0,tanC = V3 ,又。为三角形内角,:.C = -.3(2)由(1)ZAPB + ZACB = tt,得 ZAPB 二把,3在 A/沙中，由余弦定理，AB2 =AP2 + PB2 -2PA-PBcosZAPB = + 4-2xx2x(-) = l ,又在AABC中，(AC +AB2 = AC2 + BC' -2AC- B

20、CcosZACB = (AC + BC)2 -3AC- BC.(AC+ BC)2-3x()2 = -24a + «已知 bsin= csin B 2:.AC+BC 277 ,当且仅当AC = BC时取等“=”所以AC+BC的最大值为2".9 . AA8C的三个内角A, B, C的对边分别是a, b, (1)求C；(2)若c = l,求的取值范围. 2解：(1)因为力sin=csin B ,4 .i_ »由正弦定理 sin Bsin= sin Csin B ,2因为 sin B>0,所以sin= sinC = sin(A+ B),所 以 sin() = sin

21、 C = 2 sincos, 2 222即 cos = 2sincos,222r由C为三角形内角得cos wO , 2故 sinJL2 2(2)由(1) C =乙，c = 1, 3由正弦定理得2/? = 4 = 迈， V3 3T所=里e-n(。国233333cos B +sin B)sin 8 = cos 8230 JT 因为/?£(),二),所以 COs5£(-J , 1), 2所以的取值范围10.在AABC中，已知角A, B, C所对边分别为a, b, c , tanC= smA + smB cos A + cos B(1)求角C；(2)若c = 2,求a + 6的取值

22、范围.解：(1)因为tanC = 蜕£ =包上也” cosC cos A + cos B所以 sin C(cos A + cos B) = cos C(sin A + sin B)；BP sinCcosAcos Csin A = cos Csin B -sin Ceos B ,所以5m。-4)=$访(8-。， 故C-A = B-C或C A = t-(B-0 , 解得 A + B = 2C或 8- A = t (舍)又因为在AABC中，A+B + C = 7t,所以C = 60。.(2)(法一)由余弦定理知/ ="+加一2而cosC = "+6-ab ,31所以4

23、= ©2 = (a + b)2 -3ab.(a + b)2-(a + b)2 =-(a+b)2, 44所以a + R4,当且仅当。= h = 2时等号成立.又因为a, b , c是AABC的三条边，所以 2 v a + /?, 4 ,所以2 va + 2，4 .(2)(法二)因为c = 2, C = 60°,由正弦定理，=生叵，sinC 3而I'J4百., 4月.加以。=sin A、bsin B 33所以a + b = (sin A + sin B)=华(sin A + sin(l 20。- A) = 4 x (冬in A + J cos A) = 4 sin( A

24、 + 30°)因为A, B, C是AABC的三个内角，且C = 60。.所以 Aw(0°,120°),所以 A+ 30。w (30。, 150。)，所以;<sin(A + 30。), 1，所以2<a + 8, 4.11.在锐角AABC中，角A, B, C的对边分别为a, b , c ,若cos3 + 6sinB = 2 ,cos B cose 2sin A1= r= -b c V3 sin c(1)求角B的大小和边长匕的值；(2)求AABC面积的取值范围.解： .cosB + V3sinB = 2 ,I-cosB + -sinfi = l »

25、22sin( B + ) = 1 ,7T IT8 + = + 2k兀, Z £ Z , 6 2B为锐角，3cosB cosc 2 sin A += -7=,b c ,3 sine由正余弦定理可得an" + ''f = 半, 2abc 2abc<3c整理可得忙=华， 2abc V3c解得b=坦.2B n si =IC si =-73-2>/3一24 1 .cos A+sin A ,2/3 V3 .1 - 2 AX=(sin Acos A + sin A), 4 2273-8X/3-87-1 - 273一16+乃-)6tt才27r/0<A<

26、;-, 0<C<-, C =A,7T , 7Tv A v 9万，4 54 /. <2A < 3+、,J1612 .在 bsinA + asin8 = gcsinAsinB , bsinC-x/iccosAcosCuGacos?。， (a-)sin A +力sin8 = csinC ,这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.己知锐角A48C中，。、b、c分别为内角A、B、C的对边，c = 2,(1)求角c；(2)求a +方的取值范围.4解：若选加inA + asinBu,csinAsinB ， 百4(1)由 Osin A + asin 8 = -7=csin AsinB 及正弦定理得，4.4sin Bsin 4 + sin Asin Z? = =sin Csin Asin B ,即 2sin 4sin B = =sinCsin Asin B , y/3y/30<B<-AABC为锐角三角形，.2 解得 由正弦定理得:熹=熹= = ±半;.b + a =sin B + sin(- - B) =(sin B + cosB + -sin B) 3332sin B + 且os 8) = 4sin(B + -).26-,S + r(TT)，则sin3令.,.b +a e (2/3 , 4；若选bsinC- Gccos Acos C