2010年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析

1、2010年江西省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1. (5分)(2010江西)对于实数a,b,c,"a>b”是"ac2>bc2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式.【分析】不等式的基本性质，“a>b”n“ac2>bc2”必须有c2>0这一条件.【解答】解：主要考查不等式的性质.当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选B【点评】充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件

2、.2. (5分)(2010江西)若集合A=xllxlW1,xGR,B=y|y=x2,xGR，则AnB=()A.xl-1<x<1B.xlx>0C.xl0<x<1D.0【考点】交集及其运算.【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算.常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算.【解答】解：由题得：A=xl-1<x<1,B=yly>0,AnB=xl0<x<1.故选C.【点评】在应试中可采用特值检验完成.3. (5分)(2010江西)(1-x)10展开式中x3项的系数为()A.-720B.720C.120D.-120【考点】二项式定

3、理的应用.【专题】计算题.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3项的系数.【解答】解：二项展开式的通项为Tr+1=C10r(-x)r=(-1)rC10rxr,令r=3,得展开式中x3项的系数为(-1)3C103=-120.故选项为D【点评考查二项式定理展开式中特定项问题,解决此类问题主要是依据二项展开式的通项4. (5分)(2010江西)若f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则fz(-1)=()A.-4B.-2C.2D.4【考点】导数的运算.【专题】整体思想.【分析】先求导，然后表示出f'(1)与f'(-1),易得f&

4、#39;(-1)=-f'(1),结合已知，即可求解.【解答】解：Tf(x)=ax4+bx2+c,fz(x)=4ax3+2bx,f'(1)=4a+2b=2,.f'(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2,故选：B.【点评】本题考查了导数的运算，注意整体思想的应用.5.(5分)(2010江西)不等式lx-2l>x-2的解集是()A.(-x,2)B.(-x,+*)C.(2,+*)D.(-x,2)U(2,+*)【考点】绝对值不等式的解法.【专题】计算题.【分析】方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，把x=3代入不等式检验.方法二：利用一个数的绝对值大于它本身，这

5、个数一定是负数.【解答】解：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，满足不等式，故x=1在解集内，排除答案C、D.把x=3代入不等式检验，不满足不等式，故x=3不在解集内，排除答案B,故答案选A.方法二：不等式lx-2l>x-2,X-2V0,即xV2解集为(-x,2),故选答案A【点评】对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值.6.(5分)(2010江西)函数y=sin2x-sinx-1的值域为()A.-1,1B.-£'-1C.-1D1,号【考点】函数的值域；三角函数的最值.【专题】计算题；转化思想；换元法.

6、【分析】令t=sinx，将函数y=sin2x-sinx-1的值域的问题变为求y=t2-t-1在区间-1,1上的值域的问题，利用二次函数的单调性求之.【解答】解：令sinX=t可得y=t2-t-1,t£-1,1y=t2-1-1的对称轴是t=故吟-1)即-<y<14即值域为-,14故应选C.【点评】本题考点是复合函数的单调性，考查求复合函数的值域，本题直接证明复合三角函数的单调性比较困难，故采取了换元法求值域的技巧，对于解复合函数的值域的问题，换元法是一个比较好的技巧.7.(5分)(2010江西)等比数列an中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2，则an=()A.

7、(-2)n-1B.-(-2n-1)C.(-2)nD.-(-2)n【考点】等比数列的性质.【专题】计算题.【分析】根据等比数列的性质，由a5=-8a2得至U空等于q3,求出公比q的值，然后由a5>a2a2,利用等比数列的通项公式得到幻大于0化简已知叫1=1,得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到an的值即可.【解答】解：由a5=-8a?，得至Uq3=-8,解得q=-2,a2又a5>a2，得到16a>-2a，解得a>0,所以Ial=a=1则an=a1qn-=（-2）n-1故选A【点评此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题.8

8、.（5分）（2010江西）若函数y=的图象关于直线y=x对称，则a为（）A.1B.-1C.±1D.任意实数【考点】反函数.【专题】计算题.【分析】因为图象本身关于直线y=x对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案.【解答】解：t函数y=的图象关于直线y=x对称1+x利用反函数的性质，依题知（1,旦）与（卫，1）皆在原函数图象上，22（1,号）与（弓，1）为不同的点，即a2；二a=-1或a=2（舍去）故可得a=-1【点评】本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容.对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数

9、的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.9.（5分）（2010江西）有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p（0VpV1）,假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（）A.（1-Pp）nB.1-pnC.pnD.1-（1-）n【考点】互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.【专题】概率与统计.【分析】根据题意，"至少有一位同学通过测试"与“没有人通过通过测试"为对立事件，先由独立事件的概率乘法公式，可得"没有人通过通过测试"的概率，进而可得答案.【解答】解：根据

10、题意，"至少有一位同学通过测试"与“没有人通过通过测试"为对立事件，记“至少有一位同学通过测试"为A.贝祜=“没有人通过通过测试"，易得P（負）=（1-p）n,则P（A）=1-（1-p）n，故选D.【点评】本题考查对立事件的概率，一般在至多、最多、最少、至少等情况下运用对立事件的概率，可以简化运算.2D.-，010.（5分）（2010江西）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M,N两点，若IMNI>2，则k的取值范围是（）A.-，0B.-44【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用.【专题】

11、压轴题.【分析】先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距,求出k的范围.【解答】解：解法1：圆心的坐标为（3,2），且圆与x轴相切.当，弦心距最大，由点到直线距离公式得<1故选A.解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+丙，排除B,考虑区间不对称，排除C,利用斜率估值，故选A.J41厂2/、丿/【点评】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用.解法2是一种间接解法，选择题中常用.11.（5分）（2010江西）如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D的棱DD1的中点，给出下列命题 过M点有且只有一条直线与直线AB、

12、B1C1都相交； 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直； 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交； 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行.其中真命题是（）A.BCD【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质.【专题】压轴题；数形结合.【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，正确.过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确.过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，不正确.过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确.【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直

13、线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N,则MN/AB,且MN=AB,设BN与B1C1交于H,则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O.所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故正确.过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD，故正确.过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故不正确.过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故正确.综上，正确，不正确，故选C.【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学

14、思想.12.（5分）（2010江西）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，TT.n、各自作出三个函数y=sin2x，的图象如下.结果发现63其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（）14【考点】正弦函数的图象.【专题】作图题.【分析】可采用排除法，取一个特殊点来观察，如当y=sin2x的图象取最高点时其他两函数对应的点一定不是最值点或零点，从而只有C不合适【解答】解：y=sin2x的图象取最高点时，x=kn”，k&x+=kn+扌612尸si&|，的函数值定不疋1或0,3此时,即y=sin2x的图象取最高点时，其他两函数对应的点一定不是最值点或零点，

15、而C不适合,故选C【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，y=Asin（x+e）型函数的对称性，排除法解图象选择题二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.（4分）（2010江西）已知向量已b满足|b|=2,方与b的夹角为60°，则b在方上的投影是1.【考点】向量的投影.【专题】常规题型；计算题.【分析】根据投影的定义，应用公式l；lcos<3,>弔求解.【解答】解：根据向量的投影定义，云在；上的投影等于鬲cosvG,>=2对=1故答案为：1【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用.14.（4分）（2010江西）将5位志愿者

16、分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有90种（用数字作答）.【考点】排列、组合的实际应用.【专题】计算题.【分析】根据分组分配问题的思路，先将5人分成3组，计算可得其分组情况，进而将其分配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，首先将5人分成3组，由分组公式可得，共有=15种不同分组方法，进而将其分配到三个不同场馆，有A33=6种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有15x6=90种，故答案为90.【点评】本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配.2215.（4分）（2

17、010江西）点A（x0,y0）在双曲线的右支上，若点A到右焦点吐-IC的距离等于2x0，则x0=2.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题；压轴题.【分析】由题设条件先求出a，b,由此能求出x0的值.【解答】解：a=2.c=6,右焦点F（6,0）22把A（x0,y0）代入双曲线，得y02=8x02-32,IAFI=',.-；Cx0-e）2+§x02-32=2x口2故答案为：2.【点评】本题考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，解题时要注意公式的合理运用.16.（4分）（2010江西）长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB=AA1=1,”IIBC=&#

18、39;；Z则A,B两点间的球面距离为.【考点】球面距离及相关计算.【专题】计算题；压轴题.【分析】考查球面距离的问题，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案.【解答】解：设球的球心为O,球的直径即为长方体的对角线长，即2R=，R=1，在等腰三角形OAB中，7T球心角ZAOB=可，kJ利用球面距离公式得出：距离公式.7T答案：刍.【点评】本题主要考查球的性质、球面距离，属于基础题.三、解答题(共6小题，满分74分)17.(12分)(2010江西)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.(1) 若f(X)的两个极值点为X,X2,且x1x2=1，求

19、实数a的值；(2) 是否存在实数a,使得f(x)是(-T+丙)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.【专题】计算题.【分析(1)先求原函数的导函数，根据导函数在极值点处的值为零建立等式关系，求出参数a即可；(2)根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零，如果能就存在，否则就不存在.【解答】解：f，(x)=18x2+6(a+2)x+2a(1) 由已知有f'(x1)=f，(x2)=0，从而X工2二二1，所以a=9；(2) 由厶=36(a+2)2-4x18x2a=36(a2+4)>0,所以不存在实a,使得

20、f(x)是R上的单调函数.【点评】本题主要考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识，是高考中常考的问题，属于基础题.18.（12分）（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.（1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率.【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【专题】计算题.【分析（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试

21、验发生包含的所有事件数为3,而满足条件的事件数是1,根据古典概型的概率公式得到结果.（2）走出迷宫的时间超过3小时这一事件，包括三种情况，且这三种情况是互斥的，一是进入2号通道，回来后又进入3号通道，二是进入3号通道，回来后又进入2号通道，三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果.【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的所有事件数为3，而满足条件的事件数是1，设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，P（A）丄.3（2）设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，本事件包括三种情况，且这三种情况是互斥的，一是进入2号通道

22、，回来后又进入3号通道的概率呂況二是进入3号通道，回来后又进入2号通道的概率吗況完三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率是£则P（B）=三.6662【点评考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查.19.(12分)(2010江西)已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x-2sin(x+)sin(x).44(1) 若tana=2，求f(a)；(2) 若xG寻，*,求f(x)的取值范围.【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域.【专题】三角函数的图像与性质.【分析（1）利用

23、正切化为正弦、余弦，利用两角和与差的三角函数展开，二倍角公式的应用化为*（si口+寺通过tana=2,求出sin2a,cos2a，然后求出f（a）；（2）化简函数为：f二巨，由吨然后求f（X）的取值范围.，求出2x的范围,【解答】解：(1)Tf(x)=(1+cotx)sin2x-2sin(sin(x)=sin2x+sinxcosx+cos2x41一cos2k11rcn>1卜叵5诂+8£滋乜Isin2x+cos2x；+Ttana=2,.sin2a=2sinacosa=,sin2Cl+cos2Cl1+tan2Cl'cos2a=cos'口-sin2口cos2Cl-si

24、n2Cl1-tan2d_3cos2Cl+sin2Cl1+tanCI'所以fJ（2）由（1）得f（122242得N诗E豊，罟,所以虽（氐+弓）一申，1从而fG【点评】三角函数的化简，包括降幕扩角公式、辅助角公式都是高考考查的重点内容，另外对于三角函数的化简到最简形式一定要求掌握.熟练利用正余弦函数的图象求形如y=Asin（x+R）性质.20.（12分）（2010江西）如图，BCD与氐MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD丄平面BCD，AB丄平面BCD，AB=2一3.（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.【考点】与二面角有关的立体

25、几何综合题；直线与平面所成的角.【专题】计算题.【分析（1）取CD中点0,连OB,OM,延长AM、BO相交于E,根据线面所成角的定义可知ZAEB就是AM与平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF丄EC于F,连AF,根据二面角的平面角的定义可知/AFB就是二面角A-EC-B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值.【解答】解：（1）取CD中点O,连OB,OM,则OB丄CD,OM丄CD.又平面MCD丄平面BCD，则MO丄平面BCD,所以MOIIAB,A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E,则/AEB就是AM与平

26、面BCD所成的角.OB=MO=：'W,MOIIAB,贝卜，仍二0E二帀，所以励二2迓二牺，故上AEB=45°.EBAB2（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BF丄EC于F,连AF,贝VAF丄EC,ZAFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为0.因为ZBCE=120°,所以ZBCF=60°.所以，所求二面角的正弦值【点评】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、面角、空间向量、面角平面tan角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力.2221.（12分）（2010江西）已知抛物线C1：x2+

27、by=b2经过椭圆C2:+冷=1（a>b>0）的两个焦点.（1）求椭圆C2的离心率；（2）设Q（3,b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程.【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质.【专题】计算题；综合题；压轴题；方程思想；待定系数法.22【分析（1）根据椭圆C2：+冷=1写出其焦点坐标，代入抛物线Ci：x2+by=b2,求得b,且bc的方程，由a2=b2+c2，可求椭圆C2的离心率；（2）联立抛物线C1的方程椭圆C2的方程，求出M,N的坐标，求出QMN的重心坐标,代入抛物线C1，即可求得C1和C2的方程.【解答】解：（1）因

28、为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点巧（-c,0），F2（c,0），所以c2+bx0=b2，即c2=b2，由a2=b2+c2=2c2得椭圆c2的离心率丘（2）由（1）可知a2=2b2，椭圆C2的方程为：22七+T2b2b2联立抛物线C的方程x2+by=b2得：2y2-by-b2=0,解得：尸舟或y=b（舍去），所以k二±b，-詈），所以QMN的重心坐标为（1,0）.因为重心在C上，所以12+bx0=b2，得b=1.所以a2=2.所以抛物线C1的方程为：x2+y=1,2_【点评】比题是个中档题，考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程.22.（14分）（2010江西）正实数数列an中，a1=1,a2=5，且an2成等差数列.（1）证