东南大学固体物理基础课后习题解答

1、电子工程物理基础课后习题参考答案第一章微观粒子的状态1- 1一维运动的粒子处在下面状态Axe-九(x>0,九0)屮(x)詔0(x<0) 将此项函数归一化；求粒子坐标的概率分布函数；在何处找到粒子的概率最大?3解：(1)由归一化条件，可知A2jsx2e-2人dx=1，解得归一化常数A=22。0所以归一化波函数为：屮(x)=<2九2"入(x>°，九°)0(x<0)(2)粒子坐标的概率分布函数为:w(x)=2(x)|2二(x>0,九0)(x<0)第3页共14页(3)令dw(x)=0得x=0或x=丄，根据题意，在x=0处，w(x)

2、=0,所以在x=丄处找到粒dx九九子的概率最大。1- 2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为no 距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少？ n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大？ 当n-c时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题？解：(1)假设一维无限深势阱的势函数为U(x),0<x<a，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：P(x)=f42(x)|dx=f4-(six)2dx=-sin-o00aa42n兀2(2) 当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且P(x)=丄+丄max46兀(3) 当n-c时，P(x)=丄。此时，概率分布均匀，接近于宏观情况

3、。41-3一个势能为V(x)=-mo2x2的线性谐振子处在下面状态22(x)=Ae-2x2求：归一化常数A在何处发现振子的概率最大；势能平均值U=-吨2。解:(1)由归一化条件，可知A2f+se-gdx=1g得到归一化常数A=4兀(2)振子的概率密度w(x)="(x)|2=aeax25由如卫二0得到在x二0处振子出现的概dx率最大。(3)势能平均值U=2x2=2fx2e-ax2dx=-1力®。224a241- 4设质量为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。8x<0V(x)-1m®2x2x>02解：注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对

4、称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，在x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解(仅归一化常数不同)。即屮(x)-AV2H忆)忆珂Tx；x>0)，n-，3,5，E-In+丄”®,n-1,3,5。0(x<0)n12丿1- 5电子在原子大小的范围(io-im)内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。解：电子总能量E-r，作近似代换，设Arr，App，由不确定关系ArAp力,2mrAp2e2九212me2121meme4则E-(-s)-(-丁)2-尸。所以电子的最小能量2mAr2

5、mAr22Ar2mAr22力2E-罕，与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。min2力21-r-1-6氢原子处在基态屮(r,0,申)-e-a0，求:兀a30r的平均值；势能-父的平均值；r最概然半径。解：(1)r的平均值:r-卜f町兀r(r,0,9)|2r2sin0d9d0dr-000f+8f2J"e-a°r3sin0d申d0dr-a020(2)势能-佯的平均值:rU-卜f町兀一二2(r,0,9)|2r2sin0d9d0dr-f8-：e-a0r2drfKsin0d&f2兀d9-000r兀a30r000(3)在球壳r-r+dr的范围内，电子出现的概率为：w(r)

6、-f2J"2(r,0,9)|2r2sin0d0d900-e-a0r2fKsin0d°f2兀d9-e-a0r2兀a300a300由讐-(°得在r-a处电子出现的概率最大即最概然半径为a0。1- 7设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E01及Eg，受到微扰H'作用，微扰矩阵元H'12=H'a,HfH1b。211122ab都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。H'I2解：根据非简并微扰公式E=E（0）+H+丫'kk，有:kkkkE（0）一E（0）nknH'2a2EE（o）+H'+2+E+b+1111E（o）一E（

7、o）01E一E120102H'2,a2EE（0）+H'+2+E+b+2222E（0）E（0）02EE2102011- 8氢分子的振动频率是1.32x1014Hz，求在5000K时，下列两种情况下振动态上粒子占据数之比。n=0,n=1；n=1，n=2。解：将氢分子的振动看作为谐振子，因此振子的能级为E(n+丄护®。振动态上被粒子占n2据的概率服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，则当n=0，n=1时,力ek0T3.55当n=1,n=2时,C占fek0T1 =efE22 ek0Tk0Thek0T3.551- 9求在室温下(k0T=0025ev)电子处在费米能级以上0.1ev和费米能

8、级以下0.1ev的概率各是多少？解:由费米-狄拉克分布，电子处在费米能级以上0.1ev的概率f1=11.8%，0.1E-E-e4+1ek0T+1电子处在费米能级以下0.1ev的概率f一1一=丄98.2%。-0.1E-S-e4+1ek0T+1第二章晶体中原子的状态2- 1.试说明格波和弹性波有何不同?提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。2- 2.证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即v=1'p式中，E为弹性模量，p为介质密度。2- 3.设有一维原子链，第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复

9、力常数为卩，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为卩少0）。设两种原子的质量相等，最近邻间距为a兀试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=时的振动频率。2ad2x解：根据题意，原子运动方程为：dt22n112n+22n+1)+卩(x2n2n+1d2xdt22n-=P(x2n+12n)+卩'(x2n-12n(1)第12页共14页x=Aeiq(2n+1)at设上两式的行波解为：2n+1>(2)将式(2)代入式(1)并整理得:x=Beiq(2na)st2n+2(m®2-B-B)A+(B'eiqa+Be-iqa)B=0oc,/cc,(3)(3)中的A、B有非零

10、解，则方程组的(Beiqa+Be-iqa)A+(m®2BB)B=0J系数行列式为零，得到：®2=打+卩'±f卩2+卩'2+2卩卩,cos2qa,m所以当q=0时，®=,®=0；q=时，®=,生,+hm-2a兀2- 4.一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界q=±处，声频支中所有轻原子m静2a止，光频支所有重原子M静止。证明：声学波两种格波的振幅比聘器0，光学波两种格波的振幅比IB丿®®+2BM®2兀=2Bcosqa<°。当°±茲时'I

11、B丿®®T0,A<<B,可认为轻原子不动，A>>B，可认为重原子不动。2- 5.什么叫声子?它和光子有何异同之处?答：声子是晶格振动的简正模能量量子，光子是传递电磁相互作用的基本粒子。两者均为玻色子，其分布均服从玻色-爱因斯坦分布，但产生的原因、描述的现象、对晶格的作用均不同。2- 6.一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5x167x10-27kg，另一种原子的质量M=4m,力常数&=15Nm,求：(a) 光学波的最大频率和最小频率0、0；maxmin(b) 声学波的最大频率A；max(c) 相应的声子能量是多少eV?(d) 在300K可以

12、激发多少个频率0、0、A的声子?maxminmax(e) 如果用电磁波来激发长光学波振动mM解：(a)卩=0.8m，m+M即0max晋=6.7。15X®rad/-0min=5.994x1013rad/s；=2.997x1013rad/s；b）c）E=力0=0.04417eV，1maxE2-加0-0.0395eV，minE-力A-0.01975eV3maxd）n0-1-0.221，n0-1-0.277，nA-1-0.872；max鬲min丙nomax加）Amax4ekT1min4ekT1max4ekT1J翌maxM2兀c(e)九=2.813x105m。omax2- 7.设晶体中每个振子

13、的零点振动能量2恥，试用德拜模型求晶体的零点振动能。解:晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和。即晶体的零点振动能为:ff13V9=JaD8（）p（）d®=J%力2d®=-hNl®o0022k2v38D2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m,间距为a,原子间的互作用势可表示成gU(a+5)=Acos(_)。试由简谐近似求：a(1) 色散关系；(2) 模式密度P()；(3) 晶格热容(列出积分表达式即可)。解：1)原子间的弹性恢复力系数为卩=d2Ud525=aa2，带入色散关系即e=2sia2)对于一维简单晶格，在波矢q-q+dq中的振动模式数为222-

14、dq=竺dq，即兀Nadq模式密度p(e)=巫。由(1)所得的色散关系为=amsin2qa.i=®sinqa，2dea1a/.1即1一cosqae、>1一sin2qadq"¥m22m'2=冷2-e2，带入模式密度表达式整理后2m可得：p(e)=2N12L1兀e2-e2e方eee/kT2L1(3)带入公式可得晶格比热C=JDk()2de。VokT(ee/灯一1)2a兀Je2-e2平m2-9.有人说，既然晶格独立振动频率e的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而方e代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确?提示：不正

15、确，因为声子是一种玻色子，其分布服从玻色-爱因斯坦分布，即方eekT1可知平均声子数与与温度有关，温度越高，平均声子数越多。2-10.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。解：(1)在一维情况下，在波矢q-可+dq中的振动模式数为22dq。由于德拜模型假eLL设v=，所以在e-e+de中振动模式数为p(e)de=de，即频谱密度p(e)=q兀v兀vT斗=畔。带入公dkLk且FP(e)de=命eD=N，即eD=罟故德拜温度de。小Leg/方e、Je/kT式可得晶格比热cv=乔J0Dk(肓"(de/kT-1)2S在二维情况下'在波矢可-可+dq

16、中的振动模式数为22而2-2咖q，由于德拜模eSq型假设V=，所以在e-e+de中振动模式数为p(e)de=de，即频谱密度q兀vP(e)=兀v兀v2且JeD0p(e)de=e兀v2D2hv1N兀r/、方e%/kTS®，代入公式可得晶格比热Cv二J0Dk（莎）2（/®/一1）2药伽。2-11.简述绝缘体热导在以下三个温度范围内和温度的关系，并说明物理原因：T>>0D:T<<OD:介于、之间的温度。答：t>>%时，此时热容C不随温度变化，声子的平均自由程i近似反比于声子总数,DV因声子数血«算近似正比于T,故绝缘体的热导率反比于温

17、度T，正比于$ekT1 T<<OD时，此时声子的平均自由程不随温度变化，热容C正比于温度T3，即绝缘体的热DV导率正比于温度T3； 温度适中时，此时热容C不随温度变化，发生U过程的声子数量nC）=-沁e-2D，V厉®D1e2kT1即绝缘体的热导率正比于e2D。第三章晶体中的大量电子3- 1.按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为寸，按照量子论的观k1点，如取Ef=5eV，则为4，只为经典值的60。试解释何以两者相差这么大。提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电子对比热才有贡献。室温下T»T,大多数电子运动

18、不自由，对热容的贡献很小，只有费米面附近约kT范围的电子对热容有显著贡献，故一般情况下电子气的热容很小。3- 2.限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。电子能量E(k,k)二空(k2+k2)xy2mxy(a) 求能量E到E+dE之间的状态数；(b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。解：(a)在二维系统中，波矢k到k+dk中的状态数对应2兀kdk圆环中包含的状态数。且-s在k空间中，二维点密度为，每个状态可容纳自旋相反的两个电子，所以4兀2dZ.SS2k2dZdkSm/=2XX2戚=k，由题可得E(k)=，即g(E)=，所以能dk4兀2兀2mdkdE兀力2mL2量E到E+dE之间的状态数dZ

19、=g(E)dE=dEo兀力2(b)热力学零度时系统总电子数N屮/(E)g(E)dE屮g(E)dE舞EF，即仃N兀方2n兀方2Eo=FmLm其中n二N表示单位面积内的电子数。L23- 3.设有一金属样品，体积为10-5m3，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev的总的状态数。V2m3iv2mE-3解：低于5ev的总的状态数N=JEqg(E)dE二JEq()2E2dE=(o)2，oo2兀2方23兀2力2其中气=5ev，带入数据得低于5ev的总的状态数约为5.06x1023。3- 4.在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成C=(2.08T+2.57T3)x10-3J/molK若一个摩尔的钾有N=

20、6x1023个电子试求钾的费米温度°和拜温度。d。解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于T,晶格热容正比兀2T于T3。所以有A=Nk=2.08Tx10-3，解得T=1.965x104K，2TFF1CttarrB=Nk(二)3=2.57T3x10-3，解得0=91Ko50dD3- 5.一维周期场中电子波函数屮(x)应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a，电子的波函k数为如下，试求电子在这些状态的波矢。(a) 屮(x)=sin殳xka(b) 屮(x)=icos3xka(f是某个确定的函数)所以u(x)=e-ik叩(x)，且u(x)=u(x+a),kkkk(c)屮(x

21、)=艺f(x-la)ki=s解：(a)屮(x)=eiZ(x),kk兀/、则有e-ikxsinx=e-ik(x+a)sin(x+a)Ia丿a，所以e%=一1。72n+1cc兀，兀7兀得k=兀，n=0,±1,±2，若仅考虑第一布里渊区内一一k，则k=aaaa(b)屮(x)=eikxu(x)，所以u(x)=e-i岬(x)，且u(x)=u(x+a),kkkkkk(3兀-3兀/x=e-ik(x+a)icos(x+a)Va丿_a_，所以e-血=一1。则有e一ikxicos72n+1cc兀，兀，兀得k=兀，n=0,土匕土2，若仅考虑第一布里渊区内一一k，则k=aaaa(c)屮(x)=ei

22、kxu(x)，所以u(x)=e-i岬(x)，且u(x)=u(x+a)kkkkkk所以则有e-ikx艺f(xla)=e-ik(x+a)艺f(x+a一la)=e-ik(x+a)艺fx-(l1)a,i=si=si=s2n兀兀e-ika=1，得k=兀，n=0,土1，±2，若仅考虑第一布里渊区内一一k，则k=0。aaa3- 6.证明，当昭«E0时'电子数目每增加一个'则费米能变化AE0F1g(Eo)F其中g(ef)为费米能级的能态密度。23兀2N2解：热力学零度时费米能级佯=丸(-V)3。电子数目每增加一个即费米能级的变化誓=导苧(N+让-N且有(N+让=N：(l+甘

23、N：(l+嘉),2m3丄1g(Eo)=4兀V()2(Eo)2，带入后化简即可得AEo=Fh2FFg(Eo)F3- 7试证明布洛赫函数不是动量的本征函数。提示：只要证明P內即可，其中P为动量算符，屮为布洛赫函数。6)，动量算符p二-滴V作用在布洛赫函数上证明：布洛赫函数可以表示为屮(r)=e站u-訂-得一注屮(r)=-zVek-fu(r)=方k屮(r)一注ezkWu(r)丰p屮(r)，即布洛赫函数不kkk是动量的本征函数。3-8电子在周期场中的势能V(x)2二02b2-(x-la)2(la-b<x<la+b)(l-l)a+b<x<la-b第14页共14页式中，a=4b，&

24、#174;是常数。试画出此势能曲线,解：势能曲线如下图所示：b2(xla)2dx=1x1m®2x2b3-b3、-一a2(3丿=2b26并求此势能的平均值。由势能曲线可知：V(x)是以a=4b为周期的周期函数，所以平均势能V(x)=-JTV(x)dx=-x1-m®2fla+bT0a2la-b3-9用近自由电子模型处理上题。求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。解：由图可知：势能V(x)在周期(-2b,2b)上是偶函数，将其展开成傅立叶级数为当n为偶数时,E(k).=0,当n为奇数时,E(k)=竺，所以能带宽度AE=V(x)=V+工'Vcos0nnx12b丿其中Vn=丄J

25、2bV(x)cos4b2b沪丿dx。即第-个禁带宽度Eg广2即4bJb(b2x2)COS二xdxb12b丿m2Jb(b2x2)COS二xdxbmQ232b28m(2b2石Xh二二?第二个禁带宽度mQ24b2mQ2b2x=4b兀2兀23-10.在一维周期场中运动的电子，每一个状态k都存在一个与之简并的状态-k,为什么只n兀在一附近才用简并微扰，而其它k值却不必用简并微扰处理呢？a提示：由非简并微扰计算可得，只有两个状态k之间必须满足k'-k=竺上(n为整数)时,aH；k丰0，才会对微扰解有贡献，否则适用于非兼并微扰。3-11.能带宽窄由什么因素决定?它与晶体所包含的原胞总数N有无关系？品

26、体中的电子在周期势场中运动不再属于某个原。具有共右化运动的特征.这种共有化运动的结果使无陀阳体中周期性坍场影响下电了的能量狀态成为能带而不是仆离內能级，能带的宽窄由晶林本身的性廣决定.它直犊反映了共有优运动的辎弱晶你结构决琵了能常的宽窄与晶体所包含的原子数N无关、N壇加.表明能带中共有优能级数目増加丫这鬼増加能级密集的程度.而不增牺能带的宽度.3-12.布里渊区的边界面一定是能量的不连续面吗?提示：不一定。对于一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维和三维则不一定。可能存在第一布里渊区在某个k方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值，使能带出现交叠，导致多个允带贯

27、通，即很大范围内没有禁带，能级上都能填充电子。3-13.已知一维晶体的电子能带可写成E(k)方2ma27 71“coska+cos2ka8 8其中a是晶格常数，试求：(a) 能带的宽度；(b) 电子在波矢k的状态时的速度；(c) 能带底部和顶部电子的有效质量。解:(a)首先求能量的最大值和最小值，由d|目dk(1)=asinka1coska<2丿minmaxma2E(k)E(k)=匹maxminma2(b)速度v(k)=讐=丄ndkma1)sinkasin2ka4丿-sinka(1coska)；ma2n2m(C)有效质量m*=1，由t_(_2coskacos2kadk22,n兀(a)可知

28、：能带底处有k=,na为偶数，代入上式得m*底=2m，能带顶处有k=竺，na3-14.用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子，若只计最近邻的相互作用为为奇数，代入上式得m2_m。3试导出能带E(k)=E-A-4Jcos0Vkakakakakak-cost+coscosr+CoSrCoS22222a-x2丿并求能带底部电子的有效质量。解：任取一个格点为原点，最近邻格点有12个，它们的位置坐标分别为：(土2,2,o),(土2,2,0),(土2,0,2),(土2,0,2)X0,2,土轨(0,2,土2)。222222222222带入紧束缚方法得到的能量式E(k)二EJ-工J(R)e-ik-Rs,得到面心立方s态原子能l0-sR=nears级相对应的能带：el2(k-+ky)+el2<tk-+ky)+el2(k-ky)+e12<-k-ky)+e-l；乂+k)+e-l2(k-+kz)+-12(k-kz)+et2(-k-kz)+el2(ky+kz)+e-i；Cky+kz)f.k-aixe2+e.k-aei2+eV7-年e丿V.k-ael八.k-a-iz2=EA4J(coskao2、(、(.k_a.-k-a+et2+ei2+ei2ei2+e-i-2丿丿丿V丿V丿zz+)+e、.k-a+et2-.2ky+k+e-.2耳-k丿kacos+cosk