2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料

1、2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）（2015湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A. iB.-iC.1D.-12. （5分）（2015湖北）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石3. （5分）（2015湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二

2、项式系数和为（）A.212B.211C.210D.294.（5分）（2015湖北）设XN（占，可2）,YN（七，。22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）20A.P（丫沖2）nP（Y>1）B.P（X<O2）<P（X<O1）C.对任意正数t，P（X<t）>P（Y<t）D.对任意正数t，P（X>t）>P（Y>t）5.（5分）（2015湖北）设a1，a2,anGR，n>3.若p：a1，a2,an成等比数列；q：（&12+&22+.+&"2）（&22+&32+.+&

3、amp;"2）=（&1&2+&2&3+.+&"2，贝）A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件K>06.（5分）（2015-湖北）已知符号函数sgnx=-1,f(x)是R上的增函数，g(x)x<0=f(x)-f(ax)(a>1),贝9()Asgng(x)=sgnxBsgng(x)=-sgnxCsgng(x)=sgn(fx)Dsgng(x)=-sgnf(x)7.（5分）（2015湖北）在区间0,1上随机取

4、两个数x,y,记P1为事件“x+y的概率，P2为事件“lx-ylwg"的概率，P3为事件“xyW*"的概率，则（）A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P18. （5分）（2015湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（aHb）同时增加m（m>0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线。2,则（）A. 对任意的a，b，e1>e2B. 当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2C. 对任意的a，b，e1<e2D. 当a>b时

5、，e1<e2；当a<b时，e1>e29. （5分）（2015湖北）已知集合A=（x，y）lx2+y2<1，x，yGZ，B=（x，y）llxl<2,lyl<2,x，yGZ，定义集合AB=（x1+x2,y1+y2）l（x1,y1）GA,（x2,y2）GB，贝VAB中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.3010. （5分）（2015湖北）设xGR,x表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得t=1,t2=2,tn=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题

6、卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11. （5分）（2015湖北）已知向量0£丄握，|0£|=3,则0丧OB=.12. （5分）（2015湖北）函数f（x）=4cos芾cos（弓-x）-2sinx-lln（x+1）l的零点个数为.13. （5分）（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°,则此山的高度CD=m.14. （5分）（2015湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1,0）,与y

7、轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方），且lABl=2.（1）圆C的标准方程为_；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=l相交于M,N两点，下列三个结论:;隅册；其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)选修4-1：几何证明选讲15.(5分)(2015湖北)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB,选修4-4：坐标系与参数方程16.(2015湖北)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线1的极坐标方程为p(sine-3cose)=0,曲线C的参数方程为t-(t为参数),tl与C相交于A，B两点，则IABI=.三、解答题：本大

8、题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.7T5兀Asin（x+R）0550(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动e(e>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(千罟，0)，求e的最小值.丄18.(12分)(2015湖北)设等差数列%的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bj的公比为q,已知b=a,b?=2,q=d，S0=100.(1) 求数列%,bn的通项公式(2) 当d>1时，记cn=，求数列cn的前n项和Tn.19. （12分）（2015湖北）

9、九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD丄底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF丄PB交PB于点F,连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB丄平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小炬二求马的值.F20. （12分）（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨

10、，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.（14分）（2015湖北）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿

11、滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.22.(14分)(2015湖北)已知数列an的各项均为正数，bn=n(1+三)"an(n®+),e为自然对数的底数.(1) 求函数f(x)=1+x-ex的单调区间，并比较(1

12、二)n与e的大小；nSb-ib?匕山西叽(2) 计算,，由此推测计算的公式，并给出证明；_00=丄(3)令cn=(a1a2an)匕数列an，cn的前n项和分别记为Sn，Tn,证明:TnVeSn.答案：1、解:i607=i604+3=i3=-i，它的共轭复数为:i.故选：A.2、解：由题意，这批米内夹谷约为1534x“69石，254故选：B.3、解：已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得證二C,可得n=3+7=10.(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为:訂210=29.故选：D.4、解:正态分布密度曲线图象关于x=u对称，所以占<险从图中容易得到P(X&l

13、t;t)>P5、(Y<t).解：由a1，a2，anGR,n>3.运用柯西不等式，可得：(a2+a22+.+ani2)(a22+a32+.+an2)>(&1&2+&2&3+.+&"卍“)2,口曰pnv-i若a1，a2,，an成等比数列，即有ala2an-1贝则(a2+a22+.+an2)(a22+a32+.+an2)=(&1&2+&2&3+.+%卍“)2，即由p推得q，但由q推不到p,比如a1=a2=a3=.=an=0,则a1，a2，.，an不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.6、故选：

14、A.K>0x二0,f(x)是K<01,解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=山-1,R上的增函数，g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),不妨令f(x)=x，a=2，贝9g(x)=f(x)-f(ax)=-x,sgng(x)=-sgnx.所以A不正确，B正确，sgnf(x)=sgnx,C不正确；D正确；对于D,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)-f(ax)=-x-1,p,K>-1sgnf(x)=sgn(x+1)=：L-1；-1,K<-11sgng(x)=sgn(-x-1)=Q，-sgnf(x)=-sgn(x+1)=K>-1；所

15、以D不正确;K<-1故选：B.7、解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）双曲线C?：c'2=(a+m)2+(b+m)2,(a+m)2+(b+m)2,e2=a+mh(b+m)2=(b一且)m'+nni，)(a+roa2(a-trn)'二当ab时,eVe2；当aVb时，eQe?,故选：D.9、解：A=(x,y)lx2+y2<1,x,yGZ=(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1，0)，B=(x,y)llxl<2,lyl<2,x,yGZ=(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,

16、2)(1,-1),(1,-2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,-1)(2-2)(-1-2)(-1-1)(-10)(-11)(-12)(-2-2)(-2-1)(-20)(-21)(-22)TAB=(x1+x2,y1+y2)I(x1,y1)GA,(x2,y2)GB, AB=(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)(1-1)(1-2)(20)(21)(22)(2-1)(2-2)(-1-2)(-1-1)(-10)(-11)(-12)(-2-2)(-2-1)(-20)(-21)(-22)(-23)(-2-3)(0-3)(2-3)(-13)

17、(-1-3)(13)(23)(03)(3-1)(30)(31)(32)(3-2)(-32)(-31)(1-3)(-3-1)(-30)(-3-2)共45个元素故选：C.10、解：Tt=1tG12)又Tt2=2,二t2G2,3), tG:,:'!),又t2G2,3),t4G4,9), t4=4 正整数n的最大值411、故选：B.解：由0A丄AB,得d£AB=0,即0A（丽-西）=0,TIO£I=3,二|0衣|2=9-故答案为：9.12、解：函数f(x)的定义域为：xlx>-1.X丁Tf(x)=4coscos(1-x)-2sinx-Iln(x+1)I=2sinx(戈

18、匚£2专1)-Iln(x+1)1=sin2x-Iln(x+1)I分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,由函数的图象可知交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为：2.-6-543-2y=sinlxZBCA=45°,AB=600解：设此山高h(m),则BCSh，在厶ABC中，ZBAC=30°,ZCBA=105°,根据正弦定理得sin.：j(Jsmyb解得h=100】6(故答案为：1006.14、解：(1)T圆C与x轴相切于点T(1,0),圆心的横坐标x=1,取AB的中点E,|ABI=2,IBEI=1,则IBCI=:，即圆的半径r=IB

19、CI=；2,圆心C(1,)则圆的标准方程为(x-1)2匚5,迈)2=2,故答案为：(x-1)2+(y.：2)2=2.(2)T圆心C(1,'辽)，E(0,',又TIABI=2,且E为AB中点, A(0,，迈-1),B(0,+1),TM、N在圆O:X2+y2=1上,可设M(cosa,sina),N(cosB,sin), INA|=FcmP-0)片虽门卩-迈-1)?=,-'cos2P+sin2P-2(卫一1)sinP+32；'2=4-2_2_2(2_1)sinp=-;2,2，2一1)-2(,2-1)sinP=：2(巨-1)迈-sinp),INBI=',.

20、9;(cosP-0)，+虽口$-辺+1)卩=,-'coP-l-siP-2(芒+1)日inP+3+2；2=-'4+2、空_2(,2+1)sinP=,-'2(,2十1)(,2-sinp)，NB=E(迈-1)亍虽汕)=V2(a/2+1)(-sinWTVV2H，同理可彳喘+=迈訓計，成立雛冷！-（）=2'正确NB1NA+MBV2-1'+（一I）=2.迈，正确.联立；：/=_4,得%兮即沪土罟二A（孚学，B（哼咛）'二AB"（迈厂+（3迈）可=2号故答案为：解：由切割线定理可知：PA2=PBPC，又BC=3PB,可得PA=2PB，在厶PAB与厶P

21、AC中，乙P=ZP,乙PAB=ZPCA（同弧上的圆周角与弦切角相等）,可得PAB-PAC,塑二fB=PB=1AC=PA2PB2故答案为：*解：由p（sinB-3cos0）=0,得y-3x=0,-1t由C的参数方程为1（t为参数），两式平方作差得：x2-y2=-4.v=t+-t故答案为：2'/x+R3712nn20兀解:（1）根据表中已知数据，解得A=5,=2,e=-，数据补全如下表:77T5兀13兀x121261218、Asin(x+R)且函数表达式为f(x)=5sin(2x-(2)由(I)知f(x)=5sin(2x-M),得g(x)=5sin(2x+2e).66因为y=sinx的对称

22、中心为(kn,0),kGZ.IT>zk兀兀c=kn,解得x=,kGZ.的图象关于点(岑，0)成中心对称，令曙,kGZ.由e>o可知，当k=i时，e取得最小值斗.6由于函数y=g(x)7T解：(1)设ai=a，由题意可得10a+45d=100ad=2'解得裁或T=i+32+5-2-2+5+722+7+9+.+(2n-1)一-，23242n_1+7+(2n-3)+(2n-1)丄,23242n_12n11(2132n+3.+i-(2n-1)=3-24211"22112n19、丄T=12n.丄T=2+>+=:23,24tzTn=6-'n解法1)(1)因为PD

23、丄底面ABCD，所以PD丄BC，由底面ABCD为长方形，有BC丄CD,而PDcCD=D,所以BC丄平面ABCD.而DEu平面PDC,所以BC丄DE.又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE丄PC.而PCnCB=C，所以DE丄平面PBC.而PBu平面PBC,所以PB丄DE.又PB丄EF,DEnFE=E，所以PB丄平面DEF.由DE丄平面PBC,PB丄平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为/DEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.(2)如图1，故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小DC亚，BC=T在面BPC内，延长BC与FE交于点

24、G,贝9DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由（I）知，PB丄平面DEF，所以PB丄DG.又因为PD丄底面ABCD，所以PD丄DG.而PDnPB=P，所以DG丄平面PBD.所以DG丄DF，DG丄DB故/BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=X，有BD=：i+h2，（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD=DC=1，BC=X，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（入，1，0），C（0，1，0），P3=（入1,-1）,点E是PC的中点，所以E（0，g，吉）DE=（0，g，g），于是E=0，即PB丄

25、DE.又已知EF丄PB,而EDnEF=E，所以PB丄平面DEF.因PC=（0，1，-1），DE-PC=0，则DE丄PC,所以DE丄平面PBC.由DE丄平面PBC，PB丄平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个矩形，其四个面的直角分别为/DEB，ZDEF，ZEFB，ZDFB.（2）由PD丄底面ABCD，所以DP=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（I）知，PB丄平面DEF，所以BP=（-入，-1,1）是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小则运用向量的数量积求解得出cos故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小bc=t20、(

26、12分)解：(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有如图1,目标函数为：z=1000x+1200y.匹旳5心s+1.5y<122x-y>0'心0,yO当W=12时，表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6，0).£将z=1000x+1200y变形为y=-6当x=2.4,y=4.8时，直线1：尸_*+希°在y轴上的截距最大,最大获利Z=Zmax=2.4x1000+4.8X1200=8160.max当W=15时，表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C域如图3,四个

27、顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为:.八1131020010800当x=6,y=4时,直线l：y=-56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=6x1000+4x1200=1080max0.故最大获利Z的分布列为：Z81600.30.50.2因此E(Z)=8160x0.3+10200x0.5+10800x0.2=9708(2) 由(I)知，一天最大获利超过10000元的概率P=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：P=1-(1-P)3=o.97321、N在x轴上时，等号成立，解：(1)TIOMIWlMNI+INOI=3+1=4，当M,同理IOMI>IMNI-INOI=3-1=2,当D,O重合，即MN丄x轴时，等号成立.椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2，22其方程为lb4(2)当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=-4,都有SOPQ冷H舟直线1的斜率k存在时，直线1为：y=kx+m,(k尹土寺),产kx+in卞口消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,x2+4y=16直线l总与椭圆C有且只有一个公共